Эллиптические функции Вейерштрасса

В математике , эллиптические функции Вейерштрассы являются эллиптическими функциями , которые принимают особенно простую форму. Они названы в честь Карла Вейерштрасса . Этот класс функций также называют p-функциями и обычно обозначают символом. Они играют важную роль в теории эллиптических функций. ℘-функция вместе с ее производной может использоваться для параметризации эллиптических кривых, и они генерируют поле эллиптических функций относительно заданной решетки периодов.

Символ Вейерштрасса -функции${\ displaystyle \ wp}$

Модель Вейерштрасса -функции${\ displaystyle \ wp}$

Определение [ править ]

Визуализация -функции с инвариантами и в которой белый соответствует полюсу, черной к нулю.${\ displaystyle \ wp}$${\ displaystyle g_ {2} = 1 + i}$${\ displaystyle g_ {3} = 2-3i}$

Позвольте быть двумя комплексными числами , которые линейно независимы по, и пусть будет решетка, порожденная этими числами. Тогда -функция определяется следующим образом: ${\ displaystyle \ omega _ {1}, \ omega _ {2} \ in \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\displaystyle \Lambda :=\mathbb {Z} \omega _{1}+\mathbb {Z} \omega _{2}:=\{m\omega _{1}+n\omega _{2}:m,n\in \mathbb {Z} \}}$${\displaystyle \wp }$

${\displaystyle \wp (z,\omega _{1},\omega _{2}):=\wp (z,\Lambda ):={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(z-\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)}$.

Этот ряд сходится локально равномерно абсолютно в . Часто а не только пишется.${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \Lambda }$${\displaystyle \wp (z,\omega _{1},\omega _{2})}$${\displaystyle \wp (z)}$

Функция Вейерштрасса построена точно таким образом, что в каждой точке решетки имеет полюс второго порядка.${\displaystyle \wp }$

Поскольку одна сумма не сходится, необходимо добавить член . ^[1]${\displaystyle \sum _{\lambda \in \Lambda }{\frac {1}{(z-\lambda )^{2}}}}$${\displaystyle -{\frac {1}{\lambda ^{2}}}}$

Принято использовать и в качестве генераторов решетки. Умножение на изоморфно отображает решетку на решетку с . Путем возможной замены на него можно предположить, что . Один набор .${\displaystyle 1}$${\displaystyle \tau \in \mathbb {H} :=\{z\in \mathbb {C} :\operatorname {Im} (z)>0\}}$${\displaystyle {\frac {1}{\omega _{1}}}}$${\displaystyle \mathbb {Z} \omega _{1}+\mathbb {Z} \omega _{2}}$${\displaystyle \mathbb {Z} +\mathbb {Z} \tau }$${\displaystyle \tau ={\frac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle -\tau }$${\displaystyle \tau \in \mathbb {H} }$${\displaystyle \wp (z,\tau ):=\wp (z,1,\tau )}$

Мотивация [ править ]

Кубика вида , где - комплексные числа с , не может быть рационально параметризована. ^[2] Тем не менее, все еще хотят найти способ параметризации.${\displaystyle C_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }=\{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:y^{2}=4x^{3}-g_{2}x+g_{3}\}}$${\displaystyle g_{2},g_{3}\in \mathbb {C} }$${\displaystyle g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}\neq 0}$

Для квадрики , единичного круга, существует (нерациональная) параметризация с использованием функции синуса и ее производной функции косинуса:${\displaystyle K=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}=1\}}$

${\displaystyle \psi :\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} \to K,\quad t\mapsto (\sin(t),\cos(t))}$.

Из-за периодичности синуса и косинуса в качестве домена выбрана функция, поэтому функция является биективной. ${\displaystyle \mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }$

Аналогичным образом можно получить параметризацию с помощью двоякопериодической -функции (см. Раздел «Связь с эллитпическими кривыми»). Эта параметризация имеет область , топологически эквивалентную тору . ^[3]${\displaystyle C_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }}$${\displaystyle \wp }$${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$

Есть еще одна аналогия с тригонометрическими функциями. Рассмотрим интегральную функцию

${\displaystyle a(x)=\int _{0}^{x}{\frac {dy}{\sqrt {(1-y^{2})}}}}$.

Его можно упростить, заменив и :${\displaystyle y=\sin(t)}$${\displaystyle s=\arcsin(x)}$

${\displaystyle a(x)=\int _{0}^{s}dt=s=\arcsin(x)}$.

Это значит . Таким образом, синусоидальная функция является обратной функцией интегральной функции. ^[4]${\displaystyle a^{-1}(x)=\sin(x)}$

Эллиптические функции также являются функциями, обратными интегральным функциям, а именно эллиптическим интегралам . В частности, -функция получается следующим образом:${\displaystyle \wp }$

Позволять

${\displaystyle u(z)=-\int _{z}^{\infty }{\frac {ds}{\sqrt {4s^{3}-g_{2}s-g_{3}}}}}$.

Затем его можно продолжить на комплексную плоскость, и это расширение будет равно -функции. ^[5]${\displaystyle u^{-1}}$${\displaystyle \wp }$

Свойства [ править ]

• ℘ - четная функция. Это означает для всех , что можно увидеть следующим образом:${\displaystyle \wp (z)=\wp (-z)}$${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \Lambda }$

${\displaystyle \wp (-z)={\frac {1}{(-z)^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(-z-\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(z+\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(z-\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)=\wp (z)}$

Второе последнее равенство выполняется, потому что . Поскольку сумма абсолютно сходится, эта перестановка не меняет предела.${\displaystyle \{-\lambda :\lambda \in \Lambda \}=\Lambda }$

• Мероморфен и его производная ^[6]

${\displaystyle \wp '(z)=-2\sum _{\lambda \in \Lambda }{\frac {1}{(z-\lambda )^{3}}}}$.

• ${\displaystyle \wp }$и двоякопериодичны с периодами und . ^[6] Это означает:${\displaystyle \wp '}$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{2}}$

${\displaystyle \wp (z+\omega _{1})=\wp (z)=\wp (z+\omega _{2})}$и .${\displaystyle \wp '(z+\omega _{1})=\wp '(z)=\wp '(z+\omega _{2})}$

Отсюда следует и для всех . Функции, которые являются мероморфными и двоякопериодическими, также называются эллиптическими функциями .${\displaystyle \wp (z+\lambda )=\wp (z)}$${\displaystyle \wp '(z+\lambda )=\wp '(z)}$${\displaystyle \lambda \in \Lambda }$

Расширение Лорана [ править ]

Пусть . Тогда для в -функции имеет следующее разложение в ряд Лорана${\displaystyle r:=\min\{{|\lambda }|:0\neq \lambda \in \Lambda \}}$${\displaystyle 0<|z|<r}$${\displaystyle \wp }$

${\displaystyle \wp (z)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{n=1}^{\infty }(2n+1)G_{2n+2}z^{2n}}$

где

${\displaystyle G_{n}=\sum _{0\neq \lambda \in \Lambda }\lambda ^{-n}}$ ибо это так называемые ряды Эйзенштейна . ^[6]${\displaystyle n\geq 3}$

Дифференциальное уравнение [ править ]

Установите и . Тогда -функция удовлетворяет дифференциальному уравнению ^[6]${\displaystyle g_{2}=60G_{4}}$${\displaystyle g_{3}=140G_{6}}$${\displaystyle \wp }$

${\displaystyle \wp '^{2}(z)=4\wp ^{3}(z)-g_{2}\wp (z)-g_{3}}$.

Это соотношение может быть проверено путем формирования линейной комбинации степеней и исключения полюса в точке . Это дает целую эллиптическую функцию, которая должна быть постоянной по теореме Лиувилля . ^[6]${\displaystyle \wp }$${\displaystyle \wp '}$${\displaystyle z=0}$

Инварианты [ править ]

Коэффициенты вышеуказанного дифференциального уравнения g ₂ и g ₃ известны как инварианты . Поскольку они зависят от решетки, их можно рассматривать как функции в и .${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{2}}$

Разложение в ряд предполагает, что g ₂ и g ₃ являются однородными функциями степени −4 и −6. То есть ^[7]

${\displaystyle g_{2}(\lambda \omega _{1},\lambda \omega _{2})=\lambda ^{-4}g_{2}(\omega _{1},\omega _{2})}$

${\displaystyle g_{3}(\lambda \omega _{1},\lambda \omega _{2})=\lambda ^{-6}g_{3}(\omega _{1},\omega _{2})}$для .${\displaystyle \lambda \neq 0}$

Если и выбраны таким образом, что g ₂ и g ₃ можно интерпретировать как функции на верхней полуплоскости .${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{2}}$${\displaystyle \operatorname {Im} \left({\frac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}\right)>0}$ ${\displaystyle \mathbb {H} :=\{z\in \mathbb {C} :\operatorname {Im} (z)>0\}}$

Пусть . У одного есть: ^[8]${\displaystyle \tau ={\frac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}}$

${\displaystyle g_{2}(1,\tau )=\omega _{1}^{4}g_{2}(\omega _{1},\omega _{2})}$,

${\displaystyle g_{3}(1,\tau )=\omega _{1}^{6}g_{3}(\omega _{1},\omega _{2})}$.

Это означает, что g ₂ и g ₃ масштабируются только таким образом. Набор

${\displaystyle g_{2}(\tau ):=g_{2}(1,\tau )}$, .${\displaystyle g_{3}(\tau ):=g_{3}(1,\tau )}$

В качестве функций используются так называемые модульные формы.${\displaystyle \tau \in \mathbb {H} }$ ${\displaystyle g_{2},g_{3}}$

Ряд Фурье для и задается следующим образом : ^[9]${\displaystyle g_{2}}$${\displaystyle g_{3}}$

${\displaystyle g_{2}(\tau )={\frac {4}{3}}\pi ^{4}\left[1+240\sum _{k=1}^{\infty }\sigma _{3}(k)q^{2k}\right]}$

${\displaystyle g_{3}(\tau )={\frac {8}{27}}\pi ^{6}\left[1-504\sum _{k=1}^{\infty }\sigma _{5}(k)q^{2k}\right]}$

где - функция делителя и . ${\displaystyle \sigma _{a}(k):=\sum _{d\mid {k}}d^{\alpha }}$${\displaystyle q:=\exp(i\pi \tau )}$

Модульный дискриминант [ править ]

Модульное дискриминант Δ определяется как дискриминант многочлена в правой части приведенного выше дифференциального уравнения:

${\displaystyle \Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}.\,}$

Дискриминант представляет собой модульную форму веса 12. То есть под действием модулярной группы он преобразуется как

${\displaystyle \Delta \left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=\left(c\tau +d\right)^{12}\Delta (\tau )}$

где при ad  -  bc = 1. ^[10]${\displaystyle a,b,d,c\in \mathbb {Z} }$

Обратите внимание, где находится эта функция Дедекинда . ^[11]${\displaystyle \Delta =(2\pi )^{12}\eta ^{24}}$${\displaystyle \eta }$

Для коэффициентов Фурье см тау-функцию Рамануджана .${\displaystyle \Delta }$

Константы e ₁ , e ₂ и e ₃ [ править ]

${\displaystyle e_{1}}$, и обычно используются для обозначения значений -функции на полупериодах.${\displaystyle e_{2}}$${\displaystyle e_{3}}$${\displaystyle \wp }$

${\displaystyle e_{1}:=\wp \left({\frac {\omega _{1}}{2}}\right)}$

${\displaystyle e_{2}:=\wp \left({\frac {\omega _{2}}{2}}\right)}$

${\displaystyle e_{3}:=\wp \left({\frac {\omega _{1}+\omega _{2}}{2}}\right)}$

Они попарно различны и зависят только от решетки, а не от ее образующих. ^[12]${\displaystyle \Lambda }$

${\displaystyle e_{1}}$, и являются корнями кубического многочлена и связаны уравнением:${\displaystyle e_{2}}$${\displaystyle e_{3}}$${\displaystyle 4\wp (z)^{3}-g_{2}\wp (z)-g_{3}}$

${\displaystyle e_{1}+e_{2}+e_{3}=0}$.

Поскольку эти корни различны, дискриминант не обращается в нуль в верхней полуплоскости. ^[13] Теперь мы можем переписать дифференциальное уравнение:${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle \wp '^{2}(z)=4(\wp (z)-e_{1})(\wp (z)-e_{2})(\wp (z)-e_{3})}$.

Это означает, что полупериоды равны нулю .${\displaystyle \wp '}$

Инварианты и можно выразить через эти константы следующим образом: ^[14]${\displaystyle g_{2}}$${\displaystyle g_{3}}$

${\displaystyle g_{2}=-4(e_{1}e_{2}+e_{1}e_{3}+e_{2}e_{3})}$

${\displaystyle g_{3}=4e_{1}e_{2}e_{3}}$

Связь с эллиптическими кривыми [ править ]

Рассмотрим проективную кубическую кривую

${\displaystyle {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }=\{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:y^{2}=4x^{3}-g_{2}x+g_{3}\}\cup \{\infty \}\subset \mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{2}}$.

Для этой кубики, также называемой кубикой Вейерштрасса, не существует рациональной параметризации, если . ^[2] В этом случае ее еще называют эллиптической кривой. Тем не менее, существует параметризация, в которой используется -функция и ее производная : ^[15]${\displaystyle \Delta \neq 0}$${\displaystyle \wp }$${\displaystyle \wp '}$

${\displaystyle \varphi :\mathbb {C} /\Lambda \to {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} },\quad {\bar {z}}\mapsto {\begin{cases}(\wp (z),\wp '(z),1)&{\bar {z}}\neq 0\\\infty \quad &{\bar {z}}=0\end{cases}}}$

Теперь карта является биективен и параметризует эллиптической кривой .${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }}$

${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$является абелевой группой и топологическое пространство , оборудованная с топологией фактора.

Можно показать, что каждая кубика Вейерштрасса задана таким образом. То есть для каждой пары с существует решетка такая, что ${\displaystyle g_{2},g_{3}\in \mathbb {C} }$${\displaystyle \Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}\neq 0}$${\displaystyle \mathbb {Z} \omega _{1}+\mathbb {Z} \omega _{2}}$

${\displaystyle g_{2}=g_{2}(\omega _{1},\omega _{2})}$и . ^[16]${\displaystyle g_{3}=g_{3}(\omega _{1},\omega _{2})}$

Утверждение о том, что эллиптические кривые можно параметризовать , известно как теорема модулярности . Это важная теорема теории чисел . Это было частью доказательства Эндрю Уайлса (1995) Великой теоремы Ферма .${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Теоремы сложения [ править ]

Давай , так что . Тогда есть: ^[17]${\displaystyle z,w\in \mathbb {C} }$${\displaystyle z,w,z+w,z-w\notin \Lambda }$

${\displaystyle \wp (z+w)={\frac {1}{4}}\left[{\frac {\wp '(z)-\wp '(w)}{\wp (z)-\wp (w)}}\right]^{2}-\wp (z)-\wp (w)}$.

А также формула дублирования: ^[17]

${\displaystyle \wp (2z)={\frac {1}{4}}\left[{\frac {\wp ''(z)}{\wp '(z)}}\right]^{2}-2\wp (z)}$.

Эти формулы также имеют геометрическую интерпретацию, если посмотреть на эллиптическую кривую вместе с отображением, как в предыдущем разделе. ${\displaystyle {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }}$${\displaystyle {\varphi }:\mathbb {C} /\Lambda \to {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }}$

Групповая структура переводится в кривую и может быть там геометрически интерпретирована: ${\displaystyle (\mathbb {C} /\Lambda ,+)}$${\displaystyle {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }}$

Сумма трех попарно различных точек равна нулю тогда и только тогда, когда они лежат на одной прямой в . ^[18]${\displaystyle a,b,c\in {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }}$${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{2}}$

Это эквивалентно:

${\displaystyle \det \left({\begin{array}{rrr}1&\wp (u+v)&-\wp '(u+v)\\1&\wp (v)&\wp '(v)\\1&\wp (u)&\wp '(u)\\\end{array}}\right)=0}$,

где , и . ^[19]${\displaystyle \wp (u)=a}$${\displaystyle \wp (v)=b}$${\displaystyle u,v\notin \Lambda }$

Связь с эллиптическими функциями Якоби [ править ]

Для численной работы часто удобно вычислять эллиптическую функцию Вейерштрасса в терминах эллиптических функций Якоби .

Основные отношения: ^[20]

${\displaystyle \wp (z)=e_{3}+{\frac {e_{1}-e_{3}}{\operatorname {sn} ^{2}w}}=e_{2}+(e_{1}-e_{3}){\frac {\operatorname {dn} ^{2}w}{\operatorname {sn} ^{2}w}}=e_{1}+(e_{1}-e_{3}){\frac {\operatorname {cn} ^{2}w}{\operatorname {sn} ^{2}w}}}$

где и - три корня, описанные выше, и где модуль k функций Якоби равен${\displaystyle e_{1},e_{2}}$${\displaystyle e_{3}}$

${\displaystyle k={\sqrt {\frac {e_{2}-e_{3}}{e_{1}-e_{3}}}}}$

и их аргумент w равен

${\displaystyle w=z{\sqrt {e_{1}-e_{3}}}.}$

Типография [ править ]

Эллиптическая функция Вейерштрасса обычно записывается довольно специальной строчной буквой script. ^{[сноска 1]}

В вычислительной технике буква ℘ используется как \wpв TeX . В Unicode точка код U + 2118 ℘ SCRIPT КАПИТАЛ Р (HTML  ℘ · ℘, ℘ ), с более правильным псевдонимом Вейерштрасса эллиптической функции . ^{[сноска 2]} В HTML это может быть экранировано как ℘.

См. Также [ править ]

• Функции Вейерштрасса

Сноски [ править ]

Ссылки [ править ]

• Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964]. «Глава 18» . Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями, десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое издание). Вашингтон; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. п. 627. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036 . Руководство по ремонту  0167642 . LCCN  65-12253 .
• Н. И. Ахиезер , Элементы теории эллиптических функций , (1970) Москва, переведено на английский как AMS Переводы математических монографий Том 79 (1990) AMS, Род-Айленд ISBN 0-8218-4532-2 
• Том М. Апостол , Модульные функции и ряды Дирихле в теории чисел, второе издание (1990), Springer, New York ISBN 0-387-97127-0 (см. Главу 1.) 
• К. Чандрасекхаран, Эллиптические функции (1980), Springer-Verlag ISBN 0-387-15295-4 
• Конрад Кнопп , Funktionentheorie II (1947), Dover Publications; Переиздано в английском переводе как Theory of Functions (1996), Dover Publications ISBN 0-486-69219-1 
• Серж Лэнг , Эллиптические функции (1973), Аддисон-Уэсли, ISBN 0-201-04162-6 
• Е. Т. Уиттакер и Г. Н. Уотсон , Курс современного анализа , Cambridge University Press , 1952, главы 20 и 21

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы, связанные с эллиптическими функциями Вейерштрасса .

• "Эллиптические функции Вейерштрасса" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Эллиптические функции Вейерштрасса на Mathworld .
• Глава 23, Эллиптические и модульные функции Вейерштрасса в DLMF ( Электронная библиотека математических функций ), написанная В.П. Рейнхардтом и П.Л. Уокером.