Проблема Архимеда крупного рогатого скота (или проблема bovinum или проблема Архимедиса ) - это проблема диофантова анализа , исследования полиномиальных уравнений с целочисленными решениями. Задача, приписываемая Архимеду , включает в себя вычисление количества крупного рогатого скота в стаде бога солнца с заданным набором ограничений. Проблема была обнаружена Готтхольдом Эфраимом Лессингом в греческой рукописи, содержащей стихотворение из сорока четырех строк, в Библиотеке Герцога Августа в Вольфенбюттеле , Германия, в 1773 году [1].
Проблема оставалась нерешенной в течение ряда лет, отчасти из-за сложности вычисления огромных чисел, задействованных в решении. Общее решение было найдено в 1880 году Карлом Эрнстом Августом Амтором (1845–1916), директором Gymnasium zum Heiligen Kreuz ( Гимназия Святого Креста) в Дрездене, Германия. [2] [3] [4] Используя логарифмические таблицы , он вычислил первые цифры наименьшего решения, показывая, что это примернокрупного рогатого скота, гораздо больше, чем может поместиться в наблюдаемой Вселенной . [5] Десятичная форма слишком длинная, чтобы люди могли ее точно вычислить, но компьютерные арифметические пакеты с множественной точностью могут записывать ее явно.
История
В 1769 году Готтхольд Эфраим Лессинг был назначен библиотекарем библиотеки Герцога Августа в Вольфенбюттеле , Германия, которая содержала множество греческих и латинских рукописей. [6] Несколько лет спустя Лессинг опубликовал переводы некоторых рукописей с комментариями. Среди них было греческое стихотворение из сорока четырех строк, содержащее арифметическую задачу, которая просит читателя найти количество скота в стаде бога солнца . Теперь это обычно приписывают Архимеду. [7] [8]
Проблема
Проблема, из сокращенных немецких переводов, опубликованных Георгом Нессельманном в 1842 году и Крумбигелем в 1880 году, гласит:
Вычисли, о друг, количество скота Солнца, который когда-то пасся на равнинах Сицилии, разделенных по цвету на четыре стада: одно молочно-белое, одно черное, одно пятнистое и одно желтое. Количество быков больше, чем количество коров, и отношения между ними следующие:
- Белые быки черные быки + желтые быки,
- Черные быки пятнистые быки + желтые быки,
- Пятнистые быки белые быки + желтые быки,
- Белые коровы черное стадо
- Черные коровы пестрое стадо,
- Пятнистые коровы желтое стадо
- Желтые коровы белое стадо.
Если ты можешь дать, о друг, количество каждого вида быков и коров, ты не новичок в численности, но не можешь считаться высококвалифицированным. Однако рассмотрим следующие дополнительные отношения между быками Солнца:
- Белые быки + черные быки = квадратное число ,
- Пятнистые быки + желтые быки = треугольное число .
Если ты подсчитал и их, о друг, и нашел общее количество скота, то ликуй себя как победитель, ибо ты оказался самым искусным в числах. [9]
Решение
Первую часть проблемы легко решить, составив систему уравнений . Если количество белых, черных, пятнистых и желтых быков записано как а также , а количество белых, черных, пятнистых и желтых коров записывается как а также , проблема в том, чтобы найти решение:
которая представляет собой систему из семи уравнений с восемью неизвестными. Он неопределенен и имеет бесконечно много решений. Наименьшие положительные целые числа, удовлетворяющие семи уравнениям:
что составляет в общей сложности 50 389 082 голов крупного рогатого скота [9], а другие решения являются их целыми кратными. Обратите внимание, что первые четыре числа кратны 4657, значение, которое будет повторяться ниже.
Общее решение второй части этой проблемы было впервые обнаружено А. Amthor [10] в 1880. следующая версия этого была описана HW Ленстры , [5] на основе уравнения Пелля : решение приведенного выше для первой части проблемы следует умножить на
где
и j - любое положительное целое число. Эквивалентно возведение в квадрат w приводит к
где { u , v } - фундаментальные решения уравнения Пелла
Размер наименьшего стада, которое могло бы удовлетворить как первую, так и вторую части задачи, тогда определяется выражением j = 1 и составляет примерно(впервые решено Амтором). Современные компьютеры могут легко распечатать все цифры ответа. Впервые это было сделано в Университете Ватерлоо в 1965 году Хью К. Уильямсом , немецким гражданином РА, и Чарльзом Робертом Зарнке. Они использовали комбинацию компьютеров IBM 7040 и IBM 1620 . [11]
Уравнение Пелла
Ограничения второй части задачи очевидны, и фактическое уравнение Пелла, которое необходимо решить, может быть легко дано. Во-первых, он спрашивает, что B + W должно быть квадратом , или используя значения, указанные выше,
таким образом, следует положить k = (3) (11) (29) (4657) q 2 для некоторого целого числа q . Это решает первое условие. Во втором случае требуется, чтобы D + Y было треугольным числом ,
Решая для t ,
Подстановка значения D + Y и k и нахождение такого значения q 2 , при котором дискриминант этой квадратичной функции является точным квадратом p 2, влечет за собой решение уравнения Пелла ,
Подход Амтора, рассмотренный в предыдущем разделе, заключался в том, чтобы найти наименьшее v, такое, чтобы оно делилось целым числом на 2 · 4657. Фундаментальное решение этого уравнения состоит из более чем ста тысяч знаков.
Рекомендации
- ^ Лессинг, Готтхольд Эфраим (1773). Zur Geschichte und Litteratur: aus den Schätzen der Herzoglichen Bibliothek zu Wolfenbüttel, Zweyter Beytrag [ Об истории и литературе: из сокровищ герцогской библиотеки в Вольфенбюттеле, вторая статья ] (на немецком и греческом языках). Брауншвейг (Германия): Fürstlicher Waysenhaus. С. 421–425.Из стр. 422–423: " Denn, wie gesagt, das Problem soll, wenn es nicht von dem Archimedes selbst abgefaßt worden, doch von ihm für werth erkannt seyn, daß er es den Eratosthenes geschicket hätte, um estern den Me. Auflösung vorzulegen. Dieses besagt die Aufschrift; ... "(Ибо, как сказано [выше], проблема [греч .: ΠΡΟΒΛΗΜΑ] должна, если бы она не была составлена самим Архимедом [греч .: Α'ΡΧΙΜΗΔΗΣ], все же была признанный им [настолько] достойным, что он послал бы его Эратосфену [греч .: ΕΡΑΤΟΣΘΕΝΗΝ], чтобы представить его геодезисту в Александрии для решения. В заголовке сказано следующее: ...) См. страницы 423–424 ( на греческом).
- ^ Krumbiegel, B .; Амтор, А. (1880). "Das Problema bovinum des Archimedes" [Проблема Архимеда о рогатом скоте]. Zeitschrift für Mathematik und Physik: Historisch-literarische Abtheilung [Журнал математики и физики: Историко-литературный раздел] (на немецком, греческом и латинском языках). 25 : 121–136, 153–171.
- ^ Биографические сведения об Августе Амторе:
- Полное имя Амтора появляется в: (Школьная администрация) (1876 г.). Programm des Gymnasiums zum Heiligen Kreuz в Дрездене [ Программа гимназии Святого Креста в Дрездене ] (на немецком языке). Дрезден, Германия: K. Blochmann und Sohn. п. 31.
- Краткая биография Амтора содержится в: Певица, Исадор; де Леон, Эдвард Уоррен, ред. (1910). «Амтор, Август (доктор философии)». Международная страховая энциклопедия . 1 . Нью-Йорк, Нью-Йорк, США: Американская энциклопедическая библиотечная ассоциация. п. 18.
- ^ Проблема была решена независимо в 1895 году Адамом Генри Беллом, геодезистом и инженером-строителем из Хиллсборо, штат Иллинойс, США. Видеть:
- Белл, AH (1895). «О знаменитой« проблеме скота »Архимеда». Математический журнал . 2 : 163–164.
- Белл, AH (1895). "Проблема крупного рогатого скота" Архимеда 251 г. до н.э. " . Американский математический ежемесячник . 2 : 140–141.
- Полное имя Белла появляется в: Бейтман, Ньютон; Селби, Пол, ред. (1918). «Рыба, Альберт Э.». Историческая энциклопедия Иллинойса . 2 . Чикаго, Иллинойс, США: Munsell Publishing Co., стр. 1049–1050.; см. стр. 1050.
- Профессии Белла представлены: Мерриман, Мэнсфилд (ноябрь 1905 г.). «Скотоводческая проблема Архимеда» . Ежемесячный научно-популярный журнал . 67 : 660–665.; см. стр. 664.
- ^ а б Ленстра, HW, младший (2002), «Решение уравнения Пелла» (PDF) , Уведомления Американского математического общества , 49 (2): 182–192, MR 1875156
- ^ Роррес, Крис. «Проблема архимеда о скоте (Постановление)» . Архивировано из оригинала 24 января 2007 года . Проверено 24 января 2007 .
- ^ Фрейзер, PM (1972). Птолемеев Александрия . Издательство Оксфордского университета .
- ^ Вейль, А. (1972). Теория чисел, исторический подход . Birkhäuser .
- ^ а б Мерриман, Мэнсфилд (1905). "Проблема Архимеда о рогатом скоте". Ежемесячный научно-популярный журнал . 67 : 660–665.
- ^ Б. Krumbiegel, А. Amthor, Das Problema Bovinum де Архимеда , Historisch-Литерарише абтайлюнг дер Zeitschrift für Mathematik унд Physik 25 (1880) 121-136, 153-171.
- ^ Гарольд Алкема и Кеннет Маклафлин (2007). «Разделение вычислений в Университете Ватерлоо» . Университет Ватерлоо . Архивировано 4 апреля 2011 года . Проверено 5 апреля 2011 года . (включает изображения)
дальнейшее чтение
- Белл, AH (1895), "В "крупного рогатого скота Проблема" По Archimedies 251 г. до н.э.",. Американский Математический Месячный , Математическая ассоциация Америки, 2 (5): 140-141, DOI : 10,2307 / 2968125 , JSTOR 2968125
- Дёрри, Генрих (1965). « Проблема Архимеда Бовинум ». 100 великих задач элементарной математики . Dover Publications . С. 3–7.
- Уильямс, ХК; Немецкий, РА; Зарнке, CR (1965). «Решение проблемы Архимеда со скотом» . Математика вычислений . Американское математическое общество . 19 (92): 671–674. DOI : 10.2307 / 2003954 . JSTOR 2003954 .
- Варди, И. (1998). «Проблема архимеда о скоте». Американский математический ежемесячник . Математическая ассоциация Америки. 105 (4): 305–319. DOI : 10.2307 / 2589706 .
- Бенсон, Г. (2014). «Поэт Архимед: общие инновации и математическая фантазия в проблеме крупного рогатого скота». Аретуза . Издательство Университета Джона Хопкинса . 47 (2): 169–196. DOI : 10,1353 / are.2014.0008 .
Внешние ссылки
- Последовательность OEIS A096151 (десятичное разложение 206545-значного целочисленного решения проблемы Архимеда крупного рогатого скота) - полное десятичное решение второй проблемы
- Алекс Беллос . «Святая корова - большое число» (видео) . YouTube . Брэди Харан . Проверено 25 ноября 2019 года .