Почти-контактный коллектор

Эта статья включает в себя список литературы , связанной литературы или внешних ссылок , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Октябрь 2020 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математической области дифференциальной геометрии , почти контактная структура представляет собой определенный вид геометрической структуры на гладком многообразии . Такие конструкции представил Шигео Сасаки в 1960 году.

Именно, учитывая гладкое многообразие $М$ , почти-контактная структура состоит из распределительной гиперплоскости $Р$ , с почти комплексной структурой $J$ на $Q$ , и векторное поле $£$ , которое поперечно к $Q$ . То есть, для каждой точки $р$ из $М$ , один выбирает коразмерности один линейное подпространство $Q р$ из касательного пространства $Т р М$ , А линейное отображение $φ р : Q р \to Q р$ такие , что $J p \circ J p = -id Q p$ , и элемент $ξ p$ из $T p M,$ не содержащийся в $Q p$ .

Учитывая такие данные, для каждого $p$ в $M$ можно определить линейное отображение $η p : T p M \to ℝ$ и линейное отображение $φ p : T p M \to T p M$ по $формуле$

{\begin{aligned}\eta _{p}(u)&=0{\text{ if }}u\in Q_{p}\\\eta _{p}(\xi _{p})&=1\\\varphi _{p}(u)&=J_{p}(u){\text{ if }}u\in Q_{p}\\\varphi _{p}(\xi )&=0.\end{aligned}}

Это определяет один-форма $п$ и (1,1) -тензорное поля $φ$ на $M$ , и можно проверить непосредственно, путем разложения $V$ по отношению к прямой сумме разложения $Т р М = Q р \oplus {K £ , р : K \in ℝ$ }, что

{\begin{aligned}\eta _{p}(v)\xi _{p}&=\varphi _{p}\circ \varphi _{p}(v)+v\end{aligned}}

для любого $V$ в $Т р М$ . Наоборот, можно определить почти контактную структуру как тройку $(ξ, η, φ),$ которая удовлетворяет двум условиям

$\eta _{p}(v)\xi _{p}=\varphi _{p}\circ \varphi _{p}(v)+v$ для любого $v$ из $T p M$
$\eta _{p}(\xi _{p})=1$

Затем можно определить $Q p$ как ядро линейного отображения $η p$ , и можно проверить, что ограничение $φ p$ на $Q p$ значимо в $Q p$ , тем самым определив $J p$ .

Ссылки [ править ]

Дэвид Э. Блэр. Риманова геометрия контактных и симплектических многообразий. Второе издание. Прогресс в математике, 203. Birkhäuser Boston, Ltd., Бостон, Массачусетс, 2010. xvi + 343 стр. ISBN 978-0-8176-4958-6 , DOI : 10.1007 / 978-0-8176-4959-3
Шигео Сасаки. О дифференцируемых многообразиях с некоторыми структурами, которые тесно связаны с почти контактной структурой. I. Tohoku Math. J. (2) 12 (1960), 459–476.