Теорема Винера – Икехары - тауберова теорема, введенная Шикао Икехара ( 1931 ). Оно следует из тауберова теоремы Винера и может использоваться для доказательства теоремы о простых числах (PNT) (Chandrasekharan, 1969).
Заявление
Пусть A ( x ) - неотрицательная, монотонная неубывающая функция x , определенная для 0 ≤ x <∞. Предположим, что
сходится при ℜ ( ов )> 1 к функции ƒ ( ы ) и что для некоторого неотрицательного числа с ,
имеет продолжение как непрерывную функцию при ℜ ( s ) ≥ 1. Тогда предел, когда x стремится к бесконечности для e - x A ( x ), равен c.
Одно конкретное приложение
Важное теоретико-числовое приложение теоремы - к ряду Дирихле вида
где a ( n ) неотрицательно. Если ряд сходится к аналитической функции в
с простым полюсом вычета c при s = b , то
Применяя это к логарифмической производной дзета-функции Римана , где коэффициенты в ряду Дирихле являются значениями функции фон Мангольдта , можно вывести PNT из того факта, что дзета-функция не имеет нулей на линии
Рекомендации
- С. Икехара (1931), "Расширение теоремы Ландау в аналитической теории чисел", Журнал математики и физики Массачусетского технологического института , 10 : 1–12, Zbl 0001.12902
- Винера, Норберт (1932), "Тауберовы теоремы", Анналы математики , вторая серия 33 (1): 1-100, DOI : 10,2307 / 1968102 , ISSN 0003-486X , СУЛ 58.0226.02 , JSTOR 1968102
- К. Чандрасекхаран (1969). Введение в аналитическую теорию чисел . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. Springer-Verlag . ISBN 3-540-04141-9.
- Хью Л. Монтгомери ; Роберт К. Воан (2007). Мультипликативная теория чисел I. Классическая теория . Кембриджские трактаты по высшей математике. 97 . Кембридж: Cambridge Univ. Нажмите. С. 259–266. ISBN 0-521-84903-9.