Неопределённая ортогональная группа

---

Неопределённая ортогональная группа ${\displaystyle \mathrm {O} (p,q)}$ — это группа Ли всех линейных преобразований n-мерного вещественного векторного пространства, которые оставляют инвариантной невырожденную^[en] симметричную билинейную форму^[en] с сигнатурой ${\displaystyle (p,q)}$, где ${\displaystyle n=p+q}$. Размерность группы равна ${\displaystyle n(n-1)/2}$.

Неопределённая специальная ортогональная группа ${\displaystyle \mathrm {SO} (p,q)}$ является подгруппой ${\displaystyle \mathrm {O} (p,q)}$, состоящей из всех элементов с определителем 1. В отличие от определённого случая, группа ${\displaystyle \mathrm {SO} (p,q)}$ не связна: она имеет две компоненты и две дополнительные подгруппы с конечным индексом, а именно связная ${\displaystyle \mathrm {SO} ^{+}(p,q)}$ и ${\displaystyle \mathrm {O} ^{+}(p,q)}$, которая имеет две компоненты — см. раздел Топология, в котором дано определение и доказан этот факт.

Сигнатура формы определяет группу с точностью до изоморфизма. Перестановка p и q приводит к смене знака скалярного произведения, что даёт ту же самую группу. Если p или q равно нулю, группа изоморфна обычной ортогональной группе O(n). Далее мы предполагаем, что p и q положительны.

---