Комплексная случайная величина

В теории вероятностей и статистике , комплексные случайные величины являются обобщением вещественных случайных величин к комплексным числам , то есть возможные значения комплексная случайная величина может принимать комплексные числа. ^[1] Сложные случайные величины всегда можно рассматривать как пары реальных случайных величин: их действительную и мнимую части. Следовательно, распределение одной комплексной случайной величины можно интерпретировать как совместное распределение двух реальных случайных величин.

Некоторые концепции реальных случайных величин имеют прямое обобщение на сложные случайные величины - например, определение среднего значения сложной случайной величины. Другие концепции уникальны для сложных случайных величин.

Приложения сложных случайных величин находятся в цифровой обработке сигналов , ^[2] квадратурной амплитудной модуляции и теории информации .

Часть серии по статистике
Теория вероятности
Вероятность Аксиомы вероятности Детерминизм Индетерминизм Случайность
Вероятностное пространство Образец пространства Мероприятие Коллективно исчерпывающие события Элементарное мероприятие Взаимная эксклюзивность Исход Синглтон Эксперимент Бернулли суд Распределение вероятностей Распределение Бернулли Биномиальное распределение Нормальное распределение Вероятностная мера Случайная переменная Процесс Бернулли Непрерывный или дискретный Ожидаемое значение Цепь Маркова Наблюдаемое значение Случайная прогулка Стохастический процесс
Дополнительное мероприятие Совместная вероятность Предельная вероятность Условная возможность
Независимость Условная независимость Закон полной вероятности Закон больших чисел Теорема Байеса Неравенство Буля
Диаграмма Венна Древовидная диаграмма
v т е

Определение [ править ]

Сложная случайная величина на вероятностном пространстве является функцией , такие , что как действительная часть , и ее мнимая часть вещественные случайные величины на .${\ displaystyle Z}$ ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, P)}$ ${\ Displaystyle Z \ двоеточие \ Omega \ rightarrow \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle \ Re {(Z)}}$${\ Displaystyle \ Im {(Z)}}$${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, P)}$

Примеры [ править ]

Простой пример [ править ]

Рассмотрим случайную переменную, которая может принимать только три комплексных значения с вероятностями, указанными в таблице. Это простой пример сложной случайной величины.${\ Displaystyle 1 + я, 1-я, 2}$

Вероятность ${\ Displaystyle P (z)}$	Значение ${\ displaystyle z}$
${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$	${\displaystyle 1+i}$
${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$	${\displaystyle 1-i}$
${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle 2}$

Ожидание этой случайной величины может быть просто вычислено:${\displaystyle \operatorname {E} [Z]={\frac {1}{4}}(1+i)+{\frac {1}{4}}(1-i)+{\frac {1}{2}}2={\frac {3}{2}}.}$

Равномерное распределение [ править ]

Другой пример сложной случайной величины - равномерное распределение по заполненной единичной окружности, то есть множеству . Эта случайная величина является примером сложной случайной величины, для которой определена функция плотности вероятности . Функция плотности показана в виде желтого диска и темно-синего основания на следующем рисунке.${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} \mid |z|\leq 1\}}$

Сложное нормальное распределение [ править ]

В приложениях часто встречаются сложные гауссовские случайные величины. Они представляют собой прямое обобщение реальных гауссовских случайных величин. На следующем графике показан пример распределения такой переменной.

Кумулятивная функция распределения [ править ]

Обобщение кумулятивной функции распределения от реальных до сложных случайных величин неочевидно, потому что выражения формы не имеют смысла. Однако выражения формы имеют смысл. Поэтому мы определяем кумулятивное распределение сложных случайных величин через совместное распределение их действительной и мнимой частей:${\displaystyle P(Z\leq 1+3i)}$${\displaystyle P(\Re {(Z)}\leq 1,\Im {(Z)}\leq 3)}$${\displaystyle F_{Z}:\mathbb {C} \to [0,1]}$

${\displaystyle F_{Z}(z)=F_{\Re {(Z)},\Im {(Z)}}(\Re {(z)},\Im {(z)})=P(\Re {(Z)}\leq \Re {(z)},\Im {(Z)}\leq \Im {(z)})}$

( Уравнение 1 )

Функция плотности вероятности [ править ]

Функция плотности вероятности комплексной случайной величины определяется как , т.е. значение функции плотности в точке определяется как равное значению совместной плотности действительной и мнимой частей случайной величины, оцененной в точке .${\displaystyle f_{Z}(z)=f_{\Re {(Z)},\Im {(Z)}}(\Re {(z)},\Im {(z)})}$${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$${\displaystyle (\Re {(z)},\Im {(z)})}$

Эквивалентное определение дается где и .${\displaystyle f_{Z}(z)={\frac {\partial ^{2}}{\partial x\partial y}}P(\Re {(Z)}\leq x,\Im {(Z)}\leq y)}$${\displaystyle x=\Re {(z)}}$${\displaystyle y=\Im {(z)}}$

Как и в реальном случае, функция плотности может не существовать.

Ожидание [ править ]

Определение [ править ]

Математическое ожидание сложной случайной величины определяется на основе определения математического ожидания реальной случайной величины: ^{[3] : p. 112}

${\displaystyle \operatorname {E} [Z]=\operatorname {E} [\Re {(Z)}]+i\operatorname {E} [\Im {(Z)}]}$

( Уравнение 2 )

Обратите внимание, что ожидание сложной случайной величины не существует, если или не существует.${\displaystyle \operatorname {E} [\Re {(Z)}]}$${\displaystyle \operatorname {E} [\Im {(Z)}]}$

Если сложная случайная величина имеет функцию плотности вероятности , то математическое ожидание равно .${\displaystyle Z}$${\displaystyle f_{Z}(z)}$${\displaystyle \operatorname {E} [Z]=\int _{\mathbb {C} }z\cdot f_{Z}(z)dz}$

Если сложная случайная величина имеет функцию массы вероятности , то математическое ожидание равно .${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle p_{Z}(z)}$${\displaystyle \operatorname {E} [Z]=\sum _{z\in \mathbb {Z} }z\cdot p_{Z}(z)}$

Свойства [ править ]

Всякий раз, когда существует математическое ожидание сложной случайной величины, математическое ожидание и комплексное сопряжение коммутируют:

${\displaystyle {\overline {\operatorname {E} [Z]}}=\operatorname {E} [{\overline {Z}}].}$

Оператор ожидаемого значения является линейным в том смысле , что${\displaystyle \operatorname {E} [\cdot ]}$

${\displaystyle \operatorname {E} [aZ+bW]=a\operatorname {E} [Z]+b\operatorname {E} [W]}$

для любых комплексных коэффициентов, даже если и не являются независимыми .${\displaystyle a,b}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle W}$

Дисперсия и псевдоверсия [ править ]

Вариант определения [ править ]

Дисперсия определяется как: ^{[3] : p. 117}

${\displaystyle \operatorname {Var} [Z]=\operatorname {E} [|Z-\operatorname {E} [Z]|^{2}]=\operatorname {E} [|Z|^{2}]-|\operatorname {E} [Z]|^{2}}$

( Уравнение 3 )

Свойства [ править ]

Дисперсия всегда является неотрицательным действительным числом. Он равен сумме дисперсий действительной и мнимой части комплексной случайной величины:

${\displaystyle \operatorname {Var} [Z]=\operatorname {Var} [\Re {(Z)}]+\operatorname {Var} [\Im {(Z)}].}$

Дисперсия линейной комбинации сложных случайных величин может быть рассчитана по следующей формуле:

${\displaystyle \operatorname {Var} \left[\sum _{k=1}^{N}a_{k}Z_{k}\right]=\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}a_{i}{\overline {a_{j}}}\operatorname {Cov} [Z_{i},Z_{j}].}$

Псевдоверсия определения [ править ]

Псевдо-дисперсия представляет собой частный случай псевдо-ковариации и задается

${\displaystyle \operatorname {J} _{ZZ}=\operatorname {E} [(Z-\operatorname {E} [Z])^{2}]=\operatorname {E} [Z^{2}]-(\operatorname {E} [Z])^{2}}$

( Уравнение 4 )

В отличие от дисперсии , которая всегда реальна и положительна, псевдоверсия в целом сложна.${\displaystyle Z}$${\displaystyle Z}$

Ковариация и псевдоковариация [ править ]

Определение [ править ]

Ковариация между двумя комплексными случайными величинами определяются как ^{[3] : р. 119}${\displaystyle Z,W}$

${\displaystyle \operatorname {K} _{ZW}=\operatorname {Cov} [Z,W]=\operatorname {E} [(Z-\operatorname {E} [Z]){\overline {(W-\operatorname {E} [W])}}]=\operatorname {E} [Z{\overline {W}}]-\operatorname {E} [Z]\operatorname {E} [{\overline {W}}]}$

( Уравнение 5 )

Обратите внимание на комплексное сопряжение второго множителя в определении. В отличие от реальных случайных величин, мы также определяем псевдоковариацию (также называемую дополнительной дисперсией):

${\displaystyle \operatorname {J} _{ZW}=\operatorname {Cov} [Z,{\overline {W}}]=\operatorname {E} [(Z-\operatorname {E} [Z])(W-\operatorname {E} [W])]=\operatorname {E} [ZW]-\operatorname {E} [Z]\operatorname {E} [W]}$

( Уравнение 6 )

Статистика второго порядка полностью характеризуется ковариацией и псевдоковариацией.

Свойства [ править ]

Ковариация обладает следующими свойствами:

• ${\displaystyle \operatorname {Cov} [Z,W]={\overline {\operatorname {Cov} [W,Z]}}}$ (Сопряженная симметрия)
• ${\displaystyle \operatorname {Cov} [\alpha Z,W]=\alpha \operatorname {Cov} [Z,W]}$ (Полуторалинейность)
• ${\displaystyle \operatorname {Cov} [Z,\alpha W]={\overline {\alpha }}\operatorname {Cov} [Z,W]}$
• ${\displaystyle \operatorname {Cov} [Z_{1}+Z_{2},W]=\operatorname {Cov} [Z_{1},W]+\operatorname {Cov} [Z_{2},W]}$
• ${\displaystyle \operatorname {Cov} [Z,W_{1}+W_{2}]=\operatorname {Cov} [Z,W_{1}]+\operatorname {Cov} [Z,W_{2}]}$
• ${\displaystyle \operatorname {Cov} [Z,Z]={\operatorname {Var} [Z]}}$

Некоррелированность [ править ]

Две сложные случайные величины и называются некоррелированными, если${\displaystyle Z}$${\displaystyle W}$

${\displaystyle \operatorname {K} _{ZW}=\operatorname {J} _{ZW}=0.}$

Ортогональность [ править ]

Две комплексные случайные величины и называются ортогональными, если${\displaystyle Z}$${\displaystyle W}$

${\displaystyle \operatorname {E} [Z{\overline {W}}]=0}$.

Круговая симметрия [ править ]

Круговая симметрия сложных случайных величин - распространенное предположение, используемое в области беспроводной связи. Типичным примером круговой симметричной комплексной случайной величины является комплексная гауссова случайная величина с нулевым средним и нулевой псевдоковариационной матрицей.

Определение [ править ]

Сложная случайная величина является круговой симметричной, если для любого детерминированного распределения распределение равно распределению .${\displaystyle Z}$${\displaystyle \phi \in [-\pi ,\pi ]}$${\displaystyle e^{\mathrm {i} \phi }Z}$${\displaystyle Z}$

Свойства [ править ]

По определению, комплексная случайная величина с круговой симметрией имеет

${\displaystyle \operatorname {E} [Z]=\operatorname {E} [e^{\mathrm {i} \phi }Z]=e^{\mathrm {i} \phi }\operatorname {E} [Z]}$для любого . ${\displaystyle \phi }$

Таким образом, математическое ожидание комплексной случайной величины с круговой симметрией может быть либо нулевым, либо неопределенным.

Кроме того,

${\displaystyle \operatorname {E} [ZZ]=\operatorname {E} [e^{\mathrm {i} \phi }Ze^{\mathrm {i} \phi }Z]=e^{\mathrm {2} i\phi }\operatorname {E} [ZZ]}$для любого . ${\displaystyle \phi }$

Таким образом, псевдоверсия циркулярно-симметричной комплексной случайной величины может быть только нулевой.

Если и имеют одинаковое распределение, фаза должна быть равномерно распределена и не зависеть от амплитуды . ^[4]${\displaystyle Z}$${\displaystyle e^{\mathrm {i} \phi }Z}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$${\displaystyle Z}$

Правильные сложные случайные величины [ править ]

Концепция собственных случайных величин уникальна для сложных случайных величин и не имеет соответствующей концепции с реальными случайными величинами.

Определение [ править ]

Сложная случайная величина называется правильной, если выполняются все три следующих условия:${\displaystyle Z}$

• ${\displaystyle \operatorname {E} [Z]=0}$
• ${\displaystyle \operatorname {Var} [Z]<\infty }$
• ${\displaystyle \operatorname {E} [Z^{2}]=0}$

Это определение эквивалентно следующим условиям. Это означает, что сложная случайная величина является правильной тогда и только тогда, когда:

• ${\displaystyle \operatorname {E} [Z]=0}$
• ${\displaystyle \operatorname {E} [\Re {(Z)}^{2}]=\operatorname {E} [\Im {(Z)}^{2}]\neq \infty }$
• ${\displaystyle \operatorname {E} [\Re {(Z)}\Im {(Z)}]=0}$

Матрица ковариации действительной и мнимой частей [ править ]

Для общей комплексной случайной величины пара имеет ковариационную матрицу${\displaystyle (\Re {(Z)},\Im {(Z)})}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\operatorname {Var} [\Re {(Z)}]&\operatorname {Cov} [\Re {(Z)},\Im {(Z)}]\\\operatorname {Cov} [\Re {(Z)},\Im {(Z)}]&\operatorname {Var} [\Im {(Z)}]\end{bmatrix}}.}$

Однако для подходящей комплексной случайной величины ковариационная матрица пары имеет следующую простую форму:${\displaystyle (\Re {(Z)},\Im {(Z)})}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}\operatorname {Var} [Z]&0\\0&{\frac {1}{2}}\operatorname {Var} [Z]\end{bmatrix}}}$.

Теорема [ править ]

Каждая комплексная случайная величина с круговой симметрией и конечной дисперсией является собственной.

Неравенство Коши-Шварца [ править ]

Неравенство Коши-Шварца для комплексных случайных величин, которые могут быть получены с помощью неравенства треугольника и неравенство Гельдера , является

${\displaystyle \left|\operatorname {E} \left[Z{\overline {W}}\right]\right|^{2}\leq \left|\operatorname {E} \left[\left|Z{\overline {W}}\right|\right]\right|^{2}\leq \operatorname {E} \left[|Z|^{2}\right]\operatorname {E} \left[|W|^{2}\right]}$.

Характеристическая функция [ править ]

Характеристическая функция комплексной случайной переменной является функцией определяется${\displaystyle \mathbb {C} \to \mathbb {C} }$

${\displaystyle \varphi _{Z}(\omega )=\operatorname {E} \left[e^{i\Re {({\overline {\omega }}Z)}}\right]=\operatorname {E} \left[e^{i(\Re {(\omega )}\Re {(Z)}+\Im {(\omega )}\Im {(Z)})}\right].}$

См. Также [ править ]

• Комплексный случайный вектор
• Центральный момент

Ссылки [ править ]