амеба (математика)

В комплексном анализе , разделе математики , амеба представляет собой набор, связанный с многочленом от одной или нескольких сложных переменных . Амебы имеют приложения в алгебраической геометрии , особенно в тропической геометрии .

определяется на множестве всех n - наборов ненулевых комплексных чисел со значениями в евклидовом пространстве , заданными формулой${\ displaystyle z = (z_ {1}, z_ {2}, \ dots, z_ {n})}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п},}$

Здесь log обозначает натуральный логарифм . Если p ( z ) является многочленом от комплексных переменных, его амеба определяется как образ множества нулей p под Log, поэтому${\ Displaystyle п}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} _ {p}}$

Полезным инструментом при изучении амеб является функция Ронкина . Для p ( z ), многочлена от n комплексных переменных, определяется функция Ронкина

где обозначает Эквивалентно, определяется интегралом${\ Displaystyle х}$${\ Displaystyle х = (х_ {1}, х_ {2}, \ точки, х_ {п}).}$${\ Displaystyle Н_ {р}}$

Функция Ронкина выпукла и аффинна на каждой компоненте связности дополнения амебы . ^[3]${\ Displaystyle р (г)}$

Амеба P ( z ,  w ) = w  - 2 z  - 1

Амеба P ( z ,  w ) = 3 z ²  + 5 zw  + w ³  + 1. Обратите внимание на « вакуоль » в середине амебы.

Амеба P ( z ,  w ) = 1 + z  + z ²  + z ³  + z ² w ³  + 10 zw  + 12 z ² w  + 10 z ² w ²

Амеба P ( z ,  w ) = 50 z ³  + 83 z ² w  + 24 zw ²  + w ³  + 392 z ²  + 414 zw + 50 w ²  - 28 z  + 59 w  - 100

Точки в амебе P ( x ,  y ,  z ) = x  + y  + z  − 1. Обратите внимание, что амеба на самом деле трехмерна, а не поверхность (это не совсем очевидно из изображения).