Лямбда-распределение Уилкса

Эта статья требует внимания специалиста по статистике . Пожалуйста , добавьте причину в или разговоре параметр для этого шаблона , чтобы объяснить проблему с статьей. WikiProject Statistics может помочь нанять эксперта. ( Ноябрь 2008 г. )

В статистике , распределение лямбды Уилкса (названное по имени Samuel S. Вилкса ), является распределение вероятностей используются в многомерной проверке гипотез , особенно в отношении теста отношения правдоподобия и многофакторного дисперсионного анализ (MANOVA).

Определение [ править ]

Распределение лямбды Уилкса определяются из двух независимых Уишарта распределенных переменных , как распределение коэффициента их детерминантов , ^[1]

дано

${\ Displaystyle \ mathbf {A} \ sim W_ {p} (\ Sigma, m) \ qquad \ mathbf {B} \ sim W_ {p} (\ Sigma, n)}$

независимый и с ${\ displaystyle m \ geq p}$

${\displaystyle \lambda ={\frac {\det(\mathbf {A} )}{\det(\mathbf {A+B} )}}={\frac {1}{\det(\mathbf {I} +\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {B} )}}\sim \Lambda (p,m,n)}$

где p - количество измерений. В контексте проверки отношения правдоподобия m обычно является степенями свободы ошибки, а n - степенью свободы гипотезы, то есть полными степенями свободы. ^[1]${\displaystyle n+m}$

Приближения [ править ]

Вычисления или таблицы распределения Уилкса для более высоких измерений не всегда доступны, и обычно прибегают к приближениям. Одно приближение приписывается М.С. Бартлетту и работает для больших m ^{[2], что} позволяет аппроксимировать лямбду Уилкса распределением хи-квадрат.

${\displaystyle \left({\frac {p-n+1}{2}}-m\right)\log \Lambda (p,m,n)\sim \chi _{np}^{2}.}$^[1]

Другое приближение приписывается Ч. Р. Рао . ^{[1] [3]}

Свойства [ править ]

Существует симметрия между параметрами распределения Уилкса, ^[1]

${\displaystyle \Lambda (p,m,n)\sim \Lambda (n,m+n-p,p)}$

Связанные дистрибутивы [ править ]

Распределение может быть связано с произведением независимых бета-распределенных случайных величин.

${\displaystyle u_{i}\sim B\left({\frac {m+p-i}{2}},{\frac {n}{2}}\right)}$

${\displaystyle \prod _{i=1}^{p}u_{i}\sim \Lambda (p,m,n).}$

Таким образом, его можно рассматривать как многомерное обобщение бета-распределения.

Отсюда непосредственно следует, что для одномерной задачи, когда распределения Уишарта являются одномерными с (т. Е. Распределенными хи-квадрат), тогда распределение Уилкса равно бета-распределению с определенным набором параметров,${\displaystyle p=1}$

${\displaystyle \Lambda (1,m,n)\sim B\left({\frac {m}{2}},{\frac {n}{2}}\right).}$

Из соотношений между бета -распределением и F-распределением лямбда Уилкса может быть связана с F-распределением, когда один из параметров лямбда-распределения Уилкса равен 1 или 2, например ^[1]

${\displaystyle {\frac {1-\Lambda (p,m,1)}{\Lambda (p,m,1)}}\sim {\frac {p}{m-p+1}}F_{p,m-p+1},}$

а также

${\displaystyle {\frac {1-{\sqrt {\Lambda (p,m,2)}}}{\sqrt {\Lambda (p,m,2)}}}\sim {\frac {p}{m-p+1}}F_{2p,2(m-p+1)}.}$

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]