ожерелье Антуана
В математике ожерелье Антуана представляет собой топологическое вложение множества Кантора в трехмерное евклидово пространство, дополнение которого не является односвязным . Это также служит контрпримером к утверждению, что все пространства Кантора эмбиентно гомеоморфны друг другу. Его открыл Луи Антуан ( 1921 ).
Ожерелье Антуана строится итеративно следующим образом: Начните с полнотора A 0 (итерация 0). Затем постройте «ожерелье» из меньших связанных торов, лежащих внутри A 0 . Это ожерелье A 1 (итерация 1). Каждый тор, составляющий A 1 , можно заменить другим ожерельем меньшего размера, как это было сделано для A 0 . Это дает A 2 (итерация 2).
Этот процесс можно повторять счетно бесконечное количество раз, чтобы создать An для всех n . Ожерелье Антуана A определяется как пересечение всех итераций.
Поскольку полнотории выбираются так, чтобы они становились сколь угодно малыми по мере увеличения числа итераций, компоненты связности A должны быть одиночными точками. Тогда легко проверить, что A замкнуто , плотно в себе и вполне несвязно , имея мощность континуума . Этого достаточно, чтобы заключить, что как абстрактное метрическое пространство А гомеоморфно канторовскому множеству.
Однако, как подмножество евклидова пространства, A не эмбиентно гомеоморфно стандартному канторовскому множеству C , вложенному в R3 на отрезке прямой . То есть не существует бинепрерывного отображения из R 3 → R 3 , переводящего C на A . Чтобы показать это, предположим, что существует такое отображение h : R 3 → R 3 , и рассмотрим петлю k , зацепленную за ожерелье. k нельзя непрерывно сжимать в точку, не касаясь Aпотому что две петли не могут быть непрерывно разъединены. Теперь рассмотрим любую петлю j, не пересекающуюся с C . j можно сжать до точки, не касаясь C , потому что мы можем просто перемещать его через промежутки. Однако петля g = h −1 ( k ) — это петля, которую нельзя стянуть в точку, не касаясь C , что противоречит предыдущему утверждению. Следовательно, h не может существовать.
На самом деле не существует гомеоморфизма R 3 , переводящего A в множество хаусдорфовой размерности < 1, так как дополнение такого множества должно быть односвязным.
