Вязкопластичность

Рисунок 1. Элементы, используемые в одномерных моделях вязкопластических материалов.

Вязкопластичность - это теория механики сплошных сред, которая описывает зависящее от скорости неупругое поведение твердых тел. Зависимость от скорости в данном контексте означает, что деформация материала зависит от скорости приложения нагрузок . ^[1] Неупругое поведение, которое является предметом вязкопластичности, является пластической деформацией, что означает, что материал претерпевает неустранимые деформации при достижении уровня нагрузки. Пластичность, зависящая от скорости, важна для расчетов переходной пластичности. Основное различие между не зависящими от скорости моделями пластических и вязкопластических материалов заключается в том, что последние не только демонстрируют остаточные деформации после приложения нагрузок, но и продолжают подвергаться постоянным деформациям.ползучесть как функция времени под действием приложенной нагрузки.

Упругий отклик вязкопластических материалов может быть одномерно представлен пружинными элементами Гука . Зависимость от скорости может быть представлена ​​нелинейными элементами диаграммы аналогично вязкоупругости . Пластичность можно учесть, добавив фрикционные элементы скольжения, как показано на рисунке 1. ^[2] На рисунке E - это модуль упругости , λ - параметр вязкости, а N - параметр степенного типа, который представляет нелинейную диаграмму [2]. σ (dε / dt) = σ = λ (dε / dt) ^{(1 / N)} ]. Элемент скольжения может иметь предел текучести (σ _y ), равныйзависит от скорости деформации или даже постоянна, как показано на рисунке 1c.

Вязкопластичность обычно моделируется в трех измерениях с использованием моделей перенапряжения типа Perzyna или Duvaut-Lions. ^[3] В этих моделях напряжению позволяют увеличиваться за пределы поверхности текучести, не зависящей от скорости, при приложении нагрузки, а затем позволяют расслабиться обратно к поверхности текучести с течением времени. В таких моделях обычно предполагается, что поверхность текучести не зависит от скорости. Альтернативный подход заключается в добавлении зависимости от скорости деформации к пределу текучести и использовании методов независимой от скорости пластичности для расчета отклика материала ^[4]

Для металлов и сплавов вязкопластичность - это макроскопическое поведение, вызванное механизмом, связанным с движением дислокаций в зернах , с наложенными эффектами межкристаллитного скольжения. Этот механизм обычно становится доминирующим при температурах, превышающих примерно одну треть от абсолютной температуры плавления. Однако некоторые сплавы проявляют вязкопластичность при комнатной температуре (300 К). Для полимеров , древесины и битума теория вязкопластичности необходима для описания поведения, выходящего за пределы эластичности или вязкоупругости .

В целом теории вязкопластичности полезны в таких областях, как

• расчет остаточных деформаций,
• прогноз пластического обрушения конструкций,
• исследование устойчивости,
• моделирование аварии,
• системы, подверженные воздействию высоких температур, такие как турбины в двигателях, например, электростанции,
• динамические задачи и системы, подверженные высоким скоростям деформации.

История [ править ]

Исследования по теории пластичности началось в 1864 году с работой Анри Треска , ^[5] Сен - Венана (1870 г.) и Леви (1871) ^[6] на максимальной сдвига критерия . ^[7] Усовершенствованная модель пластичности была представлена ​​в 1913 году фон Мизесом ^[8], которая теперь называется критерием текучести фон Мизеса . В области вязкопластичности разработка математической модели восходит к 1910 году с представлением первичной ползучести по закону Андраде. ^[9] В 1929 году Нортон ^[10] разработал одномерную модель дашпота, которая связала скоростьвторичная ползучесть до напряжения. В 1934 г. Одквист ^[11] обобщил закон Нортона на многоосевой случай.

Такие концепции, как нормальность пластического течения относительно поверхности текучести и правила течения для пластичности, были введены Прандтлем (1924) ^[12] и Ройссом (1930). ^[13] В 1932 году Хохенемзер и Прагер ^[14] предложили первую модель медленного вязкопластического течения. Эта модель обеспечивала связь между девиаторным напряжением и скоростью деформации для несжимаемого твердого тела Бингема ^[15]. Однако применение этих теорий началось не раньше 1950 года, когда были открыты предельные теоремы.

В 1960 году первый симпозиум IUTAM «Ползучесть конструкций», организованный Хоффом ^[16], обеспечил серьезное развитие вязкопластичности благодаря работам Хоффа, Работнова, Пержины, Хульта и Леметра по законам изотропного упрочнения и Кратохвилу, Малинини. и Khadjinsky, Ponter и Leckie, и Chaboche для кинематических законов упрочнения . Perzyna в 1963 году ввел коэффициент вязкости, зависящий от температуры и времени. ^[17] Сформулированные модели были поддержаны термодинамиками в необратимых процессах и феноменологическойточка зрения. Идеи, представленные в этих работах, легли в основу большинства последующих исследований пластичности, зависящей от скорости.

Феноменология [ править ]

Для качественного анализа выполняется несколько характерных тестов для описания феноменологии вязкопластических материалов. Некоторые примеры этих тестов: ^[9]

1. испытания на упрочнение при постоянном напряжении или скорости деформации,
2. испытания на ползучесть при постоянной силе, и
3. снятие напряжений при постоянном удлинении.

Испытание на деформационное упрочнение [ править ]

Одним из следствий текучести является то, что по мере развития пластической деформации требуется увеличение напряжения для создания дополнительной деформации . Это явление известно как деформационное / деформационное упрочнение . ^[18] Для вязкопластического материала кривые упрочнения существенно не отличаются от кривых для не зависящего от скорости пластического материала. Тем не менее можно заметить три существенных отличия.

1. При одной и той же деформации, чем выше скорость деформации, тем выше напряжение.
2. Изменение скорости деформации во время испытания приводит к немедленному изменению кривой зависимости напряжения от деформации.
3. Понятие предела текучести пластика больше не является строго применимым.

Гипотеза разделения деформаций путем разделения упругой и пластической частей все еще применима, когда деформации небольшие, ^[3] т.е.

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ varepsilon}} = {\ boldsymbol {\ varepsilon}} _ {\ mathrm {e}} + {\ boldsymbol {\ varepsilon}} _ {\ mathrm {vp}}}$

где - упругая деформация, - вязкопластическая деформация. Чтобы получить поведение «напряжение-деформация», показанное на рисунке синим цветом, материал сначала нагружают со скоростью деформации 0,1 / с. Затем скорость деформации мгновенно повышается до 100 / с и некоторое время поддерживается постоянной на этом значении. В конце этого периода времени скорость деформации мгновенно снижается до 0,1 / с, и цикл продолжается для увеличения значений деформации. Очевидно, что существует задержка между изменением скорости деформации и реакцией на напряжение. Это запаздывание довольно точно моделируется моделями перенапряжения (такими как модель Пержина ), но не моделями не зависящей от скорости пластичности, которые имеют зависимый от скорости предел текучести.${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ varepsilon}} _ {\ mathrm {e}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ varepsilon}} _ {\ mathrm {vp}}}$

Испытание на ползучесть [ править ]

Ползучесть - это тенденция твердого материала к медленному перемещению или постоянной деформации при постоянных напряжениях. Испытания на ползучесть измеряют реакцию на деформацию из-за постоянного напряжения, как показано на рисунке 3. Классическая кривая ползучести представляет эволюцию деформации как функцию времени в материале, подвергающемся одноосному напряжению при постоянной температуре. Например, испытание на ползучесть выполняется путем приложения постоянной силы / напряжения и анализа реакции системы на деформацию. В целом, как показано на Рисунке 3b, эта кривая обычно показывает три фазы или периода поведения ^[9]

1. Первичная ползучесть стадия, также известная как неустановившаяся ползучесть, является начальным этапом , в течение которого затвердения материала приводит к уменьшению скорости потока , которая изначально очень высоки. .${\displaystyle (0\leq {\boldsymbol {\varepsilon }}\leq {\boldsymbol {\varepsilon }}_{1})}$
2. На стадии вторичной ползучести , также известной как установившееся состояние, скорость деформации постоянна. .${\displaystyle ({\boldsymbol {\varepsilon }}_{1}\leq {\boldsymbol {\varepsilon }}\leq {\boldsymbol {\varepsilon }}_{2})}$
3. Третичная ползучесть фаза , в которой происходит увеличение в скорости деформации до деформации разрушения. .${\displaystyle ({\boldsymbol {\varepsilon }}_{2}\leq {\boldsymbol {\varepsilon }}\leq {\boldsymbol {\varepsilon }}_{R})}$

Релаксационный тест [ править ]

Как показано на рисунке 4, испытание на релаксацию ^[19] определяется как реакция на напряжение из-за постоянной деформации в течение определенного периода времени. В вязкопластических материалах релаксационные испытания демонстрируют релаксацию напряжений при одноосном нагружении при постоянной деформации. Фактически, эти тесты характеризуют вязкость и могут использоваться для определения взаимосвязи, существующей между напряжением и скоростью вязкопластической деформации. Разложение скорости деформации:

${\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\varepsilon }}}{\mathrm {d} t}}={\cfrac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {e} }}{\mathrm {d} t}}+{\cfrac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {vp} }}{\mathrm {d} t}}~.}$

Упругая часть скорости деформации определяется выражением

${\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {e} }}{\mathrm {d} t}}={\mathsf {E}}^{-1}~{\cfrac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\sigma }}}{\mathrm {d} t}}}$

Для плоского участка кривой зависимости деформации от времени полная скорость деформации равна нулю. Следовательно, мы имеем

${\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {vp} }}{\mathrm {d} t}}=-{\mathsf {E}}^{-1}~{\cfrac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\sigma }}}{\mathrm {d} t}}}$

Следовательно, кривую релаксации можно использовать для определения скорости вязкопластической деформации и, следовательно, вязкости демпфера в одномерной модели вязкопластичного материала. Остаточное значение, которое достигается, когда напряжение выходит на плато в конце теста на релаксацию, соответствует верхнему пределу упругости. Для некоторых материалов, таких как каменная соль, такой верхний предел упругости достигается при очень малом значении напряжения, и испытания на релаксацию могут продолжаться более года без какого-либо наблюдаемого плато в напряжении.

Важно отметить, что тесты на релаксацию чрезвычайно сложно выполнить, потому что поддержание этого состояния в тесте требует значительной деликатности. ^[20]${\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\varepsilon }}}{\mathrm {d} t}}=0}$

Реологические модели вязкопластичности [ править ]

Одномерные конститутивные модели вязкопластичности, основанные на элементах пружины-дроссельной заслонки-ползунка, включают ^[3] идеально вязкопластическое твердое тело, эластичное идеально вязкопластическое твердое тело и упруговязкопластическое твердое тело. Элементы могут быть соединены последовательно или параллельно . В моделях, в которых элементы соединены последовательно, деформация является аддитивной, в то время как напряжение в каждом элементе одинаково. В параллельных соединениях напряжение складывается, в то время как деформации в каждом элементе одинаковы. Многие из этих одномерных моделей можно обобщить до трех измерений для режима малых деформаций. В последующем обсуждении временные скорости деформации и напряжения записываются как и , соответственно.${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}}$${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\sigma }}}}$

Совершенно вязкопластическое твердое тело (модель Нортона-Хоффа) [ править ]

В идеально вязкопластическом твердом теле, также называемом моделью вязкопластичности Нортона-Хоффа, напряжение (как и для вязких жидкостей) является функцией скорости остаточной деформации. Эффект упругости не учитывается в модели, то есть, и , следовательно , не существует начальное предел текучести, т.е. . У вязкого дашпота есть ответ, который дает${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}_{e}=0}$${\displaystyle \sigma _{y}=0}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\eta ~{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}_{\mathrm {vp} }\implies {\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}_{\mathrm {vp} }={\cfrac {\boldsymbol {\sigma }}{\eta }}}$

где - вязкость дашпота. В модели Нортона-Хоффа вязкость является нелинейной функцией приложенного напряжения и определяется выражением${\displaystyle \eta }$${\displaystyle \eta }$

${\displaystyle \eta =\lambda \left[{\cfrac {\lambda }{||{\boldsymbol {\sigma }}||}}\right]^{N-1}}$

где - подгоночный параметр, λ - кинематическая вязкость материала и . Тогда скорость вязкопластической деформации определяется соотношением${\displaystyle N}$${\displaystyle ||{\boldsymbol {\sigma }}||={\sqrt {{\boldsymbol {\sigma }}:{\boldsymbol {\sigma }}}}={\sqrt {\sigma _{ij}\sigma _{ij}}}}$

${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}_{\mathrm {vp} }={\cfrac {\boldsymbol {\sigma }}{\lambda }}\left[{\cfrac {||{\boldsymbol {\sigma }}||}{\lambda }}\right]^{N-1}}$

В одномерном виде модель Нортона-Хоффа может быть выражена как

${\displaystyle \sigma =\lambda ~\left({\dot {\varepsilon }}_{\mathrm {vp} }\right)^{1/N}}$

Когда твердое тело вязкоупругое .${\displaystyle N=1.0}$

Если предположить, что пластическое течение изохорично (с сохранением объема), то указанное выше соотношение может быть выражено в более знакомой форме ^[21]

${\displaystyle {\boldsymbol {s}}=2K~\left({\sqrt {3}}{\dot {\varepsilon }}_{\mathrm {eq} }\right)^{m-1}~{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}_{\mathrm {vp} }}$

где - тензор девиаторных напряжений , - эквивалентная скорость деформации по Мизесу , - параметры материала. Эквивалентная скорость деформации определяется как${\displaystyle {\boldsymbol {s}}}$${\displaystyle {\dot {\varepsilon }}_{\mathrm {eq} }}$${\displaystyle K,m}$

${\displaystyle {\dot {\bar {\epsilon }}}={\sqrt {{\frac {2}{3}}{\dot {\bar {\bar {\epsilon }}}}:{\dot {\bar {\bar {\epsilon }}}}}}}$

Эти модели могут применяться для металлов и сплавов при температурах выше двух третей ^[21] их абсолютной точки плавления (в градусах Кельвина) и полимеров / асфальта при повышенной температуре. Результаты испытаний такого материала на деформационное упрочнение, ползучесть и релаксацию показаны на рисунке 6.

Упругое идеально вязкопластическое твердое тело (модель Бингема – Нортона) [ править ]

Можно использовать два типа элементарных подходов для создания упруго-идеально вязкопластической моды. В первой ситуации трения скольжения элемент и демпфер расположены параллельно , а затем соединены последовательно к упругой пружине , как показаны на рисунке 7. Эта модель называется моделью Бингам-Максвелл (по аналогии с моделью Максвелла и Bingham модель ) или модель Бингема – Нортона . ^[22] Во втором случае все три элемента расположены параллельно. Такая модель называется моделью Бингема – Кельвина по аналогии с моделью Кельвина .

Для упруго-идеально вязкопластических материалов упругая деформация больше не считается незначительной, но скорость пластической деформации является только функцией начального напряжения текучести и не влияет на упрочнение. Скользящий элемент представляет собой постоянное напряжение текучести при превышении предела упругости независимо от деформации. Модель может быть выражена как

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\boldsymbol {\sigma }}={\mathsf {E}}~{\boldsymbol {\varepsilon }}&&\mathrm {for} ~\|{\boldsymbol {\sigma }}\|<\sigma _{y}\\&{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}={\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}_{\mathrm {e} }+{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}_{\mathrm {vp} }={\mathsf {E}}^{-1}~{\dot {\boldsymbol {\sigma }}}+{\cfrac {\boldsymbol {\sigma }}{\eta }}\left[1-{\cfrac {\sigma _{y}}{\|{\boldsymbol {\sigma }}\|}}\right]&&\mathrm {for} ~\|{\boldsymbol {\sigma }}\|\geq \sigma _{y}\end{aligned}}}$

где - вязкость элемента дроссельной заслонки. Если элемент dashpot имеет ответ в форме Norton${\displaystyle \eta }$

${\displaystyle {\cfrac {\boldsymbol {\sigma }}{\eta }}={\cfrac {\boldsymbol {\sigma }}{\lambda }}\left[{\cfrac {\|{\boldsymbol {\sigma }}\|}{\lambda }}\right]^{N-1}}$

мы получаем модель Бингема – Нортона

${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}={\mathsf {E}}^{-1}~{\dot {\boldsymbol {\sigma }}}+{\cfrac {\boldsymbol {\sigma }}{\lambda }}\left[{\cfrac {\|{\boldsymbol {\sigma }}\|}{\lambda }}\right]^{N-1}\left[1-{\cfrac {\sigma _{y}}{\|{\boldsymbol {\sigma }}\|}}\right]\quad \mathrm {for} ~\|{\boldsymbol {\sigma }}\|\geq \sigma _{y}}$

Другие выражения для скорости деформации также можно найти в литературе ^[22] в общем виде

${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}={\mathsf {E}}^{-1}~{\dot {\boldsymbol {\sigma }}}+f({\boldsymbol {\sigma }},\sigma _{y})~{\boldsymbol {\sigma }}\quad \mathrm {for} ~\|{\boldsymbol {\sigma }}\|\geq \sigma _{y}}$

Результаты испытаний такого материала на деформационное упрочнение, ползучесть и релаксацию показаны на рисунке 8.

Упруговязкопластическое твердое тело [ править ]

Упруго-вязкопластический материал с деформационным упрочнением описывается уравнениями, аналогичными уравнениям для упруговязкопластического материала с идеальной пластичностью. Однако в этом случае напряжение зависит как от скорости пластической деформации, так и от самой пластической деформации. Для упруговязкопластического материала напряжение после превышения предела текучести продолжает увеличиваться за пределы начальной точки текучести. Это означает, что предел текучести в элементе скольжения увеличивается с деформацией, и модель может быть выражена в общих терминах как

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\boldsymbol {\varepsilon }}={\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {e} }={\mathsf {E}}^{-1}~{\boldsymbol {\sigma }}=~{\boldsymbol {\varepsilon }}&&\mathrm {for} ~||{\boldsymbol {\sigma }}||<\sigma _{y}\\&{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}={\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}_{\mathrm {e} }+{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}_{\mathrm {vp} }={\mathsf {E}}^{-1}~{\dot {\boldsymbol {\sigma }}}+f({\boldsymbol {\sigma }},\sigma _{y},{\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {vp} })~{\boldsymbol {\sigma }}&&\mathrm {for} ~||{\boldsymbol {\sigma }}||\geq \sigma _{y}\end{aligned}}}$.

Эта модель применяется, когда металлы и сплавы находятся при средних и высоких температурах, а древесина - при высоких нагрузках. Результаты испытаний такого материала на деформационное упрочнение, ползучесть и релаксацию показаны на рисунке 9.

Модели пластичности, зависящие от скорости деформации [ править ]

Классические феноменологические модели вязкопластичности для малых деформаций обычно делятся на два типа: ^[3]

• формулировка Perzyna
• формулировка Дувао-Лайонса

Формулировка Perzyna [ править ]

В формулировке Perzyna предполагается, что скорость пластической деформации задается определяющим соотношением вида

${\displaystyle {\dot {\varepsilon }}_{\mathrm {vp} }={\cfrac {\left\langle f({\boldsymbol {\sigma }},{\boldsymbol {q}})\right\rangle }{\tau }}{\cfrac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\sigma }}}}={\begin{cases}{\cfrac {f({\boldsymbol {\sigma }},{\boldsymbol {q}})}{\tau }}{\cfrac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\sigma }}}}&{\rm {if}}~f({\boldsymbol {\sigma }},{\boldsymbol {q}})>0\\0&{\rm {otherwise}}\\\end{cases}}}$

где - функция текучести , - напряжение Коши , - это набор внутренних переменных (например, пластическая деформация ), - время релаксации. Обозначения обозначают скобки Маколея . Правило потока, используемое в различных версиях модели Чабоша, является частным случаем правила потока Перзины ^[23] и имеет вид${\displaystyle f(.,.)}$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$${\displaystyle {\boldsymbol {q}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {vp} }}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \langle \dots \rangle }$

${\displaystyle {\dot {\varepsilon }}_{\mathrm {vp} }=\left\langle {\frac {f}{f_{0}}}\right\rangle ^{n}({\boldsymbol {\sigma }}-{\boldsymbol {\chi }})}$

где это квазистатическое значение и является backstress . Некоторые модели для опоры также носят название модели Chaboche .${\displaystyle f_{0}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle {\boldsymbol {\chi }}}$

Формулировка Дуво-Лайонса [ править ]

Формулировка Duvaut-Lions эквивалентна формулировке Perzyna и может быть выражена как

${\displaystyle {\dot {\varepsilon }}_{\mathrm {vp} }={\begin{cases}{\mathsf {C}}^{-1}:{\cfrac {{\boldsymbol {\sigma }}-{\mathcal {P}}{\boldsymbol {\sigma }}}{\tau }}&{\rm {{if}~f({\boldsymbol {\sigma }},{\boldsymbol {q}})>0}}\\0&{\rm {otherwise}}\end{cases}}}$

где - тензор упругой жесткости, - ближайшая точечная проекция напряженного состояния на границу области, ограничивающей все возможные упругие напряженные состояния. Величина обычно находится из не зависящего от скорости решения проблемы пластичности.${\displaystyle {\mathsf {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}{\boldsymbol {\sigma }}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}{\boldsymbol {\sigma }}}$

Модели напряжения течения [ править ]

Величина представляет собой изменение поверхности текучести . Функция текучести часто выражается как уравнение, состоящее из некоторого инварианта напряжения и модели для напряжения текучести (или напряжения пластического течения). Пример - фон Мизес или пластичность. В этих ситуациях скорость пластической деформации рассчитывается таким же образом, как и пластичность, не зависящая от скорости. В других ситуациях модель предела текучести позволяет напрямую вычислить скорость пластической деформации.${\displaystyle f({\boldsymbol {\sigma }},{\boldsymbol {q}})}$${\displaystyle f}$${\displaystyle J_{2}}$

Для расчета пластичности используются многочисленные эмпирические и полуэмпирические модели напряжения течения. Следующие модели, зависящие от температуры и скорости деформации, представляют собой выборку моделей, используемых в настоящее время:

1. модель Джонсона – Кука
2. модель Стейнберга – Кокрана – Гинан – Лунда.
3. модель Зерилли – Армстронга.
4. Модель механического порогового напряжения.
5. модель Престона – Тонкс – Уоллеса.

Модель Джонсона – Кука (JC) ^[24] является чисто эмпирической и является наиболее широко используемой из пяти. Однако эта модель демонстрирует нереально малую зависимость скорости деформации при высоких температурах. Модель Стейнберга – Кохрана – Гинан – Лунда (SCGL) ^{[25] [26]} является полуэмпирической. Модель является чисто эмпирической и не зависит от скорости деформации при высоких скоростях деформации. Растяжение на основе дислокаций, основанное на ^[27] , используется при низких скоростях деформации. Модель SCGL широко используется сообществом физиков ударов. Модель Зерилли – Армстронга (ZA) ^[28] - это простая физически обоснованная модель, которая широко использовалась. Более сложной моделью, основанной на идеях динамики дислокаций, является модель механического порогового напряжения (MTS).^[29] Эта модель использовалась для моделирования пластической деформации меди, тантала, ^[30] сплавов стали, ^{[31] [32]} и алюминиевых сплавов. ^[33] Однако модель MTS ограничена скоростью деформации менее 10 ⁷ / с. Модель Престона – Тонкса – Уоллеса (PTW) ^[34] также имеет физическую основу и имеет форму, аналогичную модели MTS. Однако в модели PTW есть компоненты, которые могут моделировать пластическую деформацию в режиме перегруженного удара (скорости деформации выше 10 ⁷ / с). Следовательно, эта модель действительна для самого большого диапазона скоростей деформации среди пяти моделей напряжения течения.

Модель напряжения течения Джонсона – Кука [ править ]

Модель Джонсона – Кука (JC) ^[24] является чисто эмпирической и дает следующее соотношение для напряжения течения ( ) ${\displaystyle \sigma _{y}}$

${\displaystyle {\text{(1)}}\qquad \sigma _{y}(\varepsilon _{\rm {p}},{\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}},T)=\left[A+B(\varepsilon _{\rm {p}})^{n}\right]\left[1+C\ln({\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}^{*})\right]\left[1-(T^{*})^{m}\right]}$

где - эквивалентная пластическая деформация , - скорость пластической деформации и - константы материала.${\displaystyle \varepsilon _{\rm {p}}}$${\displaystyle {\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}}$${\displaystyle A,B,C,n,m}$

Нормализованная скорость деформации и температура в уравнении (1) определяются как

${\displaystyle {\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}^{*}:={\cfrac {\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}{\dot {\varepsilon _{\rm {p0}}}}}\qquad {\text{and}}\qquad T^{*}:={\cfrac {(T-T_{0})}{(T_{m}-T_{0})}}}$

где - эффективная скорость пластической деформации квазистатического испытания, используемого для определения параметров текучести и упрочнения A, B и n. Это не так, как часто думают, просто параметр, который нужно сделать безразмерным. ^[35] - эталонная температура и эталонная температура плавления . Для условий где мы предполагаем, что .${\displaystyle {\dot {\varepsilon _{\rm {p0}}}}}$${\displaystyle {\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}^{*}}$ ${\displaystyle T_{0}}$${\displaystyle T_{m}}$${\displaystyle T^{*}<0}$${\displaystyle m=1}$

Модель напряжения течения Стейнберга-Кохрана-Гинан-Лунда [ править ]

Модель Steinberg – Cochran – Guinan – Lund (SCGL) - это полуэмпирическая модель, разработанная Steinberg et al. ^[25] для ситуаций с высокой скоростью деформации и распространен на материалы с низкой скоростью деформации и ОЦК материалы Стейнбергом и Лундом. ^[26] Напряжение течения в этой модели определяется выражением

${\displaystyle {\text{(2)}}\qquad \sigma _{y}(\varepsilon _{\rm {p}},{\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}},T)=\left[\sigma _{a}f(\varepsilon _{\rm {p}})+\sigma _{t}({\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}},T)\right]{\frac {\mu (p,T)}{\mu _{0}}};\quad \sigma _{a}f\leq \sigma _{\text{max}}~~{\text{and}}~~\sigma _{t}\leq \sigma _{p}}$

где - атермическая составляющая напряжения течения, - функция, представляющая деформационное упрочнение, - это термически активированная составляющая напряжения течения, - это модуль сдвига, зависящий от давления и температуры, и - модуль сдвига при стандартной температуре и давлении. Величина насыщения атермического напряжения составляет . Насыщение термически активированного напряжения - это напряжение Пайерлса ( ). Модуль сдвига для этой модели обычно вычисляется с помощью модели модуля сдвига Стейнберга – Кохрана – Гинана .${\displaystyle \sigma _{a}}$${\displaystyle f(\varepsilon _{\rm {p}})}$${\displaystyle \sigma _{t}}$${\displaystyle \mu (p,T)}$${\displaystyle \mu _{0}}$${\displaystyle \sigma _{\text{max}}}$${\displaystyle \sigma _{p}}$

Функция деформационного упрочнения ( ) имеет вид${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(\varepsilon _{\rm {p}})=[1+\beta (\varepsilon _{\rm {p}}+\varepsilon _{\rm {p}}i)]^{n}}$

где - параметры наклепа, - начальная эквивалентная пластическая деформация.${\displaystyle \beta ,n}$${\displaystyle \varepsilon _{\rm {p}}i}$

Тепловая составляющая ( ) вычисляется с использованием алгоритма деления пополам из следующего уравнения. ^{[26] [27]}${\displaystyle \sigma _{t}}$

${\displaystyle {\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}=\left[{\frac {1}{C_{1}}}\exp \left[{\frac {2U_{k}}{k_{b}~T}}\left(1-{\frac {\sigma _{t}}{\sigma _{p}}}\right)^{2}\right]+{\frac {C_{2}}{\sigma _{t}}}\right]^{-1};\quad \sigma _{t}\leq \sigma _{p}}$

где есть энергия , чтобы сформировать перегиб пару в дислокационном сегменте длины , является постоянной Больцмана , этим напряжение Пайерлса . Константы задаются соотношениями${\displaystyle 2U_{k}}$${\displaystyle L_{d}}$${\displaystyle k_{b}}$${\displaystyle \sigma _{p}}$${\displaystyle C_{1},C_{2}}$

${\displaystyle C_{1}:={\frac {\rho _{d}L_{d}ab^{2}\nu }{2w^{2}}};\quad C_{2}:={\frac {D}{\rho _{d}b^{2}}}}$

где - плотность дислокации , - длина сегмента дислокации, - расстояние между долинами Пайерлса , - величина вектора Бюргерса , - частота Дебая , - ширина петли перегиба , - коэффициент сопротивления .${\displaystyle \rho _{d}}$${\displaystyle L_{d}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle w}$${\displaystyle D}$

Модель напряжения течения Зерилли-Армстронга [ править ]

Модель Зерилли – Армстронга (ZA) ^{[28] [36] [37]} основана на упрощенной дислокационной механике. Общая форма уравнения для напряжения течения:

${\displaystyle {\text{(3)}}\qquad \sigma _{y}(\varepsilon _{\rm {p}},{\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}},T)=\sigma _{a}+B\exp(-\beta T)+B_{0}{\sqrt {\varepsilon _{\rm {p}}}}\exp(-\alpha T)~.}$

В этой модели - атермическая составляющая напряжения течения, определяемая как${\displaystyle \sigma _{a}}$

${\displaystyle \sigma _{a}:=\sigma _{g}+{\frac {k_{h}}{\sqrt {l}}}+K\varepsilon _{\rm {p}}^{n},}$

где - вклад растворенных веществ и начальной плотности дислокаций, - интенсивность микроструктурных напряжений, - средний диаметр зерна, равен нулю для материалов с ГЦК-решеткой, - константы материала.${\displaystyle \sigma _{g}}$${\displaystyle k_{h}}$${\displaystyle l}$${\displaystyle K}$${\displaystyle B,B_{0}}$

В термически активированных условиях функциональные формы показателей и равны ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle \alpha =\alpha _{0}-\alpha _{1}\ln({\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}});\quad \beta =\beta _{0}-\beta _{1}\ln({\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}});}$

где - параметры материала, зависящие от типа материала (ГЦК, ОЦК, ГПУ, сплавы). Модель Зерилли – Армстронга была модифицирована ^[38] для улучшения характеристик при высоких температурах.${\displaystyle \alpha _{0},\alpha _{1},\beta _{0},\beta _{1}}$

Модель механического порогового напряжения текучести [ править ]

Модель механического порогового напряжения (MTS) ^{[29] [39] [40]} ) имеет вид

${\displaystyle {\text{(4)}}\qquad \sigma _{y}(\varepsilon _{\rm {p}},{\dot {\varepsilon }},T)=\sigma _{a}+(S_{i}\sigma _{i}+S_{e}\sigma _{e}){\frac {\mu (p,T)}{\mu _{0}}}}$

где - атермическая составляющая механического порогового напряжения, - составляющая напряжения течения, обусловленная внутренними барьерами для термически активированного движения дислокаций и дислокационно-дислокационных взаимодействий, - составляющая напряжения течения, обусловленная эволюцией микроструктуры с увеличением деформации (деформационное упрочнение) , ( ) - масштабные коэффициенты, зависящие от температуры и скорости деформации, и - модуль сдвига при 0 K и атмосферном давлении.${\displaystyle \sigma _{a}}$${\displaystyle \sigma _{i}}$${\displaystyle \sigma _{e}}$${\displaystyle S_{i},S_{e}}$${\displaystyle \mu _{0}}$

Коэффициенты масштабирования принимают форму Аррениуса

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{i}&=\left[1-\left({\frac {k_{b}~T}{g_{0i}b^{3}\mu (p,T)}}\ln {\frac {\dot {\varepsilon _{\rm {0}}}}{\dot {\varepsilon }}}\right)^{1/q_{i}}\right]^{1/p_{i}}\\S_{e}&=\left[1-\left({\frac {k_{b}~T}{g_{0e}b^{3}\mu (p,T)}}\ln {\frac {\dot {\varepsilon _{\rm {0}}}}{\dot {\varepsilon }}}\right)^{1/q_{e}}\right]^{1/p_{e}}\end{aligned}}}$

где - постоянная Больцмана, - величина вектора Бюргерса, ( ) - нормированные энергии активации, ( ) - скорость деформации и эталонная скорость деформации, а ( ) - константы.${\displaystyle k_{b}}$${\displaystyle b}$${\displaystyle g_{0i},g_{0e}}$${\displaystyle {\dot {\varepsilon }},{\dot {\varepsilon _{\rm {0}}}}}$${\displaystyle q_{i},p_{i},q_{e},p_{e}}$

Компонент деформационного упрочнения механического порогового напряжения ( ) задается эмпирическим модифицированным законом Воуса${\displaystyle \sigma _{e}}$

${\displaystyle {\text{(5)}}\qquad {\frac {d\sigma _{e}}{d\varepsilon _{\rm {p}}}}=\theta (\sigma _{e})}$

где

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta (\sigma _{e})&=\theta _{0}[1-F(\sigma _{e})]+\theta _{IV}F(\sigma _{e})\\\theta _{0}&=a_{0}+a_{1}\ln {\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}+a_{2}{\sqrt {\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}}-a_{3}T\\F(\sigma _{e})&={\cfrac {\tanh \left(\alpha {\cfrac {\sigma _{e}}{\sigma _{es}}}\right)}{\tanh(\alpha )}}\\\ln({\cfrac {\sigma _{es}}{\sigma _{0es}}})&=\left({\frac {kT}{g_{0es}b^{3}\mu (p,T)}}\right)\ln \left({\cfrac {\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}{\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}}\right)\end{aligned}}}$

и - упрочнение из-за накопления дислокаций, - вклад упрочнения на стадии IV, ( ) - постоянные, - напряжение при нулевой скорости деформационного упрочнения, - пороговое напряжение насыщения для деформации при 0 K, является константой и составляет максимальная скорость деформации. Обратите внимание, что максимальная скорость деформации обычно ограничивается примерно / с.${\displaystyle \theta _{0}}$${\displaystyle \theta _{IV}}$${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},\alpha }$${\displaystyle \sigma _{es}}$${\displaystyle \sigma _{0es}}$${\displaystyle g_{0es}}$${\displaystyle {\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}}$${\displaystyle 10^{7}}$

Модель напряжения течения Престона – Тонкса – Уоллеса [ править ]

Модель Престона – Тонкса – Уоллеса (PTW) ^[34] пытается предоставить модель напряжения течения для экстремальных скоростей деформации (до 10 ¹¹ / с) и температур вплоть до плавления. В модели использован линейный закон упрочнения Воуса. Напряжение потока PTW определяется выражением

${\displaystyle {\text{(6)}}\qquad \sigma _{y}(\varepsilon _{\rm {p}},{\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}},T)={\begin{cases}2\left[\tau _{s}+\alpha \ln \left[1-\varphi \exp \left(-\beta -{\cfrac {\theta \varepsilon _{\rm {p}}}{\alpha \varphi }}\right)\right]\right]\mu (p,T)&{\text{thermal regime}}\\2\tau _{s}\mu (p,T)&{\text{shock regime}}\end{cases}}}$

с участием

${\displaystyle \alpha :={\frac {s_{0}-\tau _{y}}{d}};\quad \beta :={\frac {\tau _{s}-\tau _{y}}{\alpha }};\quad \varphi :=\exp(\beta )-1}$

где - нормализованное напряжение насыщения деформационного упрочнения, - значение при 0K, - нормированный предел текучести, - константа упрочнения в законе упрочнения Воуса, и является безразмерным параметром материала, который изменяет закон упрочнения Воуса.${\displaystyle \tau _{s}}$${\displaystyle s_{0}}$${\displaystyle \tau _{s}}$${\displaystyle \tau _{y}}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle d}$

Напряжение насыщения и предел текучести определяются как

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{s}&=\max \left\{s_{0}-(s_{0}-s_{\infty }){\rm {{erf}\left[\kappa {\hat {T}}\ln \left({\cfrac {\gamma {\dot {\xi }}}{\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}}\right)\right],s_{0}\left({\cfrac {\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}{\gamma {\dot {\xi }}}}\right)^{s_{1}}}}\right\}\\\tau _{y}&=\max \left\{y_{0}-(y_{0}-y_{\infty }){\rm {{erf}\left[\kappa {\hat {T}}\ln \left({\cfrac {\gamma {\dot {\xi }}}{\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}}\right)\right],\min \left\{y_{1}\left({\cfrac {\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}{\gamma {\dot {\xi }}}}\right)^{y_{2}},s_{0}\left({\cfrac {\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}{\gamma {\dot {\xi }}}}\right)^{s_{1}}\right\}}}\right\}\end{aligned}}}$

где - значение, близкое к температуре расплава, ( ) - значения при 0 K и близкие к расплаву, соответственно, - материальные константы,, ( ) - параметры материала для режима высокой скорости деформации, и${\displaystyle s_{\infty }}$${\displaystyle \tau _{s}}$${\displaystyle y_{0},y_{\infty }}$${\displaystyle \tau _{y}}$${\displaystyle (\kappa ,\gamma )}$${\displaystyle {\hat {T}}=T/T_{m}}$${\displaystyle s_{1},y_{1},y_{2}}$

${\displaystyle {\dot {\xi }}={\frac {1}{2}}\left({\cfrac {4\pi \rho }{3M}}\right)^{1/3}\left({\cfrac {\mu (p,T)}{\rho }}\right)^{1/2}}$

где - плотность, - атомная масса.${\displaystyle \rho }$${\displaystyle M}$

См. Также [ править ]

• Вязкоупругость
• Бингхэм пластик
• Dashpot
• Ползучесть (деформация)
• Пластичность (физика)
• Механика сплошной среды
• Квазитвердый

Ссылки [ править ]