Последовательность чисел с постоянной разницей между последовательными числами
Визуальное доказательство вывода формул арифметической прогрессии - выцветшие блоки представляют собой повернутую копию арифметической прогрессии
В математике , арифметическая прогрессия (AP) или арифметическая последовательность представляет собой последовательность из чисел таким образом, что разность между последовательными условиями является постоянной. Например, последовательность 5, 7, 9, 11, 13, 15,. . . представляет собой арифметическую прогрессию с общей разностью 2.
Если начальный член арифметической прогрессии равен, а общая разность последовательных членов равна d , то n- й член последовательности ( ) определяется как:
,
и вообще
.
Конечная часть арифметической прогрессии называется конечной арифметической прогрессией, а иногда просто арифметической прогрессией. Сумма конечной арифметической прогрессии называется арифметической серией .
Вычисление суммы 2 + 5 + 8 + 11 + 14. Когда последовательность переворачивается и добавляется к самой себе член за членом, результирующая последовательность имеет одно повторяющееся значение в нем, равное сумме первого и последнего чисел (2 + 14 = 16). Таким образом, 16 × 5 = 80 - это удвоенная сумма.
Сумма членов конечной арифметической прогрессии называется арифметической серией . Например, рассмотрим сумму:
Эту сумму можно быстро найти, взяв число n добавляемых членов (здесь 5), умножив на сумму первого и последнего числа в последовательности (здесь 2 + 14 = 16) и разделив на 2:
В приведенном выше случае это дает уравнение:
Эта формула работает для любых действительных чисел и . Например:
Продукт членов конечной арифметической прогрессии с начальным элементом 1 , общие различия d и п элементы в общей сложности определяются в закрытом выражении
где обозначает гамма-функцию . Формула недействительна, если она отрицательна или равна нулю.
Это обобщение того факта, что произведение прогрессии дается факториалом, а произведение
Стандартное отклонение любой арифметической прогрессии можно рассчитать как
где - количество терминов в прогрессии, а - общая разница между терминами. Формула очень похожа на стандартное отклонение дискретного равномерного распределения .
Пересечение любых двух бесконечных дважды арифметических прогрессий либо пусто или другой арифметической прогрессии, которая может быть найдена с помощью теоремы китайского остатка . Если каждая пара прогрессий в семействе дважды бесконечных арифметических прогрессий имеет непустое пересечение, то существует общее для всех них число; то есть бесконечные арифметические прогрессии образуют семью Хелли . [1] Однако пересечение бесконечного множества бесконечных арифметических прогрессий может быть одним числом, а не бесконечной прогрессией.
Согласно анекдоту с сомнительной надежностью [2] молодой Карл Фридрих Гаусс в начальной школе заново изобрел этот метод для вычисления суммы целых чисел от 1 до 100, умножаяп/2пары чисел в сумме по значениям каждой пары n + 1 . Однако, несмотря на правдивость этой истории, Гаусс не был первым, кто открыл эту формулу, и некоторые считают вероятным, что ее происхождение восходит к пифагорейцам в V веке до нашей эры. [3] Подобные правила были известны в древности Архимеду , Гипсиклу и Диофанту ; [4] в Китае - Чжан Цюцзянь ; в Индии - Арьябхата , Брахмагупта и Бхаскара II ; [5] и в средневековой Европе Алкуину , [6] Дикуилу, [7] Фибоначчи , [8] Сакробоско и Герсонидес . [9]
См. Также [ править ]
Геометрическая прогрессия
Гармоническая прогрессия
Треугольное число
Арифметико-геометрическая последовательность
Неравенство средних арифметических и геометрических
Простые числа в арифметической прогрессии
Линейное разностное уравнение
Обобщенная арифметическая прогрессия , набор целых чисел, построенный как арифметическая прогрессия, но допускающий несколько возможных различий
Треугольники Герона со сторонами в арифметической прогрессии
Задачи, связанные с арифметическими прогрессиями
Утональность
Ссылки [ править ]
^ Duchet, Пьер (1995), "Гиперграфы", в Грэхем, RL; Grötschel, M .; Ловас, Л. (ред.), Справочник по комбинаторике, Vol. 1, 2 , Амстердам: Elsevier, стр. 381–432, MR 1373663. См., В частности, раздел 2.5 «Свойство Хелли», стр. 393–394 .
^ Хейс, Брайан (2006). «День расплаты Гаусса» . Американский ученый . 94 (3): 200. DOI : 10,1511 / 2006.59.200 . Архивировано 12 января 2012 года . Дата обращения 16 октября 2020 .
^ Høyrup, J. «Неизвестное наследие»: след забытого места математической сложности. Arch. Hist. Exact Sci. 62, 613–654 (2008). https://doi.org/10.1007/s00407-008-0025-y
^ Тропфке, Йоханнес (1924). Анализ, аналитическая геометрия . Вальтер де Грюйтер. С. 3–15. ISBN 978-3-11-108062-8.
^ Tropfke, Johannes (1979). Арифметика и алгебра . Вальтер де Грюйтер. С. 344–354. ISBN 978-3-11-004893-3.
^ Проблемы, чтобы обострить молодых , Джон Хэдли и Дэвид Сингмастер, The Mathematical Gazette , 76 , # 475 (март 1992), стр. 102–126.
^ Росс, Х.Э. и Кнотт, Б.И. (2019) Дикуил (9 век) о треугольных и квадратных числах, Британский журнал истории математики , 34: 2, 79-94, https://doi.org/10.1080/26375451.2019. 1598687
^ Сиглер, Лоуренс Э. (пер.) (2002). Liber Abaci Фибоначчи . Springer-Verlag. стр. 259 -260. ISBN 0-387-95419-8.
^ Кац, Виктор Дж. (Редактировать) (2016). Справочник по математике средневековой Европы и Северной Африки . Издательство Принстонского университета. С. 91, 257. ISBN 9780691156859.
Внешние ссылки [ править ]
«Арифметические серии» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
Вайсштейн, Эрик В. «Арифметическая прогрессия» . MathWorld .
Вайсштейн, Эрик В. «Арифметический ряд» . MathWorld .