Отбеливающая трансформация

Отбеливающее преобразование или sphering преобразование является линейным преобразованием , которое преобразует вектор случайных величин с известной ковариационной матрицей в набор новых переменные, ковариация является единичной матрицей , а это означает , что они не коррелированны и имеют дисперсию 1. ^[1] преобразование называется «отбеливанием», потому что оно превращает входной вектор в вектор белого шума .

Несколько других преобразований тесно связаны с отбеливанием:

1. декорелляция преобразование удаляет только корреляция , но оставляет нетронутую дисперсии,
2. стандартизации преобразования наборов отклонений 1 , но оставляет нетронутыми корреляции,
3. окраски трансформация преобразует вектор белых случайных величин в случайный вектор с заданной ковариационной матрицей. ^[2]

Определение [ править ]

Предположим , это случайный вектор (столбец) с невырожденной матрицей ковариации и средним значением . Затем преобразование с отбеливающей матрицей, удовлетворяющей условию, дает побелевший случайный вектор с единичной диагональной ковариацией.${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ Sigma}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle Y = WX}$ ${\ displaystyle W}$${\ Displaystyle W ^ {\ mathrm {T}} W = \ Sigma ^ {- 1}}$${\ displaystyle Y}$

Существует бесконечно много возможных отбеливающих матриц, которые удовлетворяют вышеуказанному условию. Обычно используемые варианты (Махаланобис или ZCA отбеливания), то разложение Холецкого из (Холецкого отбеливания), или собственная-система (РС отбеливания). ^[3]${\ displaystyle W}$${\displaystyle W=\Sigma ^{-1/2}}$${\displaystyle \Sigma ^{-1}}$${\displaystyle \Sigma }$

Оптимальные преобразования отбеливания можно выделить, исследуя кросс-ковариацию и кросс-корреляцию и . ^[4] Например, уникальное оптимальное преобразование отбеливания, обеспечивающее максимальную покомпонентную корреляцию между исходным и отбеленным , производится матрицей отбеливания, где - матрица корреляции и матрица дисперсии.${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle W=P^{-1/2}V^{-1/2}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle V}$

Отбеливание матрицы данных [ править ]

Отбеливание матрицы данных происходит так же, как и для случайных величин. Эмпирическое преобразование отбеливания получают путем оценки ковариации (например, по максимальной вероятности ) и последующего построения соответствующей оцененной матрицы отбеливания (например, с помощью разложения Холецкого ).

Реализация R [ править ]

Реализация нескольких процедур отбеливания в R , включая отбеливание ZCA и отбеливание PCA, а также отбеливание CCA , доступна в пакете «отбеливание» R ^[5], опубликованном на CRAN .

См. Также [ править ]

• Декорреляция
• Анализ главных компонентов
• Взвешенный метод наименьших квадратов
• Каноническая корреляция

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• http://courses.media.mit.edu/2010fall/mas622j/whiten.pdf
• Преобразование в отбеливание ZCA . Приложение A « Изучение нескольких слоев элементов по крошечным изображениям » А. Крижевского.