Некоммутативная геометрия

---

Некоммутативная геометрия (НКГ) — раздел математики, посвященный геометрическому подходу к некоммутативным алгебрам^{[англ.][1]} и построению «пространств», которые локально представлены некоммутативными алгебрами функций (возможно, в некотором обобщенном смысле).

Подход, дающий глубокое представление о некоммутативных пространствах, заключается в использовании операторных алгебр (то есть алгебр ограниченных линейных операторов на гильбертовом пространстве).^[2] Одним из базовых примеров некоммутативного пространства являются некоммутативные торы^[англ.], которые сыграли ключевую роль в раннем развитии этой области в 1980-х годах и привели к некоммутативным версиям векторных расслоений, связностей^[англ.], кривизны и т. д.^[3]

Основной идеей некоммутативной геометрии является переформулировка понятий топологии, анализа, дифференциальной геометрии на языке банаховых алгебр.^[4]

В математике «пространства», геометрические объекты по своей природе, можно связать с множествами функций на них. В общем случае такие функции будут образовывать коммутативное кольцо. Например, можно взять кольцо ${\displaystyle C(X)}$ непрерывных комплекснозначных функций на топологическом пространстве ${\displaystyle X}$. Во многих случаях (например, если ${\displaystyle X}$ является компактным хаусдорфовым пространством) пространство ${\displaystyle X}$ однозначно восстанавливается по ${\displaystyle C(X)}$, поэтому можно в некотором смысле говорить, что ${\displaystyle X}$ имеет «коммутативную топологию».

Более конкретно, в топологии, компактные топологические хаусдорфовы пространства могут быть восстановлены по банаховой алгебре функций на пространстве (см. Представление Гельфанда^[англ.] и теорема Гельфанда — Наймарка). В коммутативной алгебраической геометрии алгебраические схемы являются локально простыми спектрами коммутативных колец с единицей (А. Гротендик), и каждая квазиотделимая схема ${\displaystyle X}$ может быть восстановлена с точностью до изоморфизма схем по категории квазикогерентных пучков ${\displaystyle O_{X}}$-модулей (П. Габриэль-А. Розенберг). Для топологий Гротендика когомологические свойства сайта являются инвариантами соответствующей категории пучков множеств, рассматриваемых абстрактно как топос (А. Гротендик). Во всех этих случаях пространство восстанавливается из алгебры функций или её категоризированной версии — некоторой категории пучков на этом пространстве.

---