В алгебраической геометрии пучок алгебр на окольцованном пространстве X - это пучок коммутативных колец на X, который также является пучком -модулей . Он является квазикогерентным, если таковым является как модуль.
Когда X - схема , как и кольцо, можно взять глобальную Spec квазикогерентного пучка алгебр: это приводит к контравариантному функтору из категории квазикогерентных (пучков) -алгебр на X в категорию схем, аффинных над X (определенных ниже). Более того, это эквивалентность: квазиобратное выражение задается отправкой аффинного морфизма в [1]
Аффинный морфизм [ править ]
Морфизм схем называется аффинным , если есть открытое аффинное покрытие «ы такие , что аффинные. [2] Например, конечный морфизм аффинен. Аффинный морфизм квазикомпактен и разделен ; в частности, прямой образ квазикогерентного пучка вдоль аффинного морфизма квазикогерентен.
Замена базы аффинного морфизма аффинна. [3]
Пусть аффинная морфизм между схемами и локально окольцованное пространство вместе с картой . Тогда естественная карта между множествами:
биективен. [4]
Примеры [ править ]
- Пусть нормализация алгебраического многообразия X . Тогда, поскольку f конечно, квазикогерентно и .
- Пусть локально свободный пучок конечного ранга на схеме X . Тогда является квазикогерентной -алгеброй и является ассоциированным векторным расслоением над X (называемым тотальным пространством .)
- В более общем смысле, если F - когерентный пучок на X , то он все еще имеет , обычно называемую абелевой оболочкой F ; см. Конус (алгебраическая геометрия) # Примеры .
Формирование прямых образов [ править ]
Для окольцованного пространства S существует категория пар, состоящая из морфизма окольцованного пространства и -модуля . Тогда формирование прямых образов определяет контравариантный функтор из в категорию пар, состоящую из -алгебры A и A -модуля M , отправляющего каждую пару в пару .
Теперь предположим, что S - схема, а затем пусть - подкатегория, состоящая из пар таких, что является аффинным морфизмом между схемами и квазикогерентным пучком на . Тогда указанный выше функтор определяет эквивалентность между и категорией пар, состоящих из -алгебры A и квазикогерентного -модуля . [5]
Вышеупомянутая эквивалентность может использоваться (среди прочего) для выполнения следующей конструкции. Как и раньше, учитывая схему S , пусть быть квазикогерентной алгеброй , а затем принять его глобальный Spec: . Затем для каждого квазикогерентного А - модуля М , существует соответствующий квазикогерентным модуль таким образом, что называется пучок , связанный с М . Другими словами, определяет эквивалентность категории квазикогерентных -модулей и квазикогерентных -модулей.
См. Также [ править ]
Ссылки [ править ]
- Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1971). Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (на французском языке). 166 (2-е изд.). Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-05113-8.
- Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для выпускников по математике , 52 , Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, Руководство по ремонту 0463157
Внешние ссылки [ править ]
- https://ncatlab.org/nlab/show/affine+morphism