Коэффициент Зенера

Коэффициент Зенера - это безразмерное число, которое используется для количественной оценки анизотропии кубических кристаллов . Иногда его называют коэффициентом анизотропии, и он назван в честь Кларенса Зенера . ^[1] Концептуально, он количественно определяет, насколько материал далек от изотропности (где значение 1 означает изотропный материал).

Его математическое определение ^{[1] [2]}

${\ displaystyle a_ {r} = {\ frac {2C_ {44}} {C_ {11} -C_ {12}}},}$

где относится к упругим постоянным в нотации Фойгта .${\ displaystyle C_ {ij}}$

Кубические материалы [ править ]

Кубические материалы - это специальные ортотропные материалы, которые инвариантны относительно поворотов на 90 ° относительно главных осей, т. Е. Материал одинаковый вдоль главных осей. Благодаря этим дополнительным симметриям тензор жесткости может быть записан всего с тремя различными свойствами материала, такими как

${\displaystyle {\underline {\underline {\mathsf {C}}}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{12}&0&0&0\\C_{12}&C_{11}&C_{12}&0&0&0\\C_{12}&C_{12}&C_{11}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{44}&0\\0&0&0&0&0&C_{44}\end{bmatrix}}\quad .}$

Обращение к этой матрице обычно записывается как ^[3]

${\displaystyle {\underline {\underline {\mathsf {S}}}}={\begin{bmatrix}{\tfrac {1}{E}}&-{\tfrac {\nu }{E}}&-{\tfrac {\nu }{E}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu }{E}}&{\tfrac {1}{E}}&-{\tfrac {\nu }{E}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu }{E}}&-{\tfrac {\nu }{E}}&{\tfrac {1}{E}}&0&0&0\\0&0&0&{\tfrac {1}{G}}&0&0\\0&0&0&0&{\tfrac {1}{G}}&0\\0&0&0&0&0&{\tfrac {1}{G}}\\\end{bmatrix}}\quad .}$

где - модуль Юнга , - модуль сдвига и - коэффициент Пуассона . Следовательно, мы можем рассматривать соотношение как отношение между модулем сдвига кубического материала и его (изотропным) эквивалентом:${\displaystyle {E}\,}$${\displaystyle G\,}$${\displaystyle \nu \,}$

${\displaystyle a_{r}={\frac {G}{E/[2(1+\nu )]}}={\frac {2(1+\nu )G}{E}}\equiv {\frac {2C_{44}}{C_{11}-C_{12}}}.}$

Универсальный индекс упругой анизотропии [ править ]

Отношение Зенера применимо только к кубическим кристаллам. Чтобы преодолеть это ограничение, «Универсальный индекс упругой анизотропии (AU)» ^[4] был сформулирован на основе вариационных принципов упругости и тензорной алгебры. Теперь AU используется для количественной оценки анизотропии упругих кристаллов всех классов.

См. Также [ править ]

• Анизотропия
• Ортотропный материал
• Линейная эластичность

Ссылки [ править ]