В геометрии , то Петр-Дуглас-Неймана теорема (или ПДН-теорема ) представляет собой результат о произвольных плоских многоугольников . Теорема утверждает, что определенная процедура, примененная к произвольному многоугольнику, всегда дает правильный многоугольник, имеющий то же количество сторон, что и исходный многоугольник. Теорема была впервые опубликована Карлом Петром (1868–1950) из Праги в 1908 году. [1] [2] Теорема была независимо переоткрыта Джесси Дугласом (1897–1965) в 1940 [3], а также Б. Х. Нойманом (1909–1965). 2002) в 1941 году.[2] [4] Теорема была названа теоремой Петра – Дугласа – Неймана , илидля краткости PDN-теоремой , благодаря Стивену Б. Грею. [2] Эта теорема также называется теоремой Дугласа , то теорема Дуглас Нейман , то теорема Наполеон-Дуглас-Нейман и теорема Пети . [2]
PDN-теорема является обобщением теоремы Наполеона, касающейся произвольных треугольников, и теоремы ван Обеля, относящейся к произвольным четырехугольникам .
Формулировка теоремы
Теорема Петра – Дугласа – Неймана утверждает следующее. [3] [5]
- Если равнобедренные треугольники с углами при вершинах 2kπ / n воздвигнуты по сторонам произвольного n-угольника A 0 , и если этот процесс повторяется с n-угольником, образованным свободными вершинами треугольников, но с другим значением k , и так далее, пока не будут использованы все значения 1 ≤ k ≤ n - 2 (в произвольном порядке), тогда образуется правильный n-угольник A n − 2 , центроид которого совпадает с центроидом A 0 .
Специализация на треугольниках
В случае треугольников значение n равно 3, а значение n - 2 равно 1. Следовательно, существует только одно возможное значение для k , а именно 1. Специализация теоремы на треугольники утверждает, что треугольник A 1 является правильным. 3-угольник, то есть равносторонний треугольник.
A 1 образован вершинами равнобедренных треугольников с углом при вершинах 2π / 3, возведенных над сторонами треугольника A 0 . Вершины A 1 - это центры равносторонних треугольников, воздвигнутых над сторонами треугольника A 0 . Таким образом, специализацию теоремы PDN на треугольник можно сформулировать следующим образом:
- Если равносторонние треугольники построены над сторонами любого треугольника, то треугольник, образованный центрами трех равносторонних треугольников, будет равносторонним.
Последнее утверждение - утверждение теоремы Наполеона .
Специализация на четырехугольники
В случае четырехугольника значение n равно 4, а значение n - 2 равно 2. Существует два возможных значения для k , а именно 1 и 2, и поэтому два возможных угла при вершине, а именно:
- (2 × 1 × π) / 4 = π / 2 = 90 ° (соответствует k = 1)
- (2 × 2 × π) / 4 = π = 180 ° (соответствует k = 2).
Согласно PDN-теореме четырехугольник A 2 является правильным 4-угольником, то есть квадратом . Двухстадийный процесс получения квадрата А 2 может осуществляться двумя разными способами. (Вершина Z Ап равнобедренного треугольника с углом при вершине П возведенного над отрезком XY является средней точкой отрезка линии XY .)
Постройте A 1, используя угол при вершине π / 2, а затем A 2 с углом при вершине π.
В этом случае вершины A 1 являются свободными вершинами равнобедренных треугольников с углами при вершинах π / 2, возведенных над сторонами четырехугольника A 0 . Вершины четырехугольника A 2 являются серединами сторон четырехугольника A 1 . По теореме PDN A 2 - квадрат.
Вершины четырехугольника A 1 - это центры квадратов, возведенных над сторонами четырехугольника A 0 . Утверждение, что четырехугольник A 2 является квадратом, эквивалентно утверждению, что диагонали A 1 равны и перпендикулярны друг другу. Последнее утверждение составляет содержание теоремы ван Обеля .
Таким образом , теорема ван Обеля является частным случаем PDN-теоремы.
Постройте A 1, используя угол при вершине π, а затем A 2 с углом при вершине π / 2.
В этом случае вершины A 1 являются серединами сторон четырехугольника A 0, а вершины A 2 являются вершинами треугольников с углами при вершинах π / 2, возведенных над сторонами A 1 . PDN-теорема утверждает, что A 2 и в этом случае является квадратом.
Изображения, иллюстрирующие применение теоремы к четырехугольникам
Теорема Петра – Дугласа – Неймана применительно к четырехугольнику A 0 = ABCD . A 1 = EFGH строится с использованием угла при вершине π / 2, а A 2 = PQRS с углом при вершине π. | Теорема Петра – Дугласа – Неймана применительно к четырехугольнику A 0 = ABCD . A 1 = EFGH строится с использованием угла при вершине π, а A 2 = PQRS с углом при вершине π / 2. |
Теорема Петра – Дугласа – Неймана применительно к самопересекающемуся четырехугольнику A 0 = ABCD . A 1 = EFGH строится с использованием угла при вершине π / 2, а A 2 = PQRS с углом при вершине π. | Теорема Петра – Дугласа – Неймана применительно к самопересекающемуся четырехугольнику A 0 = ABCD . A 1 = EFGH строится с использованием угла при вершине π, а A 2 = PQRS с углом при вершине π / 2. |
Диаграмма, иллюстрирующая тот факт, что теорема Ван Обеля является частным случаем теоремы Петра – Дугласа – Неймана. |
Специализация на пятиугольники
В случае пятиугольников , мы имеем п = 5 и п - 2 = 3. Таким образом , существует три возможного значения к , а именно 1, 2 и 3, и , следовательно , три возможных углов апексных для равнобедренных треугольников:
- (2 × 1 × π) / 5 = 2π / 5 = 72 °
- (2 × 2 × π) / 5 = 4π / 5 = 144 °
- (2 × 3 × π) / 5 = 6π / 5 = 216 °
Согласно PDN-теореме A 3 - правильный пятиугольник . Трехэтапный процесс, ведущий к построению правильного пятиугольника A 3, может быть выполнен шестью различными способами в зависимости от порядка, в котором углы при вершине выбираются для построения равнобедренных треугольников.
Серийный номер | Угол при вершине конструкции А 1 | Угол при вершине конструкции А 2 | Угол при вершине конструкции А 3 |
---|---|---|---|
1 | 72 ° | 144 ° | 216 ° |
2 | 72 ° | 216 ° | 144 ° |
3 | 144 ° | 72 ° | 216 ° |
4 | 144 ° | 216 ° | 72 ° |
5 | 216 ° | 72 ° | 144 ° |
6 | 216 ° | 144 ° | 72 ° |
Доказательство теоремы
Теорема может быть доказана с использованием некоторых элементарных понятий линейной алгебры. [2] [6]
Доказательство начинается с кодирования n -угольника списком комплексных чисел, представляющих вершины n -угольника. Этот список можно рассматривать как вектор в n- мерном комплексном линейном пространстве C n . Возьмем n -угольник A и представим его комплексным вектором
- A = ( a 1 , a 2 , ..., a n ).
Пусть многоугольник B образован свободными вершинами подобных треугольников, построенных по сторонам многоугольника A, и пусть он представлен комплексным вектором
- B = ( b 1 , b 2 , ..., b n ).
Тогда у нас есть
- α ( a r - b r ) = a r +1 - b r , где α = exp ( i θ) для некоторого θ (здесь i - квадратный корень из −1).
Это дает следующее выражение для вычисления b r :
- b r = (1 − α) −1 ( a r +1 - α a r ).
В терминах линейного оператора S : C n → C n, который циклически меняет координаты на одно место, мы имеем
- B = (1 − α) −1 ( S - α I ) A , где I - единичная матрица.
Это означает, что многоугольник A n −2, который нам нужно показать, является правильным, получается из A 0 путем применения композиции следующих операторов:
- (1 - ω k ) −1 ( S - ω k I ) для k = 1, 2, ..., n - 2, где ω = exp (2π i / n ). (Они коммутируют, потому что все они являются многочленами от одного оператора S. )
Многоугольник P = ( p 1 , p 2 , ..., p n ) является правильным n -угольником, если каждая сторона P получается из следующей путем поворота на угол 2π / n , то есть если
- п р + 1 - п р знак равно ω ( п р + 2 - п р + 1 ).
Это условие можно сформулировать в терминах S следующим образом:
- ( S - I ) ( I - ω S ) P = 0.
Или, что эквивалентно
- ( S - I ) ( S - ω n - 1 I ) P = 0, так как ω n = 1.
Теорема Петра – Дугласа – Неймана теперь следует из следующих вычислений.
- ( S - I ) ( S - ω n - 1 I ) A n - 2
- = ( S - I ) ( S - ω n - 1 I ) (1 - ω) −1 ( S - ω I ) (1 - ω 2 ) −1 ( S - ω 2 I ) ... (1 - ω n - 2 ) −1 ( S - ω n - 2 I ) A 0
- = (1 - ω) −1 (1 - ω 2 ) −1 ... (1 - ω n - 2 ) −1 ( S - I ) ( S - ω I ) ( S - ω 2 I ) ... ( S - ω n - 1 I ) A 0
- = (1 - ω) −1 (1 - ω 2 ) −1 ... (1 - ω n - 2 ) −1 ( S n - I ) A 0
- = 0, так как S п = я .
Рекомендации
- ^ К. Петр (1908). "Ein Satz ¨uber Vielecke". Arch. Математика. Phys . 13 : 29–31.
- ^ а б в г д Стивен Б. Грей (2003). "Обобщение теоремы Петра – Дугласа – Неймана о n -угольниках" (PDF) . Американский математический ежемесячник . 110 (3): 210–227. CiteSeerX 10.1.1.605.2676 . DOI : 10.2307 / 3647935 . JSTOR 3647935 . Проверено 8 мая 2012 года .
- ^ а б Дуглас, Джесси (1946). «О преобразованиях линейных многоугольников» (PDF) . Бюллетень Американского математического общества . 46 (6): 551–561. DOI : 10,1090 / s0002-9904-1940-07259-3 . Проверено 7 мая 2012 года .
- ^ Б. Х. Нейман (1941). «Несколько замечаний по полигонам». Журнал Лондонского математического общества . s1-16 (4): 230–245. DOI : 10,1112 / jlms / s1-16.4.230 .
- ^ ван Ламоен, Этаж; Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Петра – Неймана – Дугласа» . Материал из MathWorld - веб-ресурса Wolfram . Проверено 8 мая 2012 года .
- ^ Омар Антолин Камарена. «Теорема Петра – Неймана – Дугласа через линейную алгебру» . Проверено 10 января 2018 .