Из Википедии, бесплатной энциклопедии
  (Перенаправлен с Дружного номера )
Перейти к навигации Перейти к поиску
«Дружелюбный» перенаправляется сюда. Для определения см. Викисловарь: дружеский .
Не путать с дружественными числами .
Демонстрация розыгрыша дружелюбия пары чисел (220 284)

Дружные номера два различные номер , связанные таким образом, чтобы сумма из собственных делителей каждого равно другого число.

Наименьшая пара дружеских чисел - ( 220 , 284 ). Они дружественны, потому что правильные делители 220 равны 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 и 110, из которых сумма составляет 284; а правильные делители числа 284 равны 1, 2, 4, 71 и 142, из которых сумма равна 220. (Собственный делитель числа - это положительный множитель этого числа, кроме самого числа. Например, правильные делители из 6 - это 1, 2 и 3.)

Пара дружественных чисел представляет собой последовательность аликвоты в период 2. Это неизвестно , если существует бесконечное множество пар дружественных чисел.

Сходным понятием является понятие совершенного числа , которое представляет собой число, равное сумме собственных делителей, другими словами число, которое образует аликвотную последовательность с периодом 1. Числа, которые являются членами аликвотной последовательности с периодом больше, чем 2 известны как общительные числа .

Первые десять дружеских пар: (220, 284), (1184, 1210), (2620, 2924), (5020, 5564), (6232, 6368), (10744, 10856), (12285, 14595), ( 17296, 18416), (63020, 76084) и (66928, 66992). (последовательность A259180 в OEIS ). (См. Также OEIS :  A002025 и OEIS :  A002046 )

История [ править ]

Пифагорейцы знали о мирных числах , которые приписывали им множество мистических свойств. Общая формула, с помощью которой можно было вывести некоторые из этих чисел, была изобретена около 850 г. иракским математиком Табитом ибн Куррой (826–901). Другими арабскими математиками, изучавшими дружественные числа, были аль-Маджрити (умер в 1007 г.), аль-Багдади (980–1037) и аль-Фариси (1260–1320). Иранский математик Мухаммад Бакир Язди (16 век) открыл пару (9363584, 9437056), хотя это часто связано с Декарта . [1] Большая часть работыВосточные математики в этой области были забыты.

Формула Табита ибн Курры была заново открыта Ферма (1601–1665) и Декартом (1596–1650), которым она иногда приписывается, и расширена Эйлером (1707–1783). В 1972 году он был расширен Борхо . Ферма и Декарт также заново открыли пары дружественных чисел, известные арабским математикам. Эйлер также открыл десятки новых пар. [2] Вторая самая маленькая пара, (1184, 1210), была открыта в 1866 году тогда еще подростком Б. Николо И. Паганини (не путать с композитором и скрипачом), но на нее не обратили внимания более ранние математики. [3]

К 1946 году было известно 390 пар, но с тех пор появление компьютеров позволило открыть многие тысячи пар. Был проведен исчерпывающий поиск, чтобы найти все пары меньше заданной границы, причем эта граница была расширена с 10 8 в 1970 году до 10 10 в 1986 году, 10 11 в 1993 году, 10 17 в 2015 году и до 10 18 в 2016 году.

По состоянию на май 2021 года известно более 1 226 910 693 дружеских пар. [4]

Правила генерации [ править ]

Хотя эти правила действительно генерируют некоторые пары дружественных чисел, известно много других пар, поэтому эти правила ни в коем случае не являются исчерпывающими.

В частности, два приведенных ниже правила создают только четные дружественные пары, поэтому они не представляют интереса для открытой проблемы поиска дружественных пар, взаимно простых с 210 = 2 · 3 · 5 · 7, в то время как более 1000 пар взаимно просты с 30 = 2 · 3 · 5 из них известны [García, Pedersen & te Riele (2003), Sándor & Crstici (2004)].

Теорема Табита ибн Курры [ править ]

Теорема Табита ибн Курры - это метод открытия дружественных чисел, изобретенный в девятом веке арабским математиком Табитом ибн Куррой . [5]

В нем говорится, что если

р = 3 × 2 п - 1 - 1 ,
q = 3 × 2 n - 1 ,
г = 9 × 2 2 п - 1 - 1 ,

где n > 1 - целое число, а p , q и r - простые числа , тогда 2 n × p × q и 2 n × r - пара дружественных чисел. Эта формула дает пары (220, 284) для n = 2 , (17296, 18416) для n = 4 и (9363584, 9437056) для n = 7 , но другие такие пары неизвестны. Числа вида 3 × 2 n - 1известны как числа Табита . Чтобы формула Ибн Курры произвела дружескую пару, два последовательных числа Табита должны быть простыми; это сильно ограничивает возможные значения n .

Чтобы установить теорему, Табит ибн Курра доказал девять лемм, разделенных на две группы. Первые три леммы касаются определения кратных частей натурального числа. Вторая группа лемм более конкретно касается образования совершенных, полных и дефектных чисел. [6]

Правило Эйлера [ править ]

Правило Эйлера является обобщением теоремы Табита ибн Курры. В нем говорится, что если

р = (2 п - м + 1) × 2 м - 1 ,
q = (2 n - m + 1) × 2 n - 1 ,
г = (2 п - м + 1) 2 × 2 м + п - 1 ,

где n > m > 0 - целые числа, а p , q и r - простые числа , тогда 2 n × p × q и 2 n × r - пара дружественных чисел. Теорема Табита ибн Курры соответствует случаю m = n - 1 . Правило Эйлера создает дополнительные дружеские пары для ( m , n ) = (1,8), (29,40)и никто не знает других. Эйлер (1747 и 1750) в целом нашел 58 новых пар, чтобы объединить все существующие к тому времени пары в 61. [2] [7]

Обычные пары [ править ]

Пусть ( т , п ) быть парой дружественных чисел с т < п , и записи т = Gm и п = Gn , где г есть наибольший общий делитель из т и п . Если M и N оба взаимно просты с g и свободны от квадратов, то пара ( m , n ) называется регулярной (последовательность A215491 в OEIS); в противном случае его называют нестандартным или экзотическим . Если ( m , n ) является регулярным, а M и N имеют i и j простых множителей соответственно, то ( m , n ) называется имеющим тип ( i , j ) .

Например, при ( m , n ) = (220, 284) наибольший общий делитель равен 4, поэтому M = 55 и N = 71 . Следовательно, (220, 284) регулярно типа (2, 1) .

Двойные дружеские пары [ править ]

Дружественная пара ( m , n ) является близнецом, если между m и n нет целых чисел, принадлежащих любой другой дружественной паре (последовательность A273259 в OEIS )

Другие результаты [ править ]

Во всех известных случаях числа в паре либо четные, либо нечетные. Неизвестно, существует ли четно-нечетная пара дружественных чисел, но если это так, четное число должно быть либо квадратным, либо удвоенным, а нечетное число должно быть квадратным числом. Однако существуют дружеские числа, в которых у двух членов разные наименьшие простые множители: известно семь таких пар. [8] Кроме того, каждая известная пара имеет по крайней мере один общий простой фактор . Неизвестно, существует ли пара взаимно простых дружественных чисел, но если есть, произведение двух должно быть больше 10 67 . [ необходима цитата ] Кроме того, пара взаимно простых дружественных чисел не может быть сгенерирована ни по формуле Табита (выше), ни по какой-либо подобной формуле.

В 1955 году Пол Эрдеш показал, что плотность дружеских чисел относительно положительных целых чисел равна 0. [9]

В 1968 году Мартин Гарднер заметил, что большинство даже известных в то время дружеских пар имеют суммы, кратные 9, [10], и было получено правило для характеристики исключений (последовательность A291550 в OEIS ). [11]

Согласно гипотезе о сумме дружественных пар, когда количество дружеских пар приближается к бесконечности, процент сумм дружественных пар, делящихся на десять, приближается к 100% (последовательность A291422 в OEIS ).

Ссылки в популярной культуре [ править ]

  • Дружественные числа представлены в романе Ёко Огава «Экономка и профессор » и в японском фильме по нему.
  • Сборник рассказов Пола Остера под названием « Истинные истории американской жизни» содержит рассказ («Математический афродизиак» Алекса Галта), в котором важную роль играют дружеские числа.
  • Дружественные числа кратко представлены в романе Реджинальда Хилла «Странный дом » .
  • Дружные номера упоминаются во французском романе попугая теорема по Денису Гедж .
  • Дружественные числа упоминаются в JRPG Persona 4 Golden .
  • В визуальной новелле Rewrite представлены дружеские числа .
  • Дружественные числа (220, 284) упоминаются в 13-м эпизоде ​​корейской драмы Анданте 2017 года .
  • Дружелюбные номера показаны в греческом фильме «Другой я» (фильм 2016 года) .
  • Дружественные числа обсуждаются в книге Брайана Клеггса « Реальные числа»?
  • Дружественные числа упоминаются в романе Колума МакКанна `` Апейрогон '' 2020 года .

Обобщения [ править ]

Дружественные кортежи [ править ]

Дружная числа удовлетворяют и которые могут быть записаны вместе . Это можно обобщить на более крупные кортежи, скажем , где нам нужно

Например, (1980, 2016, 2556) - это дружная тройка (последовательность A125490 в OEIS ), а (3270960, 3361680, 3461040, 3834000) - дружная четверка (последовательность A036471 в OEIS ).

Дружественные мультимножества определяются аналогично и немного обобщают это (последовательность A259307 в OEIS ).

Общительные числа [ править ]

Основная статья: Общительный номер

Общительные числа - это числа в циклических списках чисел (с длиной больше 2), где каждое число является суммой собственных делителей предыдущего числа. Например, общительные номера 4-го порядка.

Поиск общительных номеров [ править ]

Последовательность Аликвоту может быть представлена в виде ориентированного графа , для заданного целого числа , где обозначает сумму собственных делителей . [12] Циклы в представляют общительным число в пределах интервала . Двумя частными случаями являются циклы, представляющие совершенные числа, и циклы длины два, представляющие дружественные пары .

См. Также [ править ]

  • Обрученные числа (квази-дружеские числа)

Заметки [ править ]

  1. ↑ Костелло, Патрик (1 мая 2002 г.). «Новые дружеские пары типа (2; 2) и типа (3; 2)» (PDF) . Математика вычислений . 72 (241): 489–497. DOI : 10.1090 / S0025-5718-02-01414-X . Проверено 19 апреля 2007 года .
  2. ^ a b Сандифер, К. Эдвард (2007). Как это сделал Эйлер . Математическая ассоциация Америки . С. 49–55. ISBN 978-0-88385-563-8.
  3. ^ Sprugnoli, Renzo (27 сентября 2005). "Introduzione alla matematica: La matematica della scuola media" (PDF) (на итальянском языке). Universita degli Studi di Firenze: Dipartimento di Sistemi e Informatica. п. 59. Архивировано из оригинального (PDF) 13 сентября 2012 года . Проверено 21 августа 2012 года .
  4. ^ Сергей Черных Список дружеских пар
  5. ^ http://mathworld.wolfram.com/ThabitibnKurrahRule.html
  6. ^ Рашед, Рошди (1994). Развитие арабской математики: между арифметикой и алгеброй . 156 . Дордрехт, Бостон, Лондон: Kluwer Academic Publishers. п. 278 279. ISBN 978-0-7923-2565-9.
  7. ↑ См.Видео Уильяма Данэма : Вечер с Леонардом Эйлером - YouTube
  8. ^ http://sech.me/ap/news.html#20160130
  9. ^ Эрдеш, Пол (1955). «О дружных номерах» (PDF) . Publicationes Mathematicae Debrecen . 4 : 108–111.
  10. ^ Гарднер, Мартин (1968). «МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИГРЫ» . Scientific American . 218 (3): 121–127. ISSN 0036-8733 . 
  11. ^ Ли, Элвин (1969). «О делимости на девять сумм четных пар» . Математика вычислений . 23 (107): 545–548. DOI : 10.2307 / 2004382 . ISSN 0025-5718 . 
  12. ^ Роча, Родриго Каэтано; Thatte, Bhalchandra (2015), Распределенное обнаружение цикла в крупномасштабных разреженных графах , Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional (SBPO), doi : 10.13140 / RG.2.1.1233.8640

Ссылки [ править ]

  •  Эта статья включает текст из публикации, которая сейчас находится в общественном достоянии :  Chisholm, Hugh, ed. (1911). « Мировые номера ». Британская энциклопедия (11-е изд.). Издательство Кембриджского университета.
  • Шандор, Йожеф; Crstici, Борислав (2004). Справочник по теории чисел II . Дордрехт: Kluwer Academic. С. 32–36. ISBN 978-1-4020-2546-4. Zbl  1079.11001 .
  • Уэллс, Д. (1987). Словарь любопытных и интересных чисел Penguin . Лондон: Penguin Group . С. 145–147.
  • Вайсштейн, Эрик В. «Дружная пара» . MathWorld .
  • Вайсштейн, Эрик В. «Табит ибн Курра Руле» . MathWorld .
  • Вайсштейн, Эрик В. «Правило Эйлера» . MathWorld .

Внешние ссылки [ править ]

  • М. Гарсия; JM Pedersen; HJJ te Riele (31 июля 2003 г.). «Дружеские пары, обзор» (PDF) . Отчет MAS-R0307 .
  • Грайм, Джеймс. «220 и 284 (Мировые номера)» . Numberphile . Брэди Харан . Архивировано из оригинала на 2017-07-16 . Проверено 2 апреля 2013 .
  • Грайм, Джеймс. «MegaFavNumbers - гипотеза о четных дружественных числах» . YouTube . Проверено 9 июня 2020 .