В теории вероятностей и статистике две случайные величины с действительными значениями ,, , называются некоррелированными, если их ковариация ,, равно нулю. Если две переменные не коррелированы, между ними нет линейной зависимости.
У некоррелированных случайных величин коэффициент корреляции Пирсона равен нулю, за исключением тривиального случая, когда любая переменная имеет нулевую дисперсию (является константой). В этом случае корреляция не определена.
В общем, некоррелированность - это не то же самое, что ортогональность , за исключением особого случая, когда по крайней мере одна из двух случайных величин имеет ожидаемое значение 0. В этом случае ковариация - это математическое ожидание продукта, и а также некоррелированы тогда и только тогда, когда .
Если а также являются независимыми , с конечными вторыми моментами , то они коррелированы. Однако не все некоррелированные переменные независимы. [1] : стр. 155
Определение двух реальных случайных величин
Две случайные величины называются некоррелированными, если их ковариация равно нулю. [1] : стр. 153 [2] : с. 121 Формально:
Определение двух сложных случайных величин
Две сложные случайные величины называются некоррелированными, если их ковариация и их псевдоковариантность равен нулю, т.е.
Определение более двух случайных величин
Набор из двух или более случайных величин называется некоррелированной, если каждая пара из них некоррелирована. Это эквивалентно требованию, чтобы недиагональные элементы матрицы автоковариации от случайного вектора все равны нулю. Матрица автоковариации определяется как:
Пример 1
- Позволять - случайная величина, которая принимает значение 0 с вероятностью 1/2 и значение 1 с вероятностью 1/2.
- Позволять быть случайной величиной, не зависящей от, который принимает значение −1 с вероятностью 1/2 и принимает значение 1 с вероятностью 1/2.
- Позволять случайная величина, построенная как .
Утверждение состоит в том, что а также имеют нулевую ковариацию (и, следовательно, некоррелированы), но не являются независимыми.
Доказательство:
Принимая во внимание, что
где выполняется второе равенство, поскольку а также независимы, получается
Следовательно, а также некоррелированы.
Независимость а также означает, что для всех а также , . Это неверно, в частности, для а также .
Таким образом так а также не независимы.
QED
Пример 2
Если - непрерывная случайная величина, равномерно распределенная на а также , тогда а также некоррелированы, хотя определяет и особая ценность может быть произведено только одним или двумя значениями :
с другой стороны, равен 0 на треугольнике, определяемом формулой хотя не является нулем в этом домене. Следовательно и переменные не являются независимыми.
Следовательно, переменные некоррелированы.
Есть случаи, когда некоррелированность подразумевает независимость. Один из этих случаев - это тот, в котором обе случайные величины являются двузначными (поэтому каждая может быть линейно преобразована для получения распределения Бернулли ). [3] Кроме того, две совместно нормально распределенные случайные величины являются независимыми, если они некоррелированы, [4] хотя это не выполняется для переменных, маргинальные распределения которых являются нормальными и некоррелированными, но совместное распределение которых не является совместным нормальным (см. Нормально распределенные и некоррелированные не подразумевают независимость ).
Некоррелированные случайные векторы
Два случайных вектора а также называются некоррелированными, если
- .
Они некоррелированы тогда и только тогда, когда их матрица кросс-ковариации равно нулю. [5] : с.337
Два сложных случайных вектора а также называются некоррелированными, если их матрица кросс-ковариаций и их матрица псевдокросс-ковариаций равна нулю, т. е. если
где
а также
- .
Некоррелированные случайные процессы
Два случайных процесса а также называются некоррелированными, если их кросс-ковариациявсегда равен нулю. [2] : с. 142 Формально: