Линейная алгебраическая группа

---

Линейная алгебраическая группа — это подгруппа группы обратимых ${\displaystyle n\times n}$ матриц (по умножению), которые определены полиномиальными уравнениями. Примером является ортогональная группа, определённая отношением ${\displaystyle M^{T}M=1}$, где ${\displaystyle M^{T}}$ является транспонированной матрицей M.

Многие группы Ли можно рассматривать как линейные алгебраические группы над полем вещественных или комплексных чисел. (Например, любая компактная группа Ли^[англ.] может рассматриваться как линейная алгебраическая группа над ${\displaystyle \mathbb {R} }$, как и многие некомпактные группы, такие как простая группа Ли ${\displaystyle SL(n,\mathbb {R} )}$.) Простые группы Ли классифицировали Вильгельм Киллинг и Эли Жозеф Картан в 1880-х и 1890-х годах. В то время не придавали значения факту, что структура группы может быть определена многочленом, то есть, что это алгебраические группы. Основателями теории алгебраических групп были Маурер^[англ.], Клод Шевалле и Колчин^[1]. В 1950-х годах Борель построил бо́льшую часть теории алгебраических групп в современном виде.

Для натурального n полная линейная группа GL(n) над полем k, состоящая из всех обратимых ${\displaystyle n\times n}$ матриц, является линейной алгебраической группой над k. Она содержит подгруппы:

Группа ${\displaystyle G_{m}=GL(1)}$ называется мультипликативной группой. То есть группа ${\displaystyle G_{m}(k)}$ является группой k* ненулевых элементов поля k по умножению. Аддитивная группа ${\displaystyle G_{a}}$, с ${\displaystyle G_{a}(k)=k}$ (по сложению), может быть выражена как группа матриц, например как подгруппа U в GL(2):

---