В теории множеств , Θ (произносится как буква тета ) является наименьшим ненулевым порядкового α таким образом, что нет сюръекция из реала на а.
Если аксиома выбора (AC) верна (или даже если действительные числа можно упорядочить ), то simply просто, кардинальный преемник мощности континуума . Однако, Θ часто изучается в контекстах , где аксиома выбора терпит неудачу, такие как модели в аксиомы детерминированности .
Θ - также верхняя грань длин всех предварительных порядков вещественных чисел. [ необходима цитата ]
Доказательство существования
Может быть неочевидно, что без использования AC можно доказать, что существует даже ненулевой ординал, на который нет сюръекции из вещественных чисел (если такой ординал существует, то должен быть хотя бы один, потому что ординалы равны в порядке). Однако предположим, что такого порядкового номера не было. Тогда каждому ординалу α можно было бы сопоставить множество всех предварительных порядков вещественных чисел, имеющих длину α. Это дало бы инъекцию из класса всех ординалов в набор всех наборов упорядочения вещественных чисел (которые можно увидеть как набор посредством повторного применения аксиомы powerset ). Теперь аксиома замены показывает, что класс всех ординалов на самом деле является множеством. Но это невозможно, согласно парадоксу Бурали-Форти . [ необходима цитата ]