Функция Дирихле

---

Функция Дирихле́ — функция, принимающая единицу на рациональных значениях и ноль — на иррациональных, стандартный пример всюду разрывной функции. Введена в 1829 году немецким математиком Дирихле.^[1]

Символически, функция Дирихле ${\displaystyle D:\mathbb {R} \rightarrow \{0,1\}}$ определяется следующим образом:^[2]

Принадлежит второму классу Бэра, то есть её нельзя представить как (поточечный) предел последовательности непрерывных функций, но можно представить как повторный предел последовательности непрерывных функций^[3][4]:

Является периодической функцией, её периодом является любое рациональное число, не равное нулю; основного периода функция не имеет.^[6]

Не является интегрируемой в смысле Римана.^[7] Простая функция; измерима по отношению к мере Лебега; интеграл Лебега от функции Дирихле на любом числовом промежутке равен нулю, это следует из того, что мера Лебега множества рациональных чисел равна нулю.

---