Харшад номер

В математике число харшада (или число Нивена ) в данной системе счисления — это целое число , которое делится на сумму своих цифр при записи в этой базе. Числа харшада в базе $n$ также известны как $n$ -харшадные (или $n$ -нивенские ) числа. Числа Харшада были определены Д. Р. Капрекаром , математиком из Индии . ^[1] Слово «харшад» происходит от санскритского харша (радость) + да(давать), что означает дающий радость. Термин «число Нивена» возник из доклада Ивана М. Нивена на конференции по теории чисел в 1977 году.

С математической точки зрения, пусть $X$ будет положительным целым числом с $m$ цифрами, записанными в системе счисления $n$ , и пусть цифры будут ( ). (Из этого следует, что оно должно быть либо нулем, либо целым положительным числом до .) $X$ можно выразить как ${\ Displaystyle а_ {я}}$ ${\ Displaystyle я = 0,1, \ ldots, м-1}$ ${\ Displaystyle а_ {я}}$ ${\ Displaystyle п-1}$

Число, которое является харшадным числом в каждой системе счисления, называется все-харшадным числом или все-нивенским числом . Есть только четыре полностью жестких числа: 1 , 2 , 4 и 6 . Число 12 является харшадным числом во всех основаниях, кроме восьмеричного .

Учитывая тест делимости на 9 , может возникнуть соблазн обобщить, что все числа, делящиеся на 9, также являются харшадными числами. Но для определения резкости $n$ цифры $n$ можно сложить только один раз, и $n$ должно делиться на эту сумму; в противном случае это не число харшад. Например, 99 не является числом харкад, так как 9 + 9 = 18, а 99 не делится на 18.

Базовое число (и, более того, его силы) всегда будет числом харшад в своей собственной базе, поскольку оно будет представлено как «10» и 1 + 0 = 1.

Чтобы простое число также было числом харшада, оно должно быть меньше или равно основному числу, в противном случае цифры простого числа в сумме составят число, которое больше 1, но меньше простого, и не будет делимый. Например: 11 не является харсадом по основанию 10, потому что сумма его цифр «11» равна 1 + 1 = 2, а 11 не делится на 2; в то время как в системе счисления 12 число 11 может быть представлено как «Ɛ», сумма цифр которого также равна Ɛ. Поскольку Ɛ делится само на себя, оно харшадно по основанию 12.