В теоретической физике , масштабирование размеров , или просто измерение , локальный оператор в квантовой теории поля характеризует перемасштабирование свойства оператора под пространственно - временные растяжениями . Если квантовая теория поля является масштабно инвариантна , размерами масштабирования операторов фиксированных чисел, в противном случае они являются функциями в зависимости от шкалы расстояний.
Масштабно-инвариантная квантовая теория поля
В масштабно-инвариантной квантовой теории поля по определению каждый оператор O приобретает при растяжении фактор , где это число называется масштабирование размерность O . Это, в частности, означает, что двухточечная корреляционная функция зависит от расстояния как . В более общем плане корреляционные функции нескольких локальных операторов должны зависеть от расстояний таким образом, чтобы
Большинство масштабно-инвариантных теорий также конформно-инвариантны , что накладывает дополнительные ограничения на корреляционные функции локальных операторов. [1]
Теории свободного поля
Свободные теории - это простейшие масштабно-инвариантные квантовые теории поля. В свободных теориях проводится различие между элементарными операторами, которые представляют собой поля, входящие в лагранжиан , и составными операторами, которые являются продуктами элементарных. Масштабирующая размерность элементарного оператора O определяется анализом размерностей из лагранжиана (в четырех измерениях пространства-времени она равна 1 для элементарных бозонных полей, включая векторные потенциалы, 3/2 для элементарных фермионных полей и т. Д.). Это масштабируемое измерение называется классическим измерением (также используются термины каноническое измерение и инженерное измерение ). Составной оператор, полученный произведением двух операторов размерности а также новый оператор, размерность которого равна сумме .
Когда взаимодействия включены, масштабируемый размер получает поправку, называемую аномальным размером (см. Ниже).
Взаимодействующие теории поля
Есть много масштабно-инвариантных квантовых теорий поля, которые не являются свободными теориями; они называются взаимодействующими. Масштабные размерности операторов в таких теориях не могут быть считаны из лагранжиана ; они также не обязательно (полу) целые числа. Например, в масштабной (и конформной) теории инвариантов, описывающей критические точки двумерной модели Изинга, существует операторразмерность которого составляет 1/8. [2] [1]
Операторное умножение тонко во взаимодействующих теориях по сравнению со свободными теориями. Расширение оператора продукт двух операторов с размерами а также обычно дает не единственный оператор, а бесконечно много операторов, и их размерность обычно не будет равна . В приведенном выше примере двумерной модели Изинга операторное произведение дает оператору размерность которого равна 1, а не вдвое больше размера . [2] [1]
Немасштабная инвариантная квантовая теория поля
Существует много квантовых теорий поля, которые, хотя и не являются точными масштабно-инвариантными, остаются приблизительно масштабно-инвариантными на большом диапазоне расстояний. Такие квантовые теории поля могут быть получены путем добавления к теориям свободного поля членов взаимодействия с малыми безразмерными связями. Например, в четырех измерениях пространства-времени можно добавить скалярные связи четвертой степени, связи Юкавы или калибровочные связи. Масштабные размерности операторов в таких теориях схематично можно выразить как, где - это размерность, когда все связи установлены на ноль (т. е. классическая размерность), а называется аномальным размером и выражается в виде степенного ряда в связях, которые вместе обозначаются как. [3] Такое разделение масштабных измерений на классическую и аномальную части имеет смысл только тогда, когда связи небольшие, так что это небольшая поправка.
Как правило, из-за квантово-механических эффектов связи не остаются постоянными, а изменяются (на жаргоне квантовой теории поля , бегут ) с масштабом расстояний в соответствии с их бета-функцией . Следовательно, аномальная размерностьтакже зависит от масштаба расстояний в таких теориях. В частности, корреляционные функции локальных операторов больше не являются простыми степенями, а имеют более сложную зависимость от расстояний, как правило, с логарифмическими поправками.
Может случиться так, что эволюция муфт приведет к значению где бета-функция равна нулю. Затем на больших расстояниях теория становится масштабно-инвариантной , и аномальные размеры перестают работать. Такое поведение называется инфракрасной фиксированной точкой .
В очень особых случаях это может произойти, когда связи и аномальные размеры вообще не работают, так что теория масштабно инвариантна на всех расстояниях и для любого значения связи. Например, это происходит в суперсимметричной N = 4 теории Янга-Миллса .
Рекомендации
- ^ a b c Филипп Ди Франческо; Пьер Матье; Дэвид Сенешаль (1997). Конформная теория поля . Нью-Йорк: Спрингер.
- ^ a b В номенклатуре конформной теории поля эта теория является минимальной моделью который содержит операторы а также .
- ^ Пескин, Майкл Э; Даниэль В. Шредер (1995). Введение в квантовую теорию поля . Чтение [и др.]: Эддисон-Уэсли.