Метод Винера – Хопфа

Метод Винера-Хопфа — математический прием, широко используемый в прикладной математике . Первоначально он был разработан Норбертом Винером и Эберхардом Хопфом как метод решения систем интегральных уравнений , но нашел более широкое применение при решении двумерных дифференциальных уравнений в частных производных со смешанными граничными условиями на одной границе. В целом метод работает за счет использования комплексно-аналитических свойств преобразованных функций. Обычно используется стандартное преобразование Фурье , но существуют примеры с использованием других преобразований, таких как преобразование Меллина .

Как правило, основные уравнения и граничные условия преобразуются, и эти преобразования используются для определения пары комплексных функций (обычно обозначаемых нижними индексами «+» и «-»), которые являются соответственно аналитическими в верхней и нижней половинах комплексной плоскости. , и имеют рост не быстрее, чем полиномы в этих областях. Эти две функции также будут совпадать на некоторой области комплексной плоскости , как правило, на тонкой полосе, содержащей реальную прямую . Аналитическое продолжение гарантирует, что эти две функции определяют одну аналитическую во всей комплексной плоскости функцию, а из теоремы Лиувилля следует, что эта функция является неизвестным полиномом ., который часто равен нулю или постоянен. Анализ условий на ребрах и углах границы позволяет определить степень этого многочлена.

Ключевым шагом во многих задачах Винера – Хопфа является разложение произвольной функции на две функции с желаемыми свойствами, описанными выше. В общем случае это можно сделать, написав ${\ Displaystyle \ фи}$ ${\ displaystyle \ Phi _ {\ pm}}$

где контуры и параллельны реальной линии, но проходят выше и ниже точки , соответственно. ${\ Displaystyle С_ {1}}$ $C_{2}$ $z=\alpha$

Точно так же произвольные скалярные функции могут быть разложены в произведение +/- функций, т . е . путем сначала логарифмирования, а затем выполнения разложения суммы. Разложение произведения матричных функций (которое происходит в связанных мультимодальных системах, таких как упругие волны) значительно более проблематично, поскольку логарифм не определен четко, и можно ожидать, что любое разложение будет некоммутативным. Небольшой подкласс коммутативных разложений был получен Храпковым, также были разработаны различные приближенные методы. ^[^{нужна ссылка}^] $K(\alpha )=K_{+}(\alpha )K_{-}(\alpha )$

где — линейный оператор, содержащий производные по $x$ и $y$ при смешанных условиях на $y$ = 0 для некоторой заданной функции $g$ $($ $x$ $)$ , ${\boldsymbol {L}}_{xy}$