Критерий максимального искажения (также критерий текучести Мизеса [1] ) считает , что получаешь из пластичного материала начинается , когда второй инвариант девиаторного напряжения достигает критического значения. [2] Это часть теории пластичности, которая лучше всего применима к пластичным материалам, таким как некоторые металлы. До текучести можно предположить, что реакция материала имеет нелинейно-упругое, вязкоупругое или линейно-упругое поведение.
В материаловедении и инженерии критерий текучести фон Мизеса также можно сформулировать в терминах напряжения фон Мизеса или эквивалентного растягивающего напряжения ,. Это скалярное значение напряжения, которое можно вычислить из тензора напряжений Коши . В этом случае говорят, что материал начинает деформироваться, когда напряжение по Мизесу достигает значения, известного как предел текучести ,. Напряжение фон Мизеса используется для прогнозирования текучести материалов при сложной нагрузке по результатам испытаний на одноосное растяжение. Напряжение фон Мизеса удовлетворяет свойству, при котором два напряженных состояния с одинаковой энергией искажения имеют одинаковое напряжение фон Мизеса.
Поскольку критерий текучести фон Мизеса не зависит от первого инварианта напряжения ,, он применим для анализа пластической деформации пластичных материалов, таких как металлы , поскольку начало текучести для этих материалов не зависит от гидростатической составляющей тензора напряжений .
Хотя считается, что он был сформулирован Джеймсом Клерком Максвеллом в 1865 году, Максвелл описал общие условия только в письме Уильяму Томсону (лорду Кельвину). [3] Ричард Эдлер фон Мизес строго сформулировал его в 1913 году. [2] [4] Титус Максимилиан Хубер (1904) в статье, написанной на польском языке, в некоторой степени предвосхитил этот критерий, правильно полагаясь на энергию деформации искажения, а не на общая энергия деформации, как у его предшественников. [5] [6] [7] Генрих Хенки сформулировал тот же критерий, что и фон Мизес, независимо в 1924 году. [8] По указанным выше причинам этот критерий также называется теорией Максвелла – Хубера – Хенки – фон Мизеса .
Математическая формулировка
Математически критерий доходности фон Мизеса выражается как:
где - предел текучести материала при чистом сдвиге. Как показано далее в этой статье, в начале текучести величина напряжения текучести при сдвиге при чистом сдвиге в √3 раза ниже, чем предел текучести при растяжении в случае простого растяжения. Таким образом, мы имеем:
где - предел текучести материала при растяжении. Если мы установим напряжение по Мизесу равным пределу текучести и объединим приведенные выше уравнения, критерий текучести по Мизесу может быть выражен как:
или же
Подстановка с членами компонент тензора напряжений Коши
- ,
где s - девиаторное напряжение. Это уравнение определяет поверхность текучести как круговой цилиндр (см. Рисунок), кривая текучести которого или пересечение с девиаторной плоскостью представляет собой круг с радиусом, или же . Это означает, что условие текучести не зависит от гидростатических напряжений.
Приведенное уравнение фон Мизеса для различных напряженных условий
Одноосное (1D) напряжение
В случае одноосного напряжения или простого растяжения ,, критерий фон Мизеса просто сводится к
- ,
это означает, что материал начинает уступать, когда достигает предела текучести материала, в соответствии с определением предела текучести при растяжении (или сжатии).
Многоосное (2D или 3D) напряжение
Эквивалентное напряжение при растяжении или эквивалентные Мизес напряжения ,используется для прогнозирования текучести материалов в условиях многоосного нагружения с использованием результатов простых испытаний на одноосное растяжение. Таким образом, мы определяем
где компоненты тензора девиатора напряжений :
- .
В этом случае текучесть происходит, когда эквивалентное напряжение, , достигает предела текучести материала при простом растяжении, . Например, напряженное состояние стальной балки при сжатии отличается от напряженного состояния стальной оси при кручении, даже если оба образца сделаны из одного материала. С учетом тензора напряжений, полностью описывающего напряженное состояние, эта разница проявляется в шести степенях свободы , поскольку тензор напряжений имеет шесть независимых компонент. Поэтому трудно сказать, какой из двух образцов ближе к пределу текучести или даже достиг его. Однако с помощью критерия текучести фон Мизеса, который зависит исключительно от значения скалярного напряжения фон Мизеса, т. Е. Одной степени свободы, это сравнение является прямым: большее значение фон Мизеса означает, что материал ближе к пределу текучести. точка.
В случае чистого напряжения сдвига ,, а все остальные , критерий фон Мизеса принимает следующий вид:
- .
Это означает, что в начале текучести величина напряжения сдвига при чистом сдвиге равна раз ниже, чем предел текучести при простом растяжении. Критерий текучести фон Мизеса для чистого напряжения сдвига, выраженного в главных напряжениях, имеет вид
В случае главной плоскости напряжения , а также , критерий фон Мизеса принимает вид:
Это уравнение представляет собой эллипс на плоскости .
Резюме
Состояние стресса | Граничные условия | уравнения фон Мизеса |
---|---|---|
Общий | Нет ограничений | |
Основные напряжения | ||
Общее плоское напряжение | ||
Напряжение главной плоскости | ||
Чистый сдвиг | ||
Одноосный |
Физическая интерпретация критерия текучести фон Мизеса
Хенки (1924) предложил физическую интерпретацию критерия фон Мизеса, предполагающую, что податливость начинается, когда упругая энергия искажения достигает критического значения. [6] По этой причине критерий фон Мизеса также известен как критерий максимальной энергии деформации деформации . Это происходит из отношения между и энергия упругой деформации искажения :
- с модулем упругого сдвига .
В 1937 году [9] Арпад Л. Надаи предположил, что податливость начинается, когда октаэдрическое напряжение сдвига достигает критического значения, т.е. октаэдрического напряжения сдвига материала при текучести при простом растяжении. В этом случае критерий текучести фон Мизеса также известен как критерий максимального октаэдрического напряжения сдвига ввиду прямой пропорциональности, которая существует между и октаэдрическое напряжение сдвига, , которая по определению
таким образом, у нас есть
- Плотность энергии деформации состоит из двух составляющих - объемной или диациональной и искажающей. Объемный компонент отвечает за изменение объема без изменения формы. Компонент искажения отвечает за деформацию сдвига или изменение формы.
Практическое инженерное использование критерия текучести фон Мизеса
Использование критерия фон Мизеса в качестве критерия текучести в точности применимо только тогда, когда свойства однородного материала равны
Поскольку ни один материал не будет иметь это соотношение точно, на практике необходимо использовать инженерную оценку, чтобы решить, какая теория разрушения подходит для данного материала. В качестве альтернативы, для использования теории Трески такое же отношение определяется как 1/2.
Запас прочности записывается как
Хотя данный критерий основан на явлении текучести, обширные испытания показали, что использование напряжения «фон Мизеса» применимо при предельной нагрузке [10]
Смотрите также
Рекомендации
- ^ «Критерий фон Мизеса (критерий максимальной энергии искажения)» . Инженерное преимущество . Проверено 8 февраля 2018 .
- ^ а б фон Мизес, Р. (1913). "Mechanik der festen Körper im plastisch-deformablen Zustand" . Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen . Mathematisch-Physikalische Klasse. 1913 (1): 582–592.
- ^ «Деформационная теория пластичности, стр. 151, раздел 4.5.6» . Проверено 11 июня 2017 .
- ^ Форд (1963). Передовая механика материалов . Лондон: Лонгманс.
- ^ Хубер, MT (1904). "Właściwa praca odkształcenia jako miara wytezenia materiału". Czasopismo Techniczne . Львов. 22 . Переведено как «Удельная работа деформации как мера материальных усилий» . Архив механики . 56 : 173–190. 2004 г.
- ^ а б Хилл Р. (1950). Математическая теория пластичности . Оксфорд: Clarendon Press.
- ^ Тимошенко, С. (1953). История сопротивления материалов . Нью-Йорк: Макгроу-Хилл.
- ^ Хенки, Х. (1924). "Zur Theorie plastischer Deformationen und der hierdurch im Material hervorgerufenen Nachspannngen". З. Энгью. Математика. Мех . 4 : 323–334. DOI : 10.1002 / zamm.19240040405 .
- ^ SMA Kazimi. (1982). Механика твердого тела. Тата МакГроу-Хилл. ISBN 0-07-451715-5
- ^ Стивен П. Тимошенко, Сопротивление материалов, Часть I, 2-е изд., 1940