Аналитическое пространство

В этой статье не процитировать какие - либо источники . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален .
Найти источники: «Аналитическое пространство» - новости · газеты · книги · ученый · JSTOR ( февраль 2015 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Аналитическое пространство является обобщением аналитического многообразия , что позволяет особенность . Аналитическое пространство - это пространство, локально идентичное аналитическому многообразию . Они видны при изучении нескольких сложных переменных , но они также появляются в других контекстах.

Определение [ править ]

Зафиксируем поле k с оценкой. Предположим, что поле является полным, а не дискретным по отношению к этой оценке. Например, это включает R и C относительно их обычных абсолютных значений, а также поля рядов Пюизо относительно их естественных оценок.

Пусть U открытое подмножество К ^п , и пусть F ₁ , ..., е _к некоторая совокупность аналитических функций на U . Обозначим через Z общее множество исчезающих функций f ₁ , ..., f _k , т. Е. Пусть Z = { x | f ₁ ( x ) = ... = f _k ( x ) = 0}. Z - аналитическое многообразие.

Предположим , что структура пучка из U является . Тогда Z имеет структурный пучок , где - идеал, порожденный f ₁ , ..., f _k . Другими словами, структура пучок Z состоит из всех функций на U по модулю возможные способы , которыми они могут отличаться за пределами Z . ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {U}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {Z} = {\ mathcal {O}} _ {U} / {\ mathcal {I}} _ {Z}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {I}} _ {Z}}$

Аналитическое пространство является локально окольцованное пространство таким образом, что вокруг каждой точки х из X , существует открытая окрестность U такая , что изоморфна (как локально окольцованных пространств) к аналитической многообразия с его структурным пучком. Такой изоморфизм называется локальной моделью для X в точке x . ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {O}} _ {X})}$ ${\ displaystyle (U, {\ mathcal {O}} _ {U})}$

Аналитическое отображение или морфизм аналитических пространств морфизм локально окольцованных пространств.

Это определение аналогично определению схемы . Единственное отличие состоит в том, что для схемы локальные модели представляют собой спектры колец , тогда как для аналитического пространства локальные модели являются аналитическими многообразиями. По этой причине основные теории аналитических пространств и схем очень похожи. Кроме того, аналитические многообразия ведут себя гораздо проще, чем произвольные коммутативные кольца (например, аналитические многообразия определены над полями и всегда конечномерны), поэтому аналитические пространства ведут себя очень похоже на схемы конечного типа над полем.

Основные результаты [ править ]

Каждая точка аналитического пространства имеет локальное измерение. Размерность в x находится путем выбора локальной модели в x и определения локальной размерности аналитического многообразия в точке, соответствующей x .

Каждая точка аналитического пространства имеет касательное пространство . Если x - точка X и m _x - идеальный пучок всех функций, обращающихся в нуль в x , то кокасательное пространство в x равно m _x / m _x² . Касательное пространство есть ( m _x / m _x² ) ^* , двойное векторное пространство к кокасательному пространству. Аналитические отображения индуцируют прямые отображения на касательных пространствах и обратные отображения на кокасательных пространствах.

Размерность касательного пространства в точке x называется размерностью вложения в точке x . Глядя на локальную модель, легко увидеть, что размер всегда меньше или равен размеру вложения.

Гладкость [ править ]

Аналитическое пространство называется гладким в точке x, если у него есть локальная модель в точке x, которая является открытым подмножеством k ⁿ для некоторого n . Аналитическое пространство называется гладким, если оно гладко в каждой точке, и в этом случае это аналитическое многообразие . Подмножество точек, в которых аналитическое пространство негладкое, является замкнутым аналитическим подмножеством.

Аналитическое пространство сокращается, если каждая локальная модель пространства определяется радикальным пучком идеалов. Аналитическое пространство X, которое не сокращается, имеет редукцию X _red , сокращенное аналитическое пространство с тем же основным топологическим пространством. Существует канонический морфизм г : X _{красный} → X . Каждый морфизм из X в сокращенное аналитическое пространство пропускается через r .

Аналитическое пространство является нормальным, если каждый стержень структурного пучка является нормальным кольцом (т.е. целозамкнутой областью целостности). В нормальном аналитическом пространстве особое множество имеет коразмерность не менее двух. Когда X является локальным полным пересечением в точке x , тогда X нормально в точке x .

Ненормальные аналитические пространства могут быть сглажены до нормальных пространств каноническим способом. Эта конструкция называется нормализацией . Нормализация N ( X ) аналитического пространства X поставляется с каноническим отображением v: N ( X ) → X . Каждый доминирующий морфизм из нормального аналитического пространства в X пропускается через ν.

Когерентные пучки [ править ]

Аналитическое пространство когерентно, если его структурный пучок является когерентным . Когерентный пучок -модулей называется когерентным аналитическим пучком . Например, в когерентном пространстве локально свободные пучки и пучки идеалов являются когерентными аналитическими пучками. ${\ displaystyle {\ mathcal {O}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}}}$

Аналитические пространства над алгебраически замкнутыми полями когерентны. В сложном случае это известно как теорема Ока о когерентности . Это неверно для неалгебраически замкнутых полей; есть примеры реальных аналитических пространств, которые не являются связными.

Обобщения [ править ]

В некоторых ситуациях концепция аналитического пространства слишком ограничительна. Часто это происходит из-за того, что основное поле имеет дополнительную структуру, которая не фиксируется аналитическими наборами. В этих ситуациях существуют обобщения аналитических пространств, которые обеспечивают большую гибкость в локальных модельных пространствах.

Например, над действительными числами рассмотрим круг x ² + y ² = 1 . Круг аналитическое подмножество аналитического пространства R ² . Но его проекция на ось x представляет собой отрезок [−1, 1] , который не является аналитическим множеством. Следовательно, образ аналитического множества при аналитическом отображении не обязательно является аналитическим множеством. Этого можно избежать, работая с субаналитическими множествами , которые намного менее жесткие, чем аналитические множества, но которые не определены над произвольными полями. Соответствующее обобщение аналитического пространства является субаналитическим пространством. (Однако при мягкой точечной топологии гипотез, оказывается, что субаналитические пространства по существу эквивалентны субаналитическим множествам.)

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

Онищик А.Л. (2001) [1994], "Аналитическое пространство" , Энциклопедия математики , EMS Press