Теория волн Эйри

В динамике жидкости , теорию Эйри волны (часто называют линейной волновой теорией ) дает линеаризованное описание распространения из гравитационных волн на поверхности однородной жидкости слоя. Теория предполагает, что слой жидкости имеет одинаковую среднюю глубину и что поток жидкости является невязким , несжимаемым и безвихревым . Эта теория была впервые опубликована в правильной форме Джорджем Бидделлом Эйри в 19 ​​веке. ^[1]

Теория волн Эйри часто применяется в океанической инженерии и прибрежной инженерии для моделирования случайных состояний моря, давая описание кинематики и динамики волн с достаточно высокой точностью для многих целей. ^{[2] [3]} Кроме того, по его результатам можно оценить некоторые нелинейные свойства второго порядка поверхностных гравитационных волн и их распространение. ^[4] Теория волн Эйри также является хорошим приближением для волн цунами в океане, прежде чем они станут круче у побережья.

Эта линейная теория часто используется для быстрой и приблизительной оценки характеристик волн и их влияния. Это приближение является точным для малых отношений высоты волны к глубине воды (для волн на мелководье ) и высоты волны к длине волны (для волн на глубокой воде).

Описание [ править ]

Теория волн Эйри использует подход потенциального потока (или потенциала скорости ) для описания движения гравитационных волн на поверхности жидкости. Использование (невязкого и безвихревого) потенциального потока в водных волнах является чрезвычайно успешным, учитывая его неспособность описать многие другие потоки жидкости, где часто важно учитывать вязкость , завихренность , турбулентность или разделение потока . Это связано с тем, что для колебательной части движения жидкости индуцированная волной завихренность ограничивается некоторыми тонкими колебательными пограничными слоями Стокса на границах жидкой области. ^[5]

Теория волн Эйри часто используется в океанической инженерии и прибрежной инженерии . В частности, для случайных волн, иногда называемых волновой турбулентностью , эволюция волновой статистики, включая спектр волн, хорошо предсказывается на не слишком больших расстояниях (с точки зрения длин волн) и на не слишком мелкой воде. Дифракция - это один из волновых эффектов, который можно описать с помощью теории волн Эйри. Кроме того, с помощью приближения ВКБА , волна мелел и рефракция может быть предсказана. ^[2]

Ранее попытки описать поверхностные гравитационные волны с помощью потенциального потока были сделаны, в частности, Лапласом , Пуассоном , Коши и Келландом . Но Эйри был первым, кто опубликовал правильный вывод и формулировку в 1841 году. ^[1] Вскоре после этого, в 1847 году, линейная теория Эйри была расширена Стоксом для нелинейного волнового движения - известного как волновая теория Стокса - с точностью до третий порядок по крутизне волны. ^[6] Еще до линейной теории Эйри Герстнер вывел нелинейную трохоидальную волнутеория 1802 года, которая, однако, не является беспорядочной . ^[1]

Теория волн Эйри - это линейная теория распространения волн на поверхности потенциального потока и над горизонтальным дном. Высота свободной поверхности η ( x , t ) одной волновой составляющей является синусоидальной как функция горизонтального положения x и времени t :

${\displaystyle \eta (x,t)=a\cos \left(kx-\omega t\right)}$

куда

• а - амплитуда волны в метрах,
• cos - функция косинуса ,
• k - угловое волновое число в радианах на метр, связанное с длиной волны λ соотношением k =2 π/λ,
• ω - угловая частота в радианах в секунду, связанная с периодом T и частотой f соотношением ω =2 π/Т= 2 πf .

Волны распространяются по поверхности воды с фазовой скоростью c _p :

${\displaystyle c_{p}={\frac {\omega }{k}}={\frac {\lambda }{T}}.}$

Угловое волновое число k и частота ω не являются независимыми параметрами (и, следовательно, длина волны λ и период T не являются независимыми), но связаны. Поверхностные гравитационные волны в жидкости - это дисперсионные волны, демонстрирующие частотную дисперсию, что означает, что каждое волновое число имеет свою частоту и фазовую скорость.

Обратите внимание, что в инженерии часто используется высота волны H - разница в высоте между гребнем и впадиной :

${\displaystyle H=2a\quad {\text{and}}\quad a={\tfrac {1}{2}}H,}$

справедливо в данном случае линейных периодических волн.

Под поверхностью происходит движение жидкости, связанное с движением свободной поверхности. В то время как высота поверхности показывает распространяющуюся волну, частицы жидкости находятся в орбитальном движении. В рамках теории волн Эйри орбиты представляют собой замкнутые кривые: круги на большой глубине и эллипсы на конечной глубине, при этом эллипсы становятся более плоскими около дна слоя жидкости. Таким образом, пока волна распространяется, частицы жидкости просто вращаются (колеблются) вокруг своего среднего положения. При распространении волнового движения частицы жидкости переносят энергию в направлении распространения волны, не имея средней скорости. Диаметр орбит уменьшается с глубиной ниже свободной поверхности. В глубокой воде диаметр орбиты уменьшается до 4% от значения ее свободной поверхности на глубине в половину длины волны.

Аналогичным образом, под свободной поверхностью также возникают колебания давления , при этом колебания давления, вызванные волной, уменьшаются с глубиной ниже свободной поверхности - точно так же, как и при орбитальном движении частиц жидкости.

Математическая формулировка волнового движения [ править ]

Постановка проблемы потока [ править ]

Волны распространяются в горизонтальном направлении с координатой x и жидкой областью, ограниченной сверху свободной поверхностью в точке z = η ( x , t ) , где z - вертикальная координата (положительная в направлении вверх), а t - время. ^[7] Уровень z = 0 соответствует средней отметке поверхности. Непроницаемый слой под слоем жидкости находится г = - ч . Далее предполагается, что течение несжимаемое и безвихревое.- хорошее приближение потока внутри жидкости для волн на поверхности жидкости - и теория потенциала может быть использована для описания потока. Потенциал скоростей Φ ( х , г , т ) связан с скоростью потока компонентов у _й и у _г в горизонтальном ( х ) и вертикальном ( г ) направлениях:

${\displaystyle u_{x}={\frac {\partial \Phi }{\partial x}}\quad {\text{and}}\quad u_{z}={\frac {\partial \Phi }{\partial z}}.}$

Тогда из-за уравнения неразрывности для несжимаемого потока потенциал Φ должен удовлетворять уравнению Лапласа :

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z^{2}}}=0.\qquad (1)}$

Граничные условия необходимы на дне и на свободной поверхности, чтобы замкнуть систему уравнений. Для их формулировки в рамках линейной теории необходимо указать, каково базовое состояние (или решение нулевого порядка ) потока. Здесь мы предполагаем, что основным состоянием является покой, подразумевая, что средние скорости потока равны нулю.

Слой непроницаемый, приводит к кинематическому граничному условию слоя:

${\displaystyle {\frac {\partial \Phi }{\partial z}}=0\quad {\text{ at }}z=-h.\qquad (2)}$

В случае глубокой воды - под которой подразумевается бесконечная глубина воды с математической точки зрения - скорости потока должны стремиться к нулю в пределе, поскольку вертикальная координата стремится к минус бесконечности: z → −∞ .

На свободной поверхности для бесконечно малых волн вертикальное движение потока должно быть равно вертикальной скорости свободной поверхности. Это приводит к кинематическому граничному условию свободной поверхности:

${\displaystyle {\frac {\partial \eta }{\partial t}}={\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\quad {\text{ at }}z=\eta (x,t).\qquad (3)}$

Если бы высота свободной поверхности η ( x , t ) была известной функцией, этого было бы достаточно для решения проблемы потока. Однако отметка поверхности - это дополнительная неизвестная информация, для которой необходимо дополнительное граничное условие. Это обеспечивается уравнением Бернулли для нестационарного потенциального потока. Давление над свободной поверхностью предполагается постоянным. Это постоянное давление без ограничения общности принимается равным нулю, поскольку уровень такого постоянного давления не влияет на расход. После линеаризации это дает динамическое граничное условие для свободной поверхности:

${\displaystyle {\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+g\eta =0\quad {\text{ at }}z=\eta (x,t).\qquad (4)}$

Поскольку это линейная теория, как в граничных условиях свободной поверхности - кинематическом, так и в динамическом, уравнения (3) и (4) - значения Φ и∂Φ/∂ zна фиксированном среднем уровне z = 0 .

Решение для прогрессивной монохроматической волны [ править ]

Для распространяющейся волны одной частоты - монохроматической волны - отметка поверхности имеет вид: ^[7]

${\displaystyle \eta =a\cos(kx-\omega t).}$

Соответствующий потенциал скорости, удовлетворяющий уравнению Лапласа (1) внутри жидкости, а также кинематическим граничным условиям на свободной поверхности (2) и слое (3), равен:

${\displaystyle \Phi ={\frac {\omega }{k}}a{\frac {\cosh k(z+h)}{\sinh kh}}\sin(kx-\omega t),}$

с SINH и Cosh на гиперболический синус и гиперболический косинус функцию, соответственно. Но η и Φ также должны удовлетворять динамическому граничному условию, которое приводит к нетривиальным (ненулевым) значениям для амплитуды волны a, только если выполняется соотношение линейной дисперсии :

${\displaystyle \omega ^{2}=gk\tanh kh,}$

с tanh - гиперболический тангенс . Таким образом, угловая частота ω и волновое число k - или, что то же самое, период T и длина волны λ - не могут быть выбраны независимо, но связаны между собой. Это означает, что распространение волн на поверхности жидкости является собственной проблемой . Когда ω и k удовлетворяют дисперсионному соотношению, амплитуду волны a можно выбирать свободно (но достаточно малой, чтобы теория волн Эйри могла служить приемлемым приближением).

Таблица волновых величин [ править ]

В таблице ниже приведены несколько значений расхода и параметров согласно теории волн Эйри. ^[7] Приведенные величины относятся к немного более общей ситуации, чем для решения, данного выше. Во-первых, волны могут распространяться в произвольном горизонтальном направлении в плоскости x = ( x , y ) . Волновое число вектор к , и перпендикулярен к кулачкам гребней волн . Во-вторых, учитывается средняя скорость потока U в горизонтальном направлении и однородная по глубине (независимо от) z . Это вводит доплеровский сдвигв дисперсионных соотношениях. В фиксированном на Земле местоположении наблюдаемая угловая частота (или абсолютная угловая частота ) равна ω . С другой стороны, в системе отсчета, движущейся со средней скоростью U (так что средняя скорость, наблюдаемая из этой системы отсчета, равна нулю), угловая частота отличается. Она называется собственной угловой частотой (или относительной угловой частотой ) и обозначается σ . Таким образом, в чисто волновом движении при U = 0 обе частоты ω и σ равны. Волновое число k (и длина волныλ ) не зависят от системы отсчета и не имеют доплеровского сдвига (для монохроматических волн).

В таблице приведены только колебательные части величин потока - скорости, отклонения частиц и давление - а не их среднее значение или дрейф. Колебательные перемещения частицы ξ _x и ξ _z представляют собой временные интегралы от колебательных скоростей потока u _x и u _z соответственно.

Глубина воды подразделяется на три режима: ^[8]

• глубокая вода - для воды глубиной более половины длины волны , h >1/2λ , то фазовая скорость волн практически не зависят от глубины (это имеет место для большинства ветровых волн на море и поверхности океана), ^[9]
• мелководье - для воды глубиной менее 5% длины волны h <1/20λ фазовая скорость волн зависит только от глубины воды и больше не зависит от периода или длины волны; ^[10] и
• промежуточная глубина - все остальные случаи,1/20λ < h <1/2λ , где и глубина воды, и период (или длина волны) имеют существенное влияние на решение теории волн Эйри.

В предельных случаях глубокой и мелкой воды можно сделать упрощающие приближения к решению. В то время как для промежуточной глубины необходимо использовать полные составы.

Свойства гравитационных волн на поверхности глубокой воды, мелководья и на промежуточных глубинах согласно теории волн Эйри [7]
количество	символ	единицы	глубокая вода ( h >1/2λ )	мелководье ( h <1/20λ )	промежуточная глубина (все λ и h )
высота поверхности	${\displaystyle \eta (\mathbf {x} ,t)}$	м	${\displaystyle a\cos \theta (\mathbf {x} ,t)}$
фаза волны	${\displaystyle \theta (\mathbf {x} ,t)}$	рад	${\displaystyle \mathbf {k} \cdot \mathbf {x} -\omega t}$
наблюдаемая угловая частота	${\displaystyle \omega }$	рад · с −1	${\displaystyle \left(\omega -\mathbf {k} \cdot \mathbf {U} \right)^{2}={\bigl (}\Omega (k){\bigr )}^{2}\quad {\text{ with }}\quad k=|\mathbf {k} |}$
собственная угловая частота	${\displaystyle \sigma }$	рад · с −1	${\displaystyle \quad \sigma ^{2}={\bigl (}\Omega (k){\bigr )}^{2}\quad {\text{ with }}\quad \sigma =\omega -\mathbf {k} \cdot \mathbf {U} }$
единичный вектор в направлении распространения волны	${\displaystyle \mathbf {e} _{k}}$	-	${\displaystyle {\frac {\mathbf {k} }{k}}}$
соотношение дисперсии	${\displaystyle \Omega (k)}$	рад · с −1	${\displaystyle \Omega (k)={\sqrt {gk}}}$	${\displaystyle \Omega (k)=k{\sqrt {gh}}}$	${\displaystyle \Omega (k)={\sqrt {gk\tanh kh}}}$
фазовая скорость	${\displaystyle c_{p}={\frac {\Omega (k)}{k}}}$	м · с −1	${\displaystyle {\sqrt {\frac {g}{k}}}={\frac {g}{\sigma }}}$	${\displaystyle {\sqrt {gh}}}$	${\displaystyle {\sqrt {{\frac {g}{k}}\tanh kh}}}$
групповая скорость	${\displaystyle c_{g}={\frac {\partial \Omega }{\partial k}}}$	м · с −1	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\frac {g}{k}}}={\tfrac {1}{2}}{\frac {g}{\sigma }}}$	${\displaystyle {\sqrt {gh}}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}c_{p}\left(1+kh{\frac {1-\tanh ^{2}kh}{\tanh kh}}\right)}$
соотношение	${\displaystyle {\frac {c_{g}}{c_{p}}}}$	-	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\left(1+kh{\frac {1-\tanh ^{2}kh}{\tanh kh}}\right)}$
горизонтальная скорость	${\displaystyle \mathbf {u} _{x}(\mathbf {x} ,z,t)}$	м · с −1	${\displaystyle \mathbf {e} _{k}\sigma a\,e^{kz}\cos \theta }$	${\displaystyle \mathbf {e} _{k}{\sqrt {\frac {g}{h}}}a\cos \theta }$	${\displaystyle \mathbf {e} _{k}\sigma a{\frac {\cosh k(z+h)}{\sinh kh}}\cos \theta }$
вертикальная скорость	${\displaystyle u_{z}(\mathbf {x} ,z,t)}$	м · с −1	${\displaystyle \sigma a\,e^{kz}\sin \theta }$	${\displaystyle \sigma a{\frac {z+h}{h}}\sin \theta }$	${\displaystyle \sigma a{\frac {\sinh k(z+h)}{\sinh kh}}\sin \theta }$
горизонтальный ход частицы	${\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}_{x}(\mathbf {x} ,z,t)}$	м	${\displaystyle -\mathbf {e} _{k}a\,e^{kz}\sin \theta }$	${\displaystyle -\mathbf {e} _{k}{\frac {1}{kh}}a\sin \theta }$	${\displaystyle -\mathbf {e} _{k}a{\frac {\cosh k(z+h)}{\sinh kh}}\sin \theta }$
вертикальный ход частиц	${\displaystyle \xi _{z}(\mathbf {x} ,z,t)}$	м	${\displaystyle a\,e^{kz}\cos \theta }$	${\displaystyle a{\frac {z+h}{h}}\cos \theta }$	${\displaystyle a{\frac {\sinh k(z+h)}{\sinh kh}}\cos \theta }$
колебание давления	${\displaystyle p(\mathbf {x} ,z,t)}$	Н · м −2	${\displaystyle \rho ga\,e^{kz}\cos \theta }$	${\displaystyle \rho ga\cos \theta }$	${\displaystyle \rho ga{\frac {\cosh k(z+h)}{\cosh kh}}\cos \theta }$

Эффекты поверхностного натяжения [ править ]

Из-за поверхностного натяжения дисперсионное соотношение меняется на: ^[11]

${\displaystyle \Omega ^{2}(k)=\left(g+{\frac {\gamma }{\rho }}k^{2}\right)k\,\tanh kh,}$

где γ - поверхностное натяжение в ньютонах на метр. Все приведенные выше уравнения для линейных волн остаются прежними, если вместо ускорения свободного падения g использовать ^[12]

${\displaystyle {\tilde {g}}=g+{\frac {\gamma }{\rho }}k^{2}.}$

В результате поверхностного натяжения волны распространяются быстрее. Поверхностное натяжение влияет только на короткие волны, с длинами волн менее нескольких дециметров в случае границы раздела вода-воздух. Для очень коротких волн - 2 мм или меньше, в случае границы раздела между воздухом и водой - гравитационные эффекты незначительны. Обратите внимание, что поверхностное натяжение может быть изменено поверхностно-активными веществами .

Групповая скорость ∂Ω/∂ kкапиллярных волн, в которых преобладают эффекты поверхностного натяжения, больше, чем фазовая скорость Ω/k. Это противоположно ситуации с поверхностными гравитационными волнами (с пренебрежимо малым поверхностным натяжением по сравнению с действием силы тяжести), когда фазовая скорость превышает групповую. ^[13]

Межфазные волны [ править ]

Поверхностные волны - это частный случай межфазных волн на границе между двумя жидкостями разной плотности .

Два слоя бесконечной глубины [ править ]

Рассмотрим две жидкости, разделенные границей раздела, и без дополнительных границ. Тогда их дисперсионное соотношение ω ² = Ω ² ( k ) задается формулой ^{[11] [14] [15]}

${\displaystyle \Omega ^{2}(k)=|k|\left({\frac {\rho -\rho '}{\rho +\rho '}}g+{\frac {\gamma }{\rho +\rho '}}k^{2}\right),}$

где ρ и ρ ′ - плотности двух жидкостей, ниже ( ρ ) и выше ( ρ ′ ) границы раздела, соответственно. Далее γ - поверхностное натяжение на границе раздела.

Для существования межфазных волн нижний слой должен быть тяжелее верхнего, ρ > ρ ′ . В противном случае граница раздела будет нестабильной и развивается неустойчивость Рэлея – Тейлора .

Два слоя между горизонтальными жесткими плоскостями [ править ]

Для двух однородных слоев жидкости со средней толщиной h ниже границы раздела и h ′ сверху - под действием силы тяжести и ограниченных сверху и снизу горизонтальными жесткими стенками - для гравитационных волн обеспечивается дисперсионное соотношение ω ² = Ω ² ( k ) автор: ^[16]

${\displaystyle \Omega ^{2}(k)={\frac {gk(\rho -\rho ')}{\rho \coth kh+\rho '\coth kh'}},}$

где снова ρ и ρ ′ - плотности ниже и выше границы раздела, а coth - гиперболическая функция котангенса . Для случая, когда ρ ′ равно нулю, это сводится к закону дисперсии поверхностных гравитационных волн на воде конечной глубины h .

Два слоя, ограниченные сверху свободной поверхностью [ править ]

В этом случае дисперсионное соотношение допускает два режима: баротропный режим, в котором амплитуда свободной поверхности велика по сравнению с амплитудой межфазной волны, и бароклинный режим, в котором все наоборот - межфазная волна выше и находится в противофазе. со свободной поверхностной волной. Дисперсионное соотношение для этого случая имеет более сложный вид. ^[17]

Свойства волн второго порядка [ править ]

Некоторые волновые свойства второго порядка , квадратичные по амплитуде волны a , могут быть получены непосредственно из теории волн Эйри. Они важны во многих практических приложениях, таких как прогнозы волновых условий. ^[18] Используя приближение WKBJ , свойства волн второго порядка также находят свое применение при описании волн в случае медленно меняющейся батиметрии , а также при средних изменениях течений и высоты поверхности. А также при описании взаимодействий волн и средних потоков из-за изменений во времени и пространстве амплитуды, частоты, длины волны и направления самого волнового поля.

Таблица волновых свойств второго порядка [ редактировать ]

В таблице ниже приведены несколько волновых свойств второго порядка, а также динамические уравнения, которым они удовлетворяют в случае медленно меняющихся условий в пространстве и времени. Более подробную информацию об этом можно найти ниже. В таблице приведены результаты для распространения волн в одном горизонтальном пространственном измерении. Далее в этом разделе приведены более подробные описания и результаты для общего случая распространения в двумерном горизонтальном пространстве.

Величины второго порядка и их динамика с использованием результатов теории волн Эйри
количество	символ	единицы	формула
средняя плотность волновой энергии на единицу горизонтальной площади	${\displaystyle E}$	Дж · м −2	${\displaystyle E={\tfrac {1}{2}}\rho ga^{2}}$
радиационное напряжение или избыточный горизонтальный поток импульса из-за волнового движения	${\displaystyle S_{xx}}$	Н · м −1	${\displaystyle S_{xx}=\left(2{\frac {c_{g}}{c_{p}}}-{\tfrac {1}{2}}\right)E}$
волновое действие	${\displaystyle {\mathcal {A}}}$	Дж · с · м −2	${\displaystyle {\mathcal {A}}={\frac {E}{\sigma }}={\frac {E}{\omega -kU}}}$
средний поток массы из-за волнового движения или волнового псевдоимпульса	${\displaystyle M}$	кг · м −1 · с −1	${\displaystyle M={\frac {E}{c_{p}}}=k{\frac {E}{\sigma }}}$
средняя горизонтальная скорость массопереноса	${\displaystyle {\tilde {U}}}$	м · с −1	${\displaystyle {\tilde {U}}=U+{\frac {M}{\rho h}}=U+{\frac {E}{\rho hc_{p}}}}$
Стоксов дрейф	${\displaystyle {\bar {u}}_{S}}$	м · с −1	${\displaystyle {\bar {u}}_{S}={\tfrac {1}{2}}\sigma ka^{2}{\frac {\cosh 2k(z+h)}{\sinh ^{2}kh}}}$
распространение волновой энергии		Дж · м −2 · с −1	${\displaystyle {\frac {\partial E}{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x}}{\bigl (}(U+c_{g})E{\bigr )}+S_{xx}{\frac {\partial U}{\partial x}}=0}$
сохранение волнового воздействия		Дж · м −2	${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {A}}}{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x}}{\bigl (}(U+c_{g}){\mathcal {A}}{\bigr )}=0}$
волны- гребень консервация		рад · м −1 · с −1	${\displaystyle {\frac {\partial k}{\partial t}}+{\frac {\partial \omega }{\partial x}}=0\quad {\text{with}}\quad \omega =\Omega (k)+kU}$
среднее сохранение массы		кг · м −2 · с −1	${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}(\rho h)+{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\rho h{\tilde {U}}\right)=0}$
эволюция среднего горизонтального импульса		Н · м −2	${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left(\rho h{\tilde {U}}\right)+{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\rho h{\tilde {U}}^{2}+{\tfrac {1}{2}}\rho gh^{2}+S_{xx}\right)=\rho gh{\frac {\partial d}{\partial x}}}$

Последние четыре уравнений описывают эволюцию медленно меняющиеся волны поезда над батиметрией во взаимодействии с средним потоком , и могут быть получены из вариационного принципа: уиземовские «s усредненного Лагранж метода. ^[19] В уравнении среднего горизонтального импульса d ( x ) - это глубина стоячей воды, то есть слой под слоем жидкости расположен в точке z = - d . Обратите внимание, что средняя скорость потока в уравнениях для массы и импульса - это скорость переноса массы Ũ , включая влияние зоны разбрызгивания волн на горизонтальный перенос массы, а не среднееЭйлерова скорость (например, измеренная фиксированным расходомером).

Плотность волновой энергии [ править ]

Энергия волн - это величина, представляющая первостепенный интерес, поскольку это основная величина, которая переносится с цугами волн. ^[20] Как видно выше, многие волновые величины, такие как высота поверхности и орбитальная скорость, имеют колебательный характер с нулевым средним (в рамках линейной теории). В водных волнах наиболее часто используемым показателем энергии является средняя плотность энергии волны на единицу горизонтальной площади. Это сумма кинетической и потенциальной плотности энергии , интегрированная по глубине слоя жидкости и усредненная по фазе волны. Проще всего получить среднюю плотность потенциальной энергии на единицу горизонтальной площади E _pot поверхностных гравитационных волн, которая представляет собой отклонение потенциальной энергии из-за присутствия волн:^[21]

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\text{pot}}&={\overline {\int _{-h}^{\eta }\rho gz\,\mathrm {d} z}}-\int _{-h}^{0}\rho gz\,\mathrm {d} z\\[6px]&={\overline {{\tfrac {1}{2}}\rho g\eta ^{2}}}={\tfrac {1}{4}}\rho ga^{2}.\end{aligned}}}$

Черная черта обозначает среднее значение (которое в данном случае периодических волн может быть принято либо как среднее по времени, либо как среднее по одной длине волны в пространстве).

Аналогичным образом определяется средняя плотность кинетической энергии на единицу горизонтальной площади E _kin волнового движения: ^[21]

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\text{kin}}&={\overline {\int _{-h}^{0}{\tfrac {1}{2}}\rho \left[\left|\mathbf {U} +\mathbf {u} _{x}\right|^{2}+u_{z}^{2}\right]\,\mathrm {d} z}}-\int _{-h}^{0}{\tfrac {1}{2}}\rho \left|\mathbf {U} \right|^{2}\,\mathrm {d} z\\[6px]&={\tfrac {1}{4}}\rho {\frac {\sigma ^{2}}{k\tanh kh}}a^{2},\end{aligned}}}$

где σ - собственная частота, см. таблицу волновых величин . Используя дисперсионное соотношение, получаем для поверхностных гравитационных волн:

${\displaystyle E_{\text{kin}}={\tfrac {1}{4}}\rho ga^{2}.}$

Как видно, средние плотности кинетической и потенциальной энергии равны. Это общее свойство плотностей энергии прогрессивных линейных волн в консервативной системе . ^{[22] [23]} Сложив потенциальный и кинетический вклады, E _pot и E _kin , средняя плотность энергии на единицу горизонтальной площади E волнового движения равна:

${\displaystyle E=E_{\text{pot}}+E_{\text{kin}}={\tfrac {1}{2}}\rho ga^{2}.}$

В случае, если эффектами поверхностного натяжения нельзя пренебречь, их вклад также увеличивает плотности потенциальной и кинетической энергии, давая ^[22]

${\displaystyle E_{\text{pot}}=E_{\text{kin}}={\tfrac {1}{4}}\left(\rho g+\gamma k^{2}\right)a^{2},}$

так

${\displaystyle E=E_{\text{pot}}+E_{\text{kin}}={\tfrac {1}{2}}\left(\rho g+\gamma k^{2}\right)a^{2},}$

с γ от поверхностного натяжения .

Волновое воздействие, поток волновой энергии и радиационное напряжение [ править ]

В общем, может иметь место передача энергии между волновым движением и средним движением жидкости. Это означает, что не во всех случаях плотность энергии волны является сохраняющейся величиной (без учета диссипативных эффектов ), а полная плотность энергии - сумма плотности энергии на единицу площади движения волны и среднего движения потока. Однако для медленно меняющихся волновых цугов, распространяющихся в медленно меняющихся батиметрических полях и полях среднего течения, существует аналогичная и сохраняющаяся волновая величина, волновое действие A =E/σ: ^{[19] [24] [25]}

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {A}}}{\partial t}}+\nabla \cdot \left[\left(\mathbf {U} +\mathbf {c} _{g}\right){\mathcal {A}}\right]=0,}$

с ( U + C _г ) А в действие потоком и с _г = с _г е _К , в групповой скорости вектор. Сохранения действий формирует основу для многих моделей ветровых волн и волновой турбулентности моделей. ^[26] Это также основа прибрежных инженерных моделей для расчета обмеления волн . ^[27] Расширение приведенного выше уравнения сохранения волнового воздействия приводит к следующему уравнению эволюции для плотности энергии волны: ^[28]

${\displaystyle {\frac {\partial E}{\partial t}}+\nabla \cdot \left[\left(\mathbf {U} +\mathbf {c} _{g}\right)E\right]+{\boldsymbol {S}}:\left(\nabla \mathbf {U} \right)=0,}$

с:

• ( U + c _g ) E - средний поток плотности энергии волны,
• S - тензор радиационных напряжений и
• ∇ U - тензор средней скорости сдвига .

В этом уравнении в форме без сохранения внутренний продукт Фробениуса S  : (∇ U ) является исходным членом, описывающим обмен энергией движения волны со средним потоком. Только в том случае, если средняя скорость сдвига равна нулю, ∇ U = 0 , средняя плотность энергии волны E сохраняется. Два тензора S и ∇ U находятся в декартовой системе координат вида: ^[29]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {S}}&={\begin{pmatrix}S_{xx}&S_{xy}\\S_{yx}&S_{yy}\end{pmatrix}}={\boldsymbol {I}}\left({\frac {c_{g}}{c_{p}}}-{\frac {1}{2}}\right)E+{\frac {1}{k^{2}}}{\begin{pmatrix}k_{x}k_{x}&k_{x}k_{y}\\[2ex]k_{y}k_{x}&k_{y}k_{y}\end{pmatrix}}{\frac {c_{g}}{c_{p}}}E,\\[6px]{\boldsymbol {I}}&={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\\[6px]\nabla \mathbf {U} &={\begin{pmatrix}\displaystyle {\frac {\partial U_{x}}{\partial x}}&\displaystyle {\frac {\partial U_{y}}{\partial x}}\\[2ex]\displaystyle {\frac {\partial U_{x}}{\partial y}}&\displaystyle {\frac {\partial U_{y}}{\partial y}}\end{pmatrix}},\end{aligned}}}$

с к _й и к _у компоненты волнового числа вектора к и аналогично U _х и U _у компоненты в среднем векторе скорости U .

Поток волновой массы и волновой импульс [ править ]

Средний горизонтальный импульс на единицу площади M, индуцированный волновым движением, а также индуцированный волной поток массы или перенос массы : ^[30]

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {M} &={\overline {\int _{-h}^{\eta }\rho \left(\mathbf {U} +\mathbf {u} _{x}\right)\,\mathrm {d} z}}-\int _{-h}^{0}\rho \mathbf {U} \,\mathrm {d} z\\[6px]&={\frac {E}{c_{p}}}\mathbf {e} _{k},\end{aligned}}}$

что является точным результатом для периодических прогрессивных волн на воде, также справедливым для нелинейных волн. ^[31] Однако его справедливость сильно зависит от способа определения импульса волны и потока массы. Стокс уже идентифицировал два возможных определения фазовой скорости для периодических нелинейных волн: ^[6]

• Стоксово первое определение волнового быстроты (S1) - со средней скоростью потока эйлеровом равна нулю для всех отметок г 'ниже волновых впадин и
• Второе определение Стокса скорости волны (S2) - с нулевым средним переносом массы.

Вышеупомянутая связь между волновым импульсом M и плотностью волновой энергии E действует в рамках первого определения Стокса.

Однако для волн, перпендикулярных береговой линии, или в закрытом лабораторном волновом канале более подходящим является второе определение (S2). Эти волновые системы имеют нулевой поток массы и импульс при использовании второго определения. ^[32] В отличие от этого , в соответствии с первым определением Стокса (S1), есть волна индуцированных поток массы в направлении распространения волны, которая должна быть сбалансирована с помощью среднего потока U в направлении , противоположном - называется прибойный .

В общем, здесь есть свои тонкости. Поэтому также термин псевдоимпульс волн используется вместо волнового импульса. ^[33]

Уравнения эволюции массы и импульса [ править ]

Для медленно меняющихся полей батиметрии , волн и среднего потока, эволюция среднего потока может быть описана в терминах средней скорости массопереноса Ũ, определяемой как: ^[34]

${\displaystyle {\tilde {\mathbf {U} }}=\mathbf {U} +{\frac {\mathbf {M} }{\rho h}}.}$

Обратите внимание, что для глубокой воды, когда средняя глубина h стремится к бесконечности, средняя эйлерова скорость U и средняя скорость переноса Ũ становятся равными.

Уравнение сохранения массы: ^{[19] [34]}

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left(\rho h\right)+\nabla \cdot \left(\rho h{\tilde {\mathbf {U} }}\right)=0,}$

где h ( x , t ) - средняя глубина воды, медленно меняющаяся во времени и пространстве.

Точно так же средний горизонтальный импульс изменяется как: ^{[19] [34]}

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left(\rho h{\tilde {\mathbf {U} }}\right)+\nabla \cdot \left(\rho h{\tilde {\mathbf {U} }}\otimes {\tilde {\mathbf {U} }}+{\tfrac {1}{2}}\rho gh^{2}{\boldsymbol {I}}+{\boldsymbol {S}}\right)=\rho gh\nabla d,}$

где d - глубина стоячей воды (морское дно находится в точке z = - d ), S - тензор волнового радиационного напряжения , I - единичная матрица, а ⊗ - диадическое произведение :

${\displaystyle {\tilde {\mathbf {U} }}\otimes {\tilde {\mathbf {U} }}={\begin{pmatrix}{\tilde {U}}_{x}{\tilde {U}}_{x}&{\tilde {U}}_{x}{\tilde {U}}_{y}\\{\tilde {U}}_{y}{\tilde {U}}_{x}&{\tilde {U}}_{y}{\tilde {U}}_{y}\end{pmatrix}}.}$

Обратите внимание, что средний горизонтальный импульс сохраняется только в том случае, если морское дно горизонтально (глубина стоячей воды d является постоянной величиной), в соответствии с теоремой Нётер .

Система уравнений замыкается описанием волн. Распространение волновой энергии описывается уравнением сохранения волнового действия (без диссипации и нелинейных взаимодействий волн): ^{[19] [24]}

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {E}{\sigma }}\right)+\nabla \cdot \left[\left(\mathbf {U} +\mathbf {c} _{g}\right){\frac {E}{\sigma }}\right]=0.}$

Кинематика волны описывается уравнением сохранения гребня волны: ^[35]

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {k} }{\partial t}}+\nabla \omega =\mathbf {0} ,}$

с угловой частотой ω как функцией (углового) волнового числа k , связанного через дисперсионное соотношение . Чтобы это было возможно, волновое поле должно быть когерентным . Взяв ротор сохранения гребня волны, можно увидеть, что изначально безвихревое поле волновых чисел остается безвихревым.

Дрейф Стокса [ править ]

Если следовать за отдельной частицей в чисто волновом движении ( U = 0 ), согласно линейной теории волн Эйри, первое приближение дает замкнутые эллиптические орбиты для частиц воды. ^[36] Однако для нелинейных волн частицы демонстрируют стоксов дрейф, для которого выражение второго порядка может быть получено из результатов теории волн Эйри (см. Таблицу выше по свойствам волн второго порядка ). ^[37] Скорость стоксова дрейфа ū _S , которая представляет собой дрейф частицы после одного волнового цикла, деленный на период , может быть оценена с использованием результатов линейной теории: ^[38]

${\displaystyle {\bar {\mathbf {u} }}_{S}={\tfrac {1}{2}}\sigma ka^{2}{\frac {\cosh 2k(z+h)}{\sinh ^{2}kh}}\mathbf {e} _{k},}$

поэтому он меняется в зависимости от высоты. Данная формула является первым стоксовым определением скорости волны. При ρ ū _S является интегрированным по глубине, выражение для среднего волнового импульса М восстанавливается. ^[38]

См. Также [ править ]

• Приближение Буссинеска (волны на воде) - нелинейная теория волн на мелководье .
• Капиллярная волна - поверхностные волны под действием поверхностного натяжения.
• Кноидальная волна - нелинейные периодические волны на мелкой воде, решения уравнения Кортевега – де Фриза.
• Уравнение с мягким наклоном - преломление и дифракция поверхностных волн на различной глубине
• Поверхностная волна океана - настоящие водные волны, видимые в океане и море
• Волна Стокса - нелинейные периодические волны на неглубокой воде
• Энергия волн - использование волн океана и моря для выработки электроэнергии.

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

Исторический [ править ]

• Эйри, Великобритания (1841 г.). «Приливы и волны». У Хью Джеймса Роуза ; и другие. (ред.). Encyclopdia Metropolitana . Смешанные науки. 3 (опубликовано 1817–1845 гг.). Также: «Тригонометрия. О фигуре Земли, приливах и волнах», 396 с.
• Стокс, GG (1847). «К теории колебательных волн». Труды Кембриджского философского общества . 8 : 441–455.
  Перепечатано в: Stokes, GG (1880). Математический и физический Papers, Том I . Издательство Кембриджского университета. стр.  197 -229.

Дальнейшее чтение [ править ]

• Крейк, ADD (2004). «Истоки теории водных волн». Ежегодный обзор гидромеханики . 36 : 1–28. Bibcode : 2004AnRFM..36 .... 1C . DOI : 10.1146 / annurev.fluid.36.050802.122118 .
• Dean, RG; Далримпл, РА (1991). Механика водных волн для инженеров и ученых . Продвинутая серия по океанской инженерии. 2 . Сингапур: World Scientific. ISBN 978-981-02-0420-4. OCLC  22907242 .
• Дингеманс, MW (1997). Распространение водной волны по неровному дну . Продвинутая серия по океанской инженерии. 13 . Сингапур: World Scientific. ISBN 978-981-02-0427-3. OCLC  36126836 . Две части, 967 страниц.
• Лэмб, Х. (1994). Гидродинамика (6-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-45868-9. OCLC  30070401 . Первоначально опубликованное в 1879 году, 6-е расширенное издание впервые появилось в 1932 году.
• Ландау, ЛД ; Лифшиц, EM (1986). Гидравлическая механика . Курс теоретической физики. 6 (2-е изд. Изм.). Pergamon Press. ISBN 978-0-08-033932-0. OCLC  15017127 .
• Лайтхилл, MJ (1978). Волны в жидкостях . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-29233-7. OCLC  2966533 . 504 с.
• Филлипс, О.М. (1977). Динамика верхнего слоя океана (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-29801-8. OCLC  7319931 .
• Wehausen, JV, Laitone, EV (1960), Flügge, S. & Truesdell, C. (eds.), "Surface Waves" , Encyclopaedia of Physics , Springer Verlag, 9 : 653–667, §27, OCLC  612422741 , в архиве из оригинала от 21 мая 2013 г. , получено 5 мая 2013 г.

Внешние ссылки [ править ]

• Линейная теория поверхностных волн океана на WikiWaves.
• Волны на воде в Массачусетском технологическом институте .