Профиль Voigt

(По центру) Войт

Функция плотности вероятности График центрированного профиля Фойгта для четырех случаев. Каждый корпус имеет полную ширину на полувысоте почти 3,6. Черный и красный профили - это предельные случаи гауссова (γ = 0) и лоренцевского (σ = 0) профилей соответственно.
Кумулятивная функция распределения
Параметры	${\ displaystyle \ gamma, \ sigma> 0}$
Служба поддержки	${\ Displaystyle х \ в (- \ infty, \ infty)}$
PDF	${\ displaystyle {\ frac {\ Re [w (z)]} {\ sigma {\ sqrt {2 \ pi}}}}, ~~~ z = {\ frac {x + i \ gamma} {\ sigma { \ sqrt {2}}}}}$
CDF	(сложно - см. текст)
Иметь в виду	(не определен)
Медиана	${\ displaystyle 0}$
Режим	${\ displaystyle 0}$
Дисперсия	(не определен)
Асимметрия	(не определен)
Бывший. эксцесс	(не определен)
MGF	(не определен)
CF	${\ Displaystyle е ^ {- \ гамма | т | - \ сигма ^ {2} т ^ {2} / 2}}$

Профиль Фойгт (названный по имени Вольдемар Фойгт ) является распределение вероятностей задается сверткой о наличии распределения Коши-Лоренца и распределением Гаусса . Он часто используется при анализе данных спектроскопии или дифракции .

Определение [ править ]

Без ограничения общности мы можем рассматривать только центрированные профили, пик которых равен нулю. Тогда профиль Voigt

${\displaystyle V(x;\sigma ,\gamma )\equiv \int _{-\infty }^{\infty }G(x';\sigma )L(x-x';\gamma )\,dx',}$

где x - смещение от центра линии, - центрированный гауссов профиль:${\displaystyle G(x;\sigma )}$

${\displaystyle G(x;\sigma )\equiv {\frac {e^{-x^{2}/(2\sigma ^{2})}}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}},}$

и является центрированным лоренцевым профилем:${\displaystyle L(x;\gamma )}$

${\displaystyle L(x;\gamma )\equiv {\frac {\gamma }{\pi (x^{2}+\gamma ^{2})}}.}$

Определяющий интеграл можно оценить как:

${\displaystyle V(x;\sigma ,\gamma )={\frac {\operatorname {Re} [w(z)]}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}},}$

где Re [ w ( z )] - действительная часть функции Фаддеева, вычисленная для

${\displaystyle z={\frac {x+i\gamma }{\sigma {\sqrt {2}}}}.}$

В предельных случаях и затем упрощается до и соответственно.${\displaystyle \sigma =0}$${\displaystyle \gamma =0}$${\displaystyle V(x;\sigma ,\gamma )}$${\displaystyle L(x;\gamma )}$${\displaystyle G(x;\sigma )}$

История и приложения [ править ]

В спектроскопии профиль Фойгта является результатом свертки двух механизмов уширения, один из которых дает гауссов профиль (обычно в результате доплеровского уширения ), а другой - лоренцевский профиль. Профили Фойгта распространены во многих областях спектроскопии и дифракции . Из-за дороговизны вычисления функции Фаддеева профиль Фойгта иногда аппроксимируется с использованием профиля псевдо-Фойгта.

Свойства [ править ]

Профиль Фойгта нормализован:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }V(x;\sigma ,\gamma )\,dx=1,}$

поскольку это свертка нормализованных профилей. Лоренцев профиль не имеет моментов (кроме нулевого), поэтому функция, производящая момент для распределения Коши, не определена. Отсюда следует, что профиль Фойгта также не будет иметь функции, производящей момент, но характеристическая функция для распределения Коши хорошо определена, как и характеристическая функция для нормального распределения . Тогда характеристическая функция для (центрированного) профиля Фойгта будет произведением двух:

${\displaystyle \varphi _{f}(t;\sigma ,\gamma )=E(e^{ixt})=e^{-\sigma ^{2}t^{2}/2-\gamma |t|}.}$

Поскольку нормальные распределения и распределения Коши являются стабильными распределениями , каждое из них замкнуто относительно свертки (с точностью до изменения масштаба), и отсюда следует, что распределения Фойгта также замкнуты при свертке.

Кумулятивная функция распределения [ править ]

Используя приведенное выше определение для z , кумулятивная функция распределения (CDF) может быть найдена следующим образом:

${\displaystyle F(x_{0};\mu ,\sigma )=\int _{-\infty }^{x_{0}}{\frac {\operatorname {Re} (w(z))}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\,dx=\operatorname {Re} \left({\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{z(-\infty )}^{z(x_{0})}w(z)\,dz\right).}$

Подстановка определения функции Фаддеева (масштабированная комплексная функция ошибок ) дает неопределенный интеграл:

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int w(z)\,dz={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int e^{-z^{2}}\left[1-\operatorname {erf} (-iz)\right]\,dz,}$

который может быть решен, чтобы дать

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int w(z)\,dz={\frac {\operatorname {erf} (z)}{2}}+{\frac {iz^{2}}{\pi }}\,_{2}F_{2}\left(1,1;{\frac {3}{2}},2;-z^{2}\right),}$

где - гипергеометрическая функция . Чтобы функция приближалась к нулю, когда x приближается к отрицательной бесконечности (как и должна поступать функция CDF), необходимо добавить константу интегрирования 1/2. Это дает для CDF Фойгта:${\displaystyle {}_{2}F_{2}}$

${\displaystyle F(x;\mu ,\sigma )=\operatorname {Re} \left[{\frac {1}{2}}+{\frac {\operatorname {erf} (z)}{2}}+{\frac {iz^{2}}{\pi }}\,_{2}F_{2}\left(1,1;{\frac {3}{2}},2;-z^{2}\right)\right].}$

Нецентрированный профиль Voigt [ править ]

Если гауссов профиль центрирован в точке, а лоренцев профиль - в точке , центр свертки будет в точке, а характеристическая функция равна${\displaystyle \mu _{G}}$${\displaystyle \mu _{L}}$${\displaystyle \mu _{G}+\mu _{L}}$

${\displaystyle \varphi _{f}(t;\sigma ,\gamma ,\mu _{\mathrm {G} },\mu _{\mathrm {L} })=e^{i(\mu _{\mathrm {G} }+\mu _{\mathrm {L} })t-\sigma ^{2}t^{2}/2-\gamma |t|}.}$

И мода, и медиана расположены в .${\displaystyle \mu _{G}+\mu _{L}}$

Производный профиль [ править ]

Профили первой и второй производных могут быть выражены через функцию Фаддеева следующим образом:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}V(x;\sigma ,\gamma )=-{\frac {\operatorname {Re} [z~w(z)]}{\sigma ^{2}{\sqrt {\pi }}}}=-{\frac {x}{\sigma ^{2}}}{\frac {\operatorname {Re} [w(z)]}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}+{\frac {\gamma }{\sigma ^{2}}}{\frac {\operatorname {Im} [w(z)]}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}};}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}V(x;\sigma ,\gamma )={\frac {x^{2}-\gamma ^{2}-\sigma ^{2}}{\sigma ^{4}}}{\frac {\operatorname {Re} [w(z)]}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}-{\frac {2x\gamma }{\sigma ^{4}}}{\frac {\operatorname {Im} [w(z)]}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}+{\frac {\gamma }{\sigma ^{4}}}{\frac {1}{\pi }},}$

используя приведенное выше определение для z .

Функции Voigt [ править ]

Функции Фойгта ^[1] U , V и H (иногда называемые функцией расширения линии ) определяются следующим образом:

${\displaystyle U(x,t)+iV(x,t)={\sqrt {\frac {\pi }{4t}}}e^{z^{2}}\operatorname {erfc} (z)={\sqrt {\frac {\pi }{4t}}}w(iz),}$

${\displaystyle H(a,u)={\frac {U(u/a,1/4a^{2})}{a{\sqrt {\pi }}}},}$

где

${\displaystyle z=(1-ix)/2{\sqrt {t}},}$

erfc - дополнительная функция ошибок , а w ( z ) - функция Фаддеева .

Связь с профилем Voigt [ править ]

${\displaystyle V(x;\sigma ,\gamma )=H(a,u)/({\sqrt {2}}{\sqrt {\pi }}\sigma ),}$

с участием

${\displaystyle a=\gamma /({\sqrt {2}}\sigma )}$

а также

${\displaystyle u=x/({\sqrt {2}}\sigma ).}$

Числовые приближения [ править ]

Функция Теппера-Гарсиа [ править ]

Функция Теппера-Гарсиа , названная в честь немецко-мексиканского астрофизика Тора Теппера-Гарсиа , представляет собой комбинацию экспоненциальной функции и рациональных функций, которая аппроксимирует функцию уширения линии в широком диапазоне ее параметров. ^[2] Он получается из разложения в усеченный степенной ряд точной функции уширения линии.${\displaystyle H(a,u)}$

В наиболее эффективной с вычислительной точки зрения форме функция Теппера-Гарсиа может быть выражена как

${\displaystyle T(a,u)=R-\left(a/{\sqrt {\pi }}P\right)~\left[R^{2}~(4P^{2}+7P+4+Q)-Q-1\right]\,,}$

где , , и .${\displaystyle P\equiv u^{2}}$${\displaystyle Q\equiv 3/(2P)}$${\displaystyle R\equiv e^{-P}}$

Таким образом, функция уширения линии может рассматриваться в первом порядке как чистая функция Гаусса плюс поправочный коэффициент, который линейно зависит от микроскопических свойств поглощающей среды (закодированной в ); однако в результате раннего усечения в разложении ряда ошибка приближения все еще имеет порядок , т . е . Это приближение имеет относительную точность${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle H(a,u)\approx T(a,u)+{\mathcal {O}}(a)}$

${\displaystyle \epsilon \equiv {\frac {\vert H(a,u)-T(a,u)\vert }{H(a,u)}}\lesssim 10^{-4}}$

во всем диапазоне длин волн при условии, что . Помимо высокой точности, функция проста в реализации, а также отличается быстротой вычислений. Он широко используется в области анализа линий поглощения квазаров. ^[3]${\displaystyle H(a,u)}$${\displaystyle a\lesssim 10^{-4}}$${\displaystyle T(a,u)}$

Приближение псевдо-Фойгта [ править ]

Профиль псевдо-Фойгт (или функции псевдо-Фойгта ) представляет собой приближение Фойгта профиля V ( х ) , используя линейную комбинацию из с гауссовой кривой G ( х ) и лоренцевы кривой L ( х ) вместо их свертки .

Функция псевдо-Фойгта часто используется для расчета экспериментальных форм спектральных линий .

Математическое определение нормализованного профиля псевдо-Фойгта дается формулой

${\displaystyle V_{p}(x,f)=\eta \cdot L(x,f)+(1-\eta )\cdot G(x,f)}$с .${\displaystyle 0<\eta <1}$

${\displaystyle \eta }$является функцией параметра полной ширины на полувысоте (FWHM).

Есть несколько возможных вариантов выбора параметра. ^{[4] [5] [6] [7]} Простая формула с точностью до 1%: ^{[8] [9]}${\displaystyle \eta }$

${\displaystyle \eta =1.36603(f_{L}/f)-0.47719(f_{L}/f)^{2}+0.11116(f_{L}/f)^{3},}$

где теперь - функция от параметров Lorentz ( ), Gaussian ( ) и total ( ) Полная ширина на полувысоте (FWHM). Общий параметр FWHM ( ) описывается следующим образом:${\displaystyle \eta }$${\displaystyle f_{L}}$${\displaystyle f_{G}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle f=[f_{G}^{5}+2.69269f_{G}^{4}f_{L}+2.42843f_{G}^{3}f_{L}^{2}+4.47163f_{G}^{2}f_{L}^{3}+0.07842f_{G}f_{L}^{4}+f_{L}^{5}]^{1/5}.}$

Ширина профиля Voigt [ править ]

Полная ширина на половине максимума (FWHM) профиля Voigt может быть найдена из ширины соответствующей гауссовой и лоренцевой ширины. Полуширина гауссова профиля равна

${\displaystyle f_{\mathrm {G} }=2\sigma {\sqrt {2\ln(2)}}.}$

Полуширина лоренцевского профиля равна

${\displaystyle f_{\mathrm {L} }=2\gamma .}$

Грубая аппроксимация соотношения между ширинами профилей Фойгта, Гаусса и Лоренца:

${\displaystyle f_{\mathrm {V} }\approx f_{\mathrm {L} }/2+{\sqrt {f_{\mathrm {L} }^{2}/4+f_{\mathrm {G} }^{2}}}.}$

Это приближение совершенно верно для чистого гауссовского.

Лучшее приближение с точностью 0,02% дает ^[10]

${\displaystyle f_{\mathrm {V} }\approx 0.5346f_{\mathrm {L} }+{\sqrt {0.2166f_{\mathrm {L} }^{2}+f_{\mathrm {G} }^{2}}}.}$

Это приближение точно верно для чистого гауссовского профиля, но имеет ошибку около 0,000305% для чистого лоренцевского профиля.

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• http://jugit.fz-juelich.de/mlz/libcerf , числовая библиотека C для сложных функций ошибок, предоставляет функцию voigt (x, sigma, gamma) с точностью приблизительно 13–14 цифр.
• Оригинал статьи: Voigt, Woldemar, 1912, '' Das Gesetz der Intensitätsverteilung innerhalb der Linien eines Gasspektrums '', Sitzungsbericht der Bayerischen Akademie der Wissenschaften, 25, 603 (см. Также: http://publikation.de/ / 003395768)