Игу яньдуань

Предисловие к Игу яньдуань , Сику Цюаньшу

Yigu yanduan (益古演段Старый Математика в Расширенной разделах) является 13-го века математическая работа династии Юань математик Ли Чжи .

Обзор [ править ]

Игу яньдуань был основан на вымершей книге математика Северной Сун Цзян Чжоу (蒋周) Игу Цзи (益古集 Сборник древней математики). Однако, судя по фрагментам, процитированным в работе Ян Хуэй « Полные алгоритмы площади посевных площадей» (田亩比类算法大全), этот утерянный математический трактат Игу Цзи был посвящен решению проблем площади с помощью геометрии.

Ли Чжи использовал примеры Игу Цзи, чтобы познакомить новичков с искусством Тянь Юань Шу . Хотя в предыдущей монографии Ли Чжи « Цэюань хайцзин» также использовался тянь юань шу, его труднее понять, чем Игу яньдуань .

Позже Игу яньдуань был собран в Сику Цюаньшу .

Игу яньдуань состоит из трех томов, в которых 64 задачи решены с использованием Тянь юань ш] параллельно с геометрическим методом. Ли Чжи намеревался познакомить студентов с искусством Тянь юань шу через древнюю геометрию. Игу яндюань вместе с Цэюань хайцзин считаются основным вкладом Ли Чжи в Тянь юань шу . Эти две работы также считаются самыми ранними дошедшими до нас документами о Тянь юань шу.

Все 64 задачи выполнялись примерно в одном и том же формате, начиная с вопроса (问), за которым следовали ответ (答曰), диаграмма, затем алгоритм (), в котором Ли Чжи шаг за шагом объяснил, как установить до уравнения алгебры с помощью Тянь юань шу , затем следует геометрическая интерпретация (Тяо дуань шу). Порядок расположения уравнения Тянь Юань Шу в Игу-яндюань обратен таковому в Сэйюань Хайцзин, то есть здесь с постоянным членом вверху, за которым следуют тянь юань первого порядка, тянь юань второго порядка, тян юань третьего порядка и т. позднее расположение соответствовало современным правилам алгебраических уравнений (например, Математический трактат Цинь Цзюшао в девяти разделах ), а позже стало нормой.

Впервые Игу яньдуань был представлен английским читателям британским протестантским христианским миссионером в Китае Александром Вайли, который написал:

Yi koo yen t'wan ... написанная в 1282 году, состоит из 64 геометрических задач, иллюстрирующих принцип измерения плоскости, эволюции и другие правила, все это разработано с помощью T'een yuen. ^[1]

В 1913 году Ван Хи перевел на французский язык все 64 задачи с игу-яндюань . ^[2]

Том I [ править ]

Проблема 8 в Yigu yanduan решена с помощью линии Tian yuan shu

Задачи с 1 по 22, все о математике круга, заключенного в квадрат.

Пример: задача 8

Есть квадратное поле с круглым бассейном посередине, учитывая, что площадь земли составляет 13,75 mu, а сумма окружностей квадратного поля и круглого бассейна равна 300 ступеням, каковы длины окружностей квадрата и круга. соответствующий?

Ответ: Окружность квадрата - 240 шагов, окружность круга - 60 шагов.

Метод: установите тянь юань один (небесный элемент 1) как диаметр круга, x

TAI

умножьте его на 3, чтобы получить длину окружности в 3 раза (пи ~~ 3)

TAI

вычтите это из суммы окружностей, чтобы получить длину окружности квадрата ${\ displaystyle 300-3x}$

TAI

Его площадь равна площади квадрата в 16 раз. ${\ displaystyle (300-3x) * (300-3x) = 90000-1800x + 9x ^ {2}}$

TAI

Снова установите тянь юань 1 как диаметр круга, возведите его в квадрат и умножьте на 12, чтобы получить площадь круга в 16 раз как

TAI

вычтите из 16 временных квадратов площадь, у нас есть 16-кратная площадь земли

TAI

поместите его справа и поставьте 16 раз 13,75 mu = 16 * 13,75 * 240 = 52800 шагов слева, после отмены получим ${\ displaystyle -3x ^ {2} -1800x + 37200 = 0:}$

TAI

Решите это уравнение, чтобы получить диаметр круга = 20 шагов, окружность круга = 60 шагов.

Том II [ править ]

Задачи 23–42, 20 задач во всей решающей геометрии прямоугольника, заключенного в круг с помощью тянь юань шу

Пример, задача 35

Предположим, у нас есть круговое поле с прямоугольным бассейном с водой в центре, а расстояние от угла до окружности составляет 17,5 ступеней, а сумма длины и ширины бассейна составляет 85 ступеней, каков диаметр круга, длина и ширина бассейна?

Ответ: Диаметр круга - сто ступенек, длина бассейна - 60 ступеней, ширина - 25 ступеней. Метод: Пусть диагональ прямоугольника будет равна единице тянь юань, тогда диаметр круга равен единице тянь юань плюс 17,5 * 2.

{\ displaystyle x + 35}

умножьте квадрат диаметра на, равный четырехкратной площади круга: ${\ Displaystyle \ пи \ приблизительно 3}$

{\ displaystyle 3 (x + 35) ^ {2} = 3x ^ {2} + 210x + 3675}

вычитая четырехкратную площадь земли, получаем:

в четыре раза больше бассейна = =

{\ displaystyle 3x ^ {2} + 210x + 3675-4x6000}

3x^{2}+210x-20325

сейчас

Квадрат суммы длины и ширины бассейна = 85 * 85 = 7225, что в четыре раза больше площади бассейна плюс квадрат разницы его длины и ширины ( ) $(L-W)^{2}$

Далее удвойте площадь бассейна плюс равняется квадрату диагонали бассейна, таким образом $(L-W)^{2}$ $L^{2}+W^{2}$

(четырехкратная площадь бассейна + квадрат его разницы в размерах) - (удвоенная площадь бассейна + квадрат, если его разность размеров) равняется = удвоенной площади бассейна $7225-x^{2}$

так в четыре раза больше площади бассейна = $2(7225-x^{2})$

приравняйте это с четырехкратной площадью бассейна, полученной выше

2(7225-x^{2})

знак равно

3x^{2}+210x-20325

мы получаем квадратное уравнение = 0 Решите это уравнение, чтобы получить $5x^{2}+210x-34775$

диагональ бассейна = 65 ступеней
диаметр круга = 65 + 2 * 17,5 = 100 шагов
Длина - ширина = 35 ступеней
Длина + ширина = 85 шагов
Длина = 60 шагов
Ширина = 25 шагов

Том III [ править ]

Задачи с 42 по 64, всего 22 вопроса по математике более сложных диаграмм.

В: пятьдесят четвертый. Есть квадратное поле, по диагонали которого находится прямоугольный бассейн с водой. Площадь за пределами бассейна - тысяча сто пятьдесят шагов. При том, что от углов поля до прямых сторон бассейна проходят четырнадцать шагов и девятнадцать шагов. Какова площадь квадратного поля, какова длина и ширина бассейна?

Ответ: Площадь квадратного поля - 40 квадратных шагов, длина бассейна - тридцать пять шагов, а ширина - двадцать пять шагов.

Пусть ширина бассейна будет Тяньюань 1.

TAI

Прибавьте ширину бассейна к удвоенному расстоянию от угла поля до короткой длинной стороны бассейна, равному длине диагонали поля x + 38

TAI

Возведите его в квадрат, чтобы получить площадь квадрата с длиной диагонали бассейна в качестве сторон.

x^{2}+76x+1444

TAI

Длина бассейна минус ширина бассейна, умноженная на 2 = 2 (19-14) = 10

Длина бассейна = ширина бассейна +10: x + 10

TAI

Площадь бассейна = бассейн с умножением на длину бассейна: x (x + 10) = $x^{2}+10x$

TAI

Площадь бассейна умножается на 1,96 ( квадратный корень из 2 ) = 1,4

надо $1.96x^{2}+19.6x$

Тай

Площадь диагонального квадрата вычитается из площади бассейна, умноженной на 1,96, и равна площади земли, умноженной на 1,96:

x^{2}+76x+1444

- ：

1.96x^{2}+19.6x=

-0.96x^{2}+56.4x+1444

TAI

Занятые участки, умноженные на 1,96 = 1150 * 1,96 = 2254 = $-0.96x^{2}+56.4x+1444$

следовательно = : $-0.96x^{2}+56.4x-810$

TAI

Решив это уравнение, мы получим

ширина бассейна 25 шагов, поэтому длина бассейна = ширина бассейна +10 = 35 шагов длина бассейна = 45 шагов

Ссылки [ править ]

^ Александр Уайли, Заметки о китайской литературе , P117, Шанхай 1902 года, переизданный Kessinger Publishing
^ Ван Hee Ли Yeh, Mathématicien Chinois дю XIIIe siècle , TP, 1913,14,537

Чтение [ править ]

Йошио Миками Развитие математики в Китае и Японии , стр. 81
Аннотированный Yigu yanduan по династии Цин математик Ли Жуй.

[1] Александр Уайли, Заметки о китайской литературе , P117, Шанхай 1902 года, переизданный Kessinger Publishing

[2] Ван Hee Ли Yeh, Mathématicien Chinois дю XIIIe siècle , TP, 1913,14,537

[1]