Асимптотическое расширение
В математике асимптотическое расширение , асимптотический ряд или разложение Пуанкаре (после Анри Пуанкаре ) — это формальный ряд функций , обладающий тем свойством, что усечение ряда после конечного числа членов обеспечивает приближение к заданной функции в качестве аргумента функции стремится к определенной, часто бесконечной, точке. Исследования Дингла (1973) показали, что расходящаяся часть асимптотического разложения имеет латентный смысл, т. е. содержит информацию о точном значении разложенной функции.
Наиболее распространенным типом асимптотического разложения является ряд по степеням как в положительных, так и в отрицательных степенях. Методы создания таких разложений включают формулу суммирования Эйлера-Маклорена и интегральные преобразования, такие как преобразования Лапласа и Меллина . Повторное интегрирование по частям часто приводит к асимптотическому разложению.
Поскольку сходящийся ряд Тейлора также соответствует определению асимптотического расширения, фраза «асимптотический ряд» обычно подразумевает несходящийся ряд. Несмотря на несходимость, асимптотическое разложение полезно, когда оно усечено до конечного числа членов. Аппроксимация может обеспечить преимущества, поскольку она более податлива с математической точки зрения, чем расширяемая функция, или за счет увеличения скорости вычисления расширенной функции. Как правило, наилучшее приближение дается, когда ряд усекается по наименьшему члену. Этот способ оптимального усечения асимптотического расширения известен как суперасимптотика . [1] В этом случае ошибка обычно имеет вид ~ exp(− c /ε)где ε — параметр разложения. Таким образом, ошибка находится за пределами всех порядков в параметре расширения. Можно улучшить суперасимптотическую ошибку, например, используя методы пересуммирования, такие как борелевское пересуммирование к расходящемуся хвосту. Такие методы часто называют гиперасимптотическими приближениями .
Сначала мы определяем асимптотическую шкалу, а затем даем формальное определение асимптотического разложения.
Если — последовательность непрерывных функций в некоторой области, и если L — предельная точка области, то последовательность образует асимптотическую шкалу , если для каждого n
( L можно считать бесконечностью.) Другими словами, последовательность функций является асимптотическим масштабом, если каждая функция в последовательности растет строго медленнее (в пределе ), чем предыдущая функция.
