Теорема Бертрана

В классической механике теорема Бертрана утверждает, что среди потенциалов центральной силы со связанными орбитами существует только два типа скалярных потенциалов центральной силы (радиальных) со свойством, что все связанные орбиты также являются замкнутыми орбитами . ^{[1] [2]}

Первый такой потенциал представляет собой центральную силу обратных квадратов, такую ​​как гравитационный или электростатический потенциал :

Все центральные силы притяжения могут создавать круговые орбиты, которые являются естественно замкнутыми орбитами . Единственное требование состоит в том, чтобы центральная сила точно равнялась центростремительной силе , которая определяет требуемую угловую скорость для данного кругового радиуса. Нецентральные силы (т. е. те, которые зависят как от угловых переменных, так и от радиуса) здесь игнорируются, поскольку они вообще не создают круговых орбит.

Уравнение движения радиуса r частицы массы m , движущейся в центральном потенциале V ( r ), задается уравнениями движения

где , а угловой момент L = mr ² ω сохраняется. Для иллюстрации первый член слева равен нулю для круговых орбит, а приложенная внутрь сила равна требуемой центростремительной силе mr ω ² , как и ожидалось.${\ Displaystyle \ омега \ экв {\ гидроразрыва {д \ тета} {дт}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {dV} {dr}}}$

Это уравнение становится квазилинейным при замене переменных и умножении обеих частей на (см. Также уравнение Бине ):${\ Displaystyle и \ экв {\ гидроразрыва {1} {г}}}$${\ displaystyle {\ frac {г-н ^ {2}} {L ^ {2}}}}$

Джозеф Бертран

Небольшие изменения мощности силы, зависящей от расстояния, приведут к существенно разным орбитам.