лемма Ауэрбаха

В математике лемма Ауэрбаха , названная в честь Германа Ауэрбаха , представляет собой теорему функционального анализа , которая утверждает, что определенное свойство евклидовых пространств выполняется для общих конечномерных нормированных векторных пространств .

Пусть ( V , ||·||) — n - мерное нормированное векторное пространство. Тогда существует базис { e1 ,..., _en } _в V такой, что

Если V является пространством со скалярным произведением (или даже бесконечномерным гильбертовым пространством ), то этот результат очевиден, поскольку в качестве { e _i } можно взять любой ортонормированный базис V (тогда дуальный базис равен {( e _i |·)}) .

Эквивалентным утверждением является следующее: любое центрально-симметричное выпуклое тело в имеет линейный образ, содержащий единичный кросс-многогранник (единичный шар для нормы) и содержащийся в единичном кубе (единичный шар для нормы). ${\ Displaystyle \ mathbf {R} ^ {п}}$ ${\ Displaystyle \ ell _ {1} ^ {п}}$ ${\ displaystyle \ ell _ {\ infty} ^ {n}}$

Пусть V — n - мерное подпространство нормированного векторного пространства ( X , ||·||). Тогда существует проекция P множества X на V такая, что || П || ≤ п .

Пусть { e1 , ..., en _} базис Ауэрбаха в V и { _e1 ,..., ^en^{} соответствующий}дуальный базис. По теореме Хана–Банаха каждое e ⁱ продолжается до f ⁱ ∈ X * такое, что