В обычных обозначениях для оператора математического ожидания , если случайный процесс имеет функцию среднего , то автоковариантность задается формулой [1] : с. 162
( Уравнение 2 )
где и - два момента времени.
Определение слабо стационарного процесса [ править ]
В некоторых дисциплинах (например, в статистике и анализе временных рядов ) обычной практикой является нормализация функции автоковариации для получения зависящего от времени коэффициента корреляции Пирсона . Однако в других дисциплинах (например, инженерии) от нормализации обычно отказываются, и термины «автокорреляция» и «автоковариация» используются как взаимозаменяемые.
Определение нормализованной автокорреляции случайного процесса:
.
Если функция четко определена, ее значение должно лежать в диапазоне , где 1 указывает на идеальную корреляцию, а -1 указывает на идеальную антикорреляцию .
Автоковариацию можно использовать для расчета коэффициента турбулентной диффузии. [4] Турбулентность потока может вызывать колебания скорости в пространстве и времени. Таким образом, мы можем идентифицировать турбулентность по статистике этих колебаний [ необходима цитата ] .
Разложение Рейнольдса используется для определения пульсаций скорости (предположим, что сейчас мы работаем с одномерной задачей, и это скорость вдоль направления):
где - истинная скорость, а - ожидаемое значение скорости . Если мы выберем правильный , все стохастические компоненты турбулентной скорости будут включены в . Для определения требуется набор измерений скорости, собранных из точек в пространстве, моментов времени или повторяющихся экспериментов.
Если мы предположим, что турбулентный поток ( и c - член концентрации) может быть вызван случайным блужданием, мы можем использовать законы диффузии Фика для выражения члена турбулентного потока:
Автоковариация скорости определяется как
или же
где - время запаздывания, а - расстояние запаздывания.
Коэффициент турбулентной диффузии можно рассчитать с помощью следующих 3 методов:
Если у нас есть данные о скорости вдоль лагранжевой траектории :
Если у нас есть данные о скорости в одном фиксированном ( эйлеровом ) месте [ необходима цитата ] :
Если у нас есть информация о скорости в двух фиксированных (эйлеровых) точках [ необходима цитата ] :
где - расстояние, разделенное этими двумя фиксированными точками.
Автоковариация случайных векторов [ править ]
Основная статья: Автоковариационная матрица
См. Также [ править ]
Авторегрессионный процесс
Корреляция
Кросс-ковариация
Взаимная корреляция
Оценка ковариации шума (на примере приложения)
Ссылки [ править ]
^ a b Hsu, Hwei (1997). Вероятность, случайные величины и случайные процессы . Макгроу-Хилл. ISBN 978-0-07-030644-8.
^ Лапидофова Amos (2009). Фонд цифровых коммуникаций . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-19395-5.
^ a b Кун Иль Парк, Основы вероятности и случайных процессов с приложениями к коммуникациям, Springer, 2018, 978-3-319-68074-3
^ Тейлор, GI (1922-01-01). «Распространение непрерывным движением» (PDF) . Труды Лондонского математического общества . s2-20 (1): 196–212. DOI : 10.1112 / ПНИЛИ / s2-20.1.196 . ISSN 1460-244X .