Стандартный нормальный стол

Стандартная нормальная таблица , которая также называется единичная нормаль таблицы или Z таблицей , ^[1] является математической таблицей для значений Ф, которые являются значением интегральной функции распределения от нормального распределения . Он используется для определения вероятности того, что статистика наблюдается ниже, выше или между значениями стандартного нормального распределения и, соответственно, любого нормального распределения.. Поскольку таблицы вероятностей не могут быть напечатаны для каждого нормального распределения, так как существует бесконечное множество нормальных распределений, обычной практикой является преобразование нормального в стандартное нормальное, а затем использование стандартной нормальной таблицы для поиска вероятностей. ^[2]

Нормальное и стандартное нормальное распределение [ править ]

Нормальные распределения - это симметричные колоколообразные распределения, которые полезны при описании реальных данных. Стандартное нормальное распределение, представленное буквой Z, является нормальным распределением , имеющий среднее значение , равное 0 и стандартное отклонение от 1.

Конверсия [ править ]

Если X - случайная величина из нормального распределения со средним значением μ и стандартным отклонением σ, ее Z-оценка может быть вычислена из X путем вычитания μ и деления на стандартное отклонение:

${\ Displaystyle Z = {\ гидроразрыва {X- \ mu} {\ sigma}}}$

Если - среднее значение выборки размера n из некоторой совокупности, в которой среднее значение равно μ, а стандартное отклонение - σ, стандартная ошибка равна σ / √ n :${\ displaystyle {\ overline {X}}}$

${\ displaystyle Z = {\ frac {{\ overline {X}} - \ mu} {\ sigma / {\ sqrt {n}}}}}$

Если - сумма выборки размера n из некоторой совокупности, в которой среднее значение равно μ, а стандартное отклонение - σ, ожидаемая сумма равна n μ, а стандартная ошибка равна σ √ n :${\ displaystyle \ sum {X}}$

${\ displaystyle Z = {\ frac {\ sum {X} -n \ mu} {\ sigma {\ sqrt {n}}}}}$

Чтение таблицы Z [ править ]

Форматирование / макет [ править ]

Таблицы Z обычно составлены следующим образом:

• Метка строк содержит целую часть и первый десятичный знак Z.
• Метка столбцов содержит второй десятичный знак Z.
• Значения в таблице представляют собой вероятности, соответствующие типу таблицы. Эти вероятности представляют собой расчеты площади под нормальной кривой от начальной точки (0 для кумулятивного от среднего , отрицательная бесконечность для кумулятивного и положительная бесконечность для дополнительного кумулятивного ) до Z.

Пример: чтобы найти 0,69 , нужно просмотреть строки, чтобы найти 0,6, а затем по столбцам до 0,09, что даст вероятность 0,25490 для кумулятивной таблицы от среднего или 0,75490 для кумулятивной таблицы.

Поскольку кривая нормального распределения симметрична, вероятности обычно задаются только для положительных значений Z. Пользователь должен использовать дополнительную операцию над абсолютным значением Z, как в примере ниже.

Типы таблиц [ править ]

Таблицы Z используют как минимум три различных соглашения:

Суммарно от среднего

дает вероятность того, что статистика находится между 0 (средним) и Z. Пример: Вероятность (0 ≤ Z ≤ 0,69) = 0,2549

Кумулятивная

дает вероятность того, что статистика меньше Z. Это соответствует области распределения ниже Z. Пример: Вероятность (Z ≤ 0,69) = 0,7549.

Дополнительный кумулятивный

дает вероятность того, что статистика больше Z. Это равняется области распределения выше Z.

Пример: найти вероятность ( Z  ≥ 0,69). Поскольку это часть площади над Z, пропорция, которая больше Z, находится путем вычитания Z из 1. То есть Prob ( Z  ≥ 0,69) = 1 - Prob (Z ≤ 0,69) или Prob ( Z   ≥ 0,69). = 1 - 0,7549 = 0,2451.

Примеры таблиц [ править ]

Суммарно от среднего (от 0 до Z) [ править ]

Значения соответствуют заштрихованной области для данного Z

Эта таблица дает вероятность того, что статистика находится между 0 (средним) и Z.

${\ Displaystyle f (z) = \ Phi (z) - {\ frac {1} {2}}}$

Значения рассчитываются с использованием кумулятивной функции стандартного нормального распределения со средним значением, равным нулю, и стандартным отклонением, равным единице, обычно обозначаемым заглавной греческой буквой ( фи ), представляет собой интеграл${\ displaystyle \ Phi}$

${\ displaystyle \ Phi (z) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ {- \ infty} ^ {z} e ^ {- t ^ {2} / 2} \ , dt}$

${\ displaystyle \ Phi}$(z) относится к функции ошибок или erf ( z ).

${\displaystyle \Phi (z)={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {z}{\sqrt {2}}}\right)\right]}$

Обратите внимание, что для z = 1, 2, 3 получаем (после умножения на 2 для учета интервала [-z, z]) результаты f (z) = 0,6827, 0,9545, 0,9974, характерные для 68–95– 99.7 правило .

Накопительный (менее 0) [ править ]

Эта таблица дает вероятность того, что статистика меньше Z (т. Е. Между отрицательной бесконечностью и Z).

^[3]

Дополнительный кумулятивный [ править ]

Эта таблица дает вероятность того, что статистика больше Z.

${\displaystyle f(z)=1-\Phi (z)}$

^[4]

Эта таблица дает вероятность того, что статистика больше Z, для больших целых Z значений.

Примеры использования [ править ]

Оценки профессора на экзамене приблизительно распределены нормально со средним значением 80 и стандартным отклонением 5. Доступны только совокупные результаты из таблицы средних значений .

• Какова вероятность того, что студент наберет 82 или меньше?

${\displaystyle P(X\leq 82)=P\left(Z\leq {\frac {82-80}{5}}\right)=P(Z\leq 0.40)}$  ${\displaystyle =0.15542+0.5=0.65542}$

• Какова вероятность того, что студент наберет 90 или более баллов?

${\displaystyle P(X\geq 90)=P\left(Z\geq {\frac {90-80}{5}}\right)=P(Z\geq 2.00)}$  ${\displaystyle =1-P(Z\leq 2.00)=1-(0.47725+0.5)=0.02275}$

• Какова вероятность того, что студент наберет 74 или меньше?

${\displaystyle P(X\leq 74)=P\left(Z\leq {\frac {74-80}{5}}\right)=P(Z\leq -1.20)}$

Поскольку в этой таблице нет негативов, процесс включает в себя следующий дополнительный этап:

${\displaystyle P(Z\leq -1.20)=P(Z\geq 1.20)}$  ${\displaystyle =1-(0.38493+0.5)=0.11507}$

• Какова вероятность того, что студент наберет от 74 до 82 баллов?

${\displaystyle P(74\leq X\leq 82)=P(X\leq 82)-P(X\leq 74)=0.65542-0.11507}$ [как в примерах выше] ${\displaystyle =0.54035}$

• Какова вероятность того, что в среднем по трем оценкам будет 82 или меньше?

${\displaystyle P(X\leq 82)=P\left(Z\leq {\frac {82-80}{5/{\sqrt {3}}}}\right)}$  ${\displaystyle =P(Z\leq 0.69)=0.2549+0.5=0.7549}$

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]