ZN модель

Эта статья включает в себя список литературы , связанной литературы или внешних ссылок , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Январь 2021 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Модель представляет собой упрощенная статистическая механическая модель спин . Это обобщение модели Изинга . Хотя он может быть определен на произвольном графе , он интегрируется только на одномерных и двумерных решетках в нескольких частных случаях.${\ displaystyle Z_ {N}}$

Определение [ править ]

Модель, иногда известен как модель часов, определяется путем присвоения спина значения в каждом узле на графе, со спинами принимают значения , где . Следовательно, спины принимают значения в виде комплексных корней из единицы . Грубо говоря, мы можем представить себе вращения, назначенные каждому узлу модели, как указывающие в любом из равноудаленных направлений. В Весах Больцмана для общего края являются:${\ displaystyle Z_ {N}}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle s_ {r} = \ exp {\ frac {2 \ pi iq} {N}}}$${\ Displaystyle д \ ин \ {0,1, \ ldots, N-1 \}}$${\ displaystyle Z_ {N}}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle rr '}$

${\ displaystyle w \ left (r, r '\ right) = \ sum _ {k = 0} ^ {N-1} x_ {k} ^ {\ left (rr' \ right)} \ left (s_ {r } s_ {r '} ^ {*} \ right) ^ {k}}$

где обозначает комплексное сопряжение, а связаны с силой взаимодействия вдоль края . Обратите внимание, что и часто устанавливается равным 1. (Действительные) веса Больцмана инвариантны относительно преобразований и , аналогично универсальному вращению и отражению соответственно.${\ displaystyle *}$${\ displaystyle x_ {k} ^ {\ left (rr '\ right)}}$${\ displaystyle rr '}$${\ displaystyle x_ {k} ^ {\ left (rr '\ right)} = x_ {Nk} ^ {\ left (rr' \ right)}}$${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle s_ {r} \ rightarrow \ omega ^ {k} s_ {r}}$${\ displaystyle s_ {r} \ rightarrow s_ {r} ^ {*}}$

Самодвойственное критическое решение [ править ]

Существует класс решений модели, определенных на анизотропной квадратной решетке в общем случае. Если модель является самодуальной в смысле Крамерса – Ванье и, следовательно, критической , а решетка такова, что существует два возможных «веса» и для двух возможных ориентаций ребер, мы можем ввести следующую параметризацию в :${\ displaystyle Z_ {N}}$${\ displaystyle x_ {k} ^ {1}}$${\ displaystyle x_ {k} ^ {2}}$${\ displaystyle \ alpha}$

${\ Displaystyle х_ {п} ^ {1} = х_ {п} \ влево (\ альфа \ вправо)}$

${\ displaystyle x_ {n} ^ {2} = x_ {n} \ left (\ pi - \ alpha \ right)}$-

Требуя выполнения соотношения двойственности и соотношения звезда – треугольник , обеспечивающего интегрируемость , можно найти решение:

${\displaystyle x_{n}\left(\alpha \right)=\prod _{k=0}^{n-1}{\frac {\sin \left(\pi k/N+\alpha /2N\right)}{\sin \left[\pi \left(k+1\right)/N-\alpha /2N\right]}}}$

с . Этот частный случай модели часто называют FZ-моделью в честь В.А. Фатеева и А.Б. Замолодчикова, которые впервые рассчитали это решение. Модель FZ приближается к модели XY в пределе как . Он также является частным случаем хиральной модели Поттс и модели Кашивары-Мива .${\displaystyle x_{0}=1}$${\displaystyle Z_{N}}$${\displaystyle N\rightarrow \infty }$

Решаемые частные случаи [ править ]

Как и в случае с большинством решетчатых моделей в статистической механике , нет известных точных решений трехмерной модели. В двух измерениях, однако, это точно решается на квадратной решетке для определенных значений и / или «весов» . Возможно, наиболее известным примером является модель Изинга , которая допускает спины в двух противоположных направлениях (т . Е. ). Это как раз модель , и поэтому модель можно рассматривать как обобщение модели Изинга . Другие точно решаемые модели, соответствующие частным случаям модели, включают модель Поттса с тремя состояниями , с и${\displaystyle Z_{N}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle x_{k}}$${\displaystyle s_{r}=\pm 1}$${\displaystyle Z_{N}}$${\displaystyle N=2}$${\displaystyle Z_{N}}$${\displaystyle Z_{N}}$${\displaystyle N=3}$${\displaystyle x_{1}=x_{2}=\dots =x_{N-1}=x_{c}}$, где - некоторое критическое значение (ФЗ), а критическая модель Аскина – Теллера где .${\displaystyle x_{c}}$${\displaystyle N=4}$

Квантовая версия [ править ]

Квантовая версия от модели часов может быть построена аналогично тому , поперечным полем модели Изинга . Гамильтониан этой модели заключается в следующем:${\displaystyle Z_{N}}$

${\displaystyle H=-J(\sum _{\langle i,j\rangle }(Z_{i}^{\dagger }Z_{j}+Z_{i}Z_{j}^{\dagger })+g\sum _{j}(X_{j}+X_{j}^{\dagger }))}$

Здесь индексы относятся к узлам решетки, а суммирование производится по парам ближайших соседних узлов и . Матрицы часов и являются обобщениями матриц Паули, удовлетворяющих условию${\displaystyle \sum _{\langle i,j\rangle }}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle X_{j}}$${\displaystyle Z_{j}}$

${\displaystyle Z_{j}X_{k}=e^{{\frac {2\pi i}{N}}\delta _{j,k}}X_{k}Z_{j}}$

и

${\displaystyle X_{j}^{N}=Z_{j}^{N}=1}$

где 1, если и являются одним и тем же сайтом, и ноль в противном случае. является префактором с размерами энергии и другим коэффициентом связи, который определяет относительную силу внешнего поля по сравнению с взаимодействием ближайших соседей.${\displaystyle \delta _{j,k}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle k}$${\displaystyle J}$${\displaystyle g}$

Ссылки [ править ]

• В.А. Фатеев, А.Б. Замолодчиков (1982); « Самодуальные решения отношений звезда-треугольник в -моделях», Physics Letters A , 92, стр. 37–39${\displaystyle Z_{N}}$
• М.А. Раджабпур и Дж. Карди (2007 г.); «Дискретно голоморфные парафермионы в решетчатых моделях» Z N {\displaystyle Z_{N}} J. Phys. А 22 40, 14703–14714