В математической теории узлов , спутник узел является узлом , который содержит несжимаемый , не являющийся краевой параллельный тор в его дополнении . [1] Каждый узел является либо гиперболическим, либо тором, либо узлом-спутником. Класс спутниковых узлов включает составные узлы, кабельные узлы и двойные узлы Уайтхеда. ( См. Определения последних двух классов в разделе Базовые семейства ниже.) Спутниковая линия связи - это линия, которая вращается вокруг узла-компаньона Kв том смысле, что он находится внутри обычного соседства с компаньоном. [2] : 217
Спутниковый узел можно живописно описать так: начнем с нетривиального узла лежащий внутри незаузленного полнотория . Здесь «нетривиальный» означает, что узел не разрешается сидеть внутри 3-мяча в а также не допускается быть изотопным центральной кривой ядра полнотория. Затем свяжите полноторие в нетривиальный узел.
Это означает, что существует нетривиальное вложение а также . Центральная кривая ядра полнотория отправляется в узел , который называется «узел-спутник» и считается планетой, вокруг которой «узел-спутник» орбиты. Конструкция гарантирует, что - безграничный параллельный несжимаемый тор в дополнении к . Составные узлы содержат определенный вид несжимаемого тора, называемого тором с проглатыванием , который можно представить как проглатывающее одно слагаемое и следующее за другим слагаемым.
С - полноторий без узлов, трубчатая окрестность узла . Двухкомпонентное звено вместе с вложением называется шаблоном, связанным с работой спутника.
Условие: люди обычно требуют, чтобы встраивание это раскручивается в том смысле , что должен послать стандартную долготу к стандартной долготе . Сказал по-другому, учитывая любые две непересекающиеся кривые, сохраняет их связывающие номера, то есть: .
Основные семьи
Когда является торическим узлом , тоназывается кабельным узлом. Примеры 3 и 4 - кабельные узлы.
Если является нетривиальным узлом в а если сжимающий диск для пересекает ровно в одной точке, то называется связной суммой. Другой способ сказать это: шаблон является связной суммой нетривиального узла со ссылкой Хопфа.
Если ссылка это ссылка Уайтхеда ,называется дублером Уайтхеда. Если раскручивается, называется раскрученным двойником Уайтхеда.
Примеры
Пример 1: сумма соединения узла в форме восьмерки и трилистника.
Пример 2: Раскрученный дубль Уайтхеда восьмерки.
Пример 3: Кабель соединительной суммы.
Пример 4: Трос из трилистника.
Примеры 5 и 6 представляют собой варианты одной и той же конструкции. У них обоих есть два непараллельных, не гранично-параллельных несжимаемых тора в своих дополнениях, разбивающих дополнение на объединение трех многообразий. В примере 5 такими многообразиями являются: дополнение колец Борромео, дополнение трилистника и дополнение восьмерки. В примере 6 дополнение в виде восьмерки заменено другим дополнением в виде трилистника.
Происхождение
В 1949 г. [3] Хорст Шуберт доказал, что каждый ориентированный узел в разлагается как связная сумма простых узлов уникальным образом, вплоть до переупорядочения, в результате чего моноид ориентированных изотопических классов узлов в свободный коммутативный моноид на счетно-бесконечном множестве образующих. Вскоре после этого он понял, что может дать новое доказательство своей теоремы путем тщательного анализа несжимаемых торов, присутствующих в дополнении связной суммы. Это привело его к изучению общих несжимаемым тор в сучках комплементов в его эпическом произведении Knoten унд Vollringe , [4] , где он определил спутниковые и сопутствующие узлы.
Последующая работа
Доказательство Шуберта того, что несжимаемые торы играют важную роль в теории узлов, было одним из первых открытий, приведших к объединению теории трехмерных многообразий и теории узлов. Это привлекло внимание Вальдхаузена, который позже использовал несжимаемые поверхности, чтобы показать, что большой класс трехмерных многообразий гомеоморфен тогда и только тогда, когда их фундаментальные группы изоморфны. [5] Вальдхаузен предположил, что теперь является разложением Жако – Шалена – Йохансона трехмерных многообразий, которое является разложением трехмерных многообразий по сферам и несжимаемым торам. Позже это стало основным ингредиентом в развитии геометризации , которую можно рассматривать как частичную классификацию трехмерных многообразий. Разветвления теории узлов были впервые описаны в давно неопубликованной рукописи Бонахона и Зибенмана. [6]
Уникальность спутниковой декомпозиции
В « Knoten und Vollringe» Шуберт доказал, что в некоторых случаях существует, по сути, уникальный способ выразить узел как спутник. Но есть также много известных примеров, когда разложение не однозначно. [7] С соответствующим расширенным понятием спутниковой операции, называемым сращиванием, JSJ-разложение дает правильную теорему единственности для спутниковых узлов. [8] [9]
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Колин Адамс, Книга узлов: элементарное введение в математическую теорию узлов , (2001), ISBN 0-7167-4219-5
- ^ Менаско, Уильям ; Thistlethwaite, Morwen , ред. (2005). Справочник по теории узлов . Эльзевир. ISBN 0080459544. Проверено 18 августа 2014 .
- ^ Шуберт, Х. Die eindeutige Zerlegbarkeit eines Knotens в Primknoten. S.-B Heidelberger Akad. Wiss. Math.-Nat. Kl. 1949 (1949), 57–104.
- ^ Шуберта, H. Knoten унд Vollringe. Acta Math. 90 (1953), 131–286.
- ^ Вальдхаузен, Ф. О неприводимых трехмерных многообразиях, которые достаточно велики. Ann. математики. (2) 87 (1968), 56–88.
- ^ Ф. Бонахон, Л. Зибенманн, Новые геометрические расщепления классических узлов, а также классификация и симметрии древовидных узлов , [1]
- ^ Мотеги, К. Типы узлов спутниковых узлов и скрученных узлов. Лекции в узлах-96. World Scientific.
- ^ Эйзенбуд, Д. Нойман, В. Трехмерная теория зацепления и инварианты особенностей плоских кривых. Аня. математики. Stud. 110
- ^ Будни, Р. JSJ-разложения дополнений узлов и зацеплений в S ^ 3. L'enseignement Mathematique 2e Serie Tome 52 Fasc. 3–4 (2006). arXiv: math.GT/0506523