Уравнение Юнга – Лапласа

Оптические тензиометры используют уравнение Юнга-Лапласа для автоматического определения поверхностного натяжения жидкости на основе формы висячей капли.

В физике , то уравнение Юнга-Лапласа ( / L ə р л ɑː с / ) представляет собой нелинейное уравнение в частных производных , описывающее капиллярное давление разница поддерживается через интерфейс между двумя статических жидкостей , таких как вода и воздух , из - за явления от поверхностного натяжения или натяжения стенки, хотя использование последнего применимо только в том случае, если предполагается, что стена очень тонкая. Уравнение Юнга – Лапласа связывает разность давлений с формой поверхности или стенки и имеет фундаментальное значение при изучении статических капиллярных поверхностей . Это утверждение баланса нормальных напряжений для статических жидкостей, встречающихся на границе раздела, где граница раздела рассматривается как поверхность (нулевая толщина):

${\ displaystyle {\ begin {align} \ Delta p & = - \ gamma \ nabla \ cdot {\ hat {n}} \\ & = - \ gamma H_ {f} \\ & = - \ gamma \ left ({\ frac {1} {R_ {1}}} + {\ frac {1} {R_ {2}}} \ right) \ end {align}}}$

где - давление Лапласа , разность давлений на границе раздела текучей среды (внешнее давление минус внутреннее давление), - это поверхностное натяжение (или натяжение стенки ), - это единичная нормаль, направленная от поверхности, - это средняя кривизна , и - главные радиусы кривизны . Обратите внимание, что учитывается только нормальное напряжение, потому что было показано ^[1], что статическая граница раздела возможна только при отсутствии касательного напряжения.${\ displaystyle \ Delta p}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ Displaystyle {\ шляпа {п}}}$${\ displaystyle H_ {f}}$${\ displaystyle R_ {1}}$${\ displaystyle R_ {2}}$

Уравнение названо в честь Томаса Янга , который разработал качественную теорию поверхностного натяжения в 1805 году, и Пьера-Симона Лапласа , завершившего математическое описание в следующем году. Это иногда также называют уравнением Юнга-Лапласа-Гаусса, так как Гаусс объединил работу Юнга и Лапласа в 1830 году, выводя как дифференциальное уравнение и граничные условия , используя Иоганна Бернулли «ы виртуальные рабочие принципы. ^[2]

Мыльные пленки [ править ]

Если разность давлений равна нулю, как в мыльной пленке без гравитации, граница раздела примет форму минимальной поверхности .

Эмульсии [ править ]

Уравнение также объясняет энергию, необходимую для создания эмульсии . Чтобы сформировать маленькие, сильно изогнутые капли эмульсии, требуется дополнительная энергия, чтобы преодолеть большое давление, возникающее из-за их малого радиуса.

Давление Лапласа, которое больше для более мелких капель, вызывает диффузию молекул из мельчайших капель в эмульсии и вызывает укрупнение эмульсии за счет созревания Оствальда . ^{[ необходима цитата ]}

Капиллярное давление в трубке [ править ]

В достаточно узком (то есть, низкий номер Бонд ) труба круглого сечения (радиус в ), интерфейс между двумя жидкостями образует менисков , который представляет собой часть поверхности сферы с радиусом R . Скачок давления на этой поверхности связан с радиусом и поверхностным натяжением γ соотношением

${\ displaystyle \ Delta p = {\ frac {2 \ gamma} {R}}.}$

Это можно показать, записав уравнение Юнга – Лапласа в сферической форме с граничным условием краевого угла смачивания, а также с заданным граничным условием высоты, скажем, у основания мениска. Решение представляет собой часть сферы, и решение будет существовать только для указанной выше разницы давлений. Это важно, потому что нет другого уравнения или закона для определения разности давлений; наличие решения для одного конкретного значения перепада давления предписывает это.

Радиус сферы будет зависеть только от контактного угла θ, который, в свою очередь, зависит от точных свойств жидкостей и материала контейнера, с которым эти жидкости контактируют / взаимодействуют:

${\ displaystyle R = {\ frac {a} {\ cos \ theta}}}$

так что перепад давления может быть записан как:

${\displaystyle \Delta p={\frac {2\gamma \cos \theta }{a}}.}$

Для поддержания гидростатического равновесия индуцированное капиллярное давление уравновешивается изменением высоты h , которое может быть положительным или отрицательным, в зависимости от того, меньше или больше угол смачивания 90 °. Для жидкости плотностью ρ:

${\displaystyle h={\frac {2\gamma \cos \theta }{\rho ga}}.}$

- где g - ускорение свободного падения . Это иногда называют законом Джурина или высотой Джурина ^{[3] в} честь Джеймса Юрина , изучавшего эффект в 1718 году ^[4].

Для стеклянной трубки, наполненной водой, в воздухе на уровне моря :

- и поэтому высота водяного столба определяется по формуле:

${\displaystyle h\approx {{1.4\times 10^{-5}} \over a}}$ м .

Таким образом, для трубы шириной 2 мм (радиусом 1 мм) вода поднимется на 14 мм. Однако для капиллярной трубки с радиусом 0,1 мм вода поднимется на 14 см (около 6 дюймов ).

Капиллярное действие в целом [ править ]

В общем случае для свободной поверхности и при наличии приложенного «избыточного давления» Δ p на границе раздела в равновесии существует баланс между приложенным давлением, гидростатическим давлением и эффектами поверхностного натяжения. Уравнение Юнга – Лапласа принимает следующий вид:

${\displaystyle \Delta p=\rho gh-\gamma \left({\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}\right)}$

Уравнение может быть обезразмерено в терминах его характерного масштаба длины, длины капилляра :

${\displaystyle L_{c}={\sqrt {\frac {\gamma }{\rho g}}},}$

- и характеристическое давление :

${\displaystyle p_{c}={\frac {\gamma }{L_{c}}}={\sqrt {\gamma \rho g}}.}$

Для получения чистой воды при стандартной температуре и давлении , то капиллярная длина составляет ~ 2 мм .

Тогда безразмерное уравнение принимает следующий вид:

${\displaystyle h^{*}-\Delta p^{*}=\left({\frac {1}{{R_{1}}^{*}}}+{\frac {1}{{R_{2}}^{*}}}\right).}$

Таким образом, форма поверхности определяется только одним параметром: избыточное давление жидкости Δ p ^*, а масштаб поверхности определяется длиной капилляра . Решение уравнения требует начального условия для положения и уклона поверхности в начальной точке.

Осесимметричные уравнения [ править ]

(Безразмерную) форму r ( z ) осесимметричной поверхности можно найти, подставив общие выражения для кривизны, чтобы получить гидростатические уравнения Юнга – Лапласа : ^[5]

${\displaystyle {\frac {r''}{(1+r'^{2})^{\frac {3}{2}}}}-{\frac {1}{r(z){\sqrt {1+r'^{2}}}}}=z-\Delta p^{*}}$

${\displaystyle {\frac {z''}{(1+z'^{2})^{\frac {3}{2}}}}+{\frac {z'}{r(1+z'^{2})^{\frac {1}{2}}}}=\Delta p^{*}-z(r).}$

Применение в медицине [ править ]

В медицине часто называют законом Лапласа , используемым в контексте сердечно - сосудистой физиологии , ^[6] , а также физиология дыхания , хотя последнее использование часто ошибочно. ^[7]

История [ править ]

Фрэнсис Хоксби выполнил некоторые из самых ранних наблюдений и экспериментов в 1709 году ^[8], и они были повторены в 1718 году Джеймсом Джурином, который заметил, что высота жидкости в капиллярном столбе является функцией только площади поперечного сечения на поверхности, а не любых других размеров колонны. ^{[4] [9]}

Томас Янг заложил основы уравнения в своей статье 1804 года «Эссе о сцеплении жидкостей» ^{[10], в} которой он описательно изложил принципы, управляющие контактом между жидкостями (наряду со многими другими аспектами поведения жидкости). Пьер Симон Лаплас продолжил это в Mécanique Céleste ^[11] с формальным математическим описанием, данным выше, которое воспроизводило в символических терминах отношения, описанные ранее Янгом.

Лаплас принял идею, предложенную Хоксби в его книге « Физико-механические эксперименты» (1709 г.), о том, что это явление возникло из-за силы притяжения, незаметной на ощутимых расстояниях. ^{[12] [13]} Часть, которая касается действия твердого тела на жидкость и взаимного действия двух жидкостей, не была разработана полностью, но в конечном итоге была завершена Карлом Фридрихом Гауссом . ^[14] Франц Эрнст Нойман (1798-1895) позже внес некоторые подробности. ^{[15] [9] [16]}

Ссылки [ править ]

Библиография [ править ]

• Максвелл, Джеймс Клерк ; Стратт, Джон Уильям (1911). «Капиллярное действие»  . В Чисхолме, Хью (ред.). Британская энциклопедия . 5 (11-е изд.). Издательство Кембриджского университета. С. 256–275.
• Бэтчелор, Г.К. (1967) Введение в динамику жидкости , Cambridge University Press
• Юрин, Дж. (1716 г.). «Отчет о некоторых экспериментах, показанных Королевскому обществу; с исследованием причины подъема и взвеси воды в капиллярных трубках» . Философские труды Королевского общества . 30 (351–363): 739–747. DOI : 10,1098 / rstl.1717.0026 . S2CID  186211806 .
• Tadros TF (1995) Поверхностно-активные вещества в агрохимикатах , серия Surfactant Science, том 54, Dekker

Внешние ссылки [ править ]

Измерение поверхностного натяжения с помощью уравнения Юнга-Лапласа