Уравнение Бине

Часть серии по
Классическая механика
${\ displaystyle {\ textbf {F}} = {\ frac {d} {dt}} (м {\ textbf {v}})}$ Второй закон движения
История Лента новостей Учебники
ветви Применяемый Небесный Континуум Динамика Кинематика Кинетика Статика Статистическая
Основы Ускорение Угловой момент Пара Принцип Даламбера Энергия кинетический потенциал Сила Точка зрения Инерциальная система отсчета Импульс Инерция  / момент инерции Масса Механическая мощность Механическая работа Момент Импульс Космос Скорость Время Крутящий момент Скорость Виртуальная работа
Составы Законы движения Ньютона Аналитическая механика Лагранжева механика Гамильтонова механика Рутианская механика Уравнение Гамильтона – Якоби Уравнение движения Аппеля Механика Купмана – фон Неймана
Основные темы Коэффициент демпфирования Смещение Уравнения движения Законы движения Эйлера Фиктивная сила Трение Гармонический осциллятор Инерциальная  / неинерциальная система отсчета Механика движения плоских частиц Движение  ( линейное ) Закон всемирного тяготения Ньютона Законы движения Ньютона Относительная скорость Жесткое тело динамика Уравнения Эйлера Простые гармонические колебания Вибрация
Вращение Круговое движение Вращающаяся опорная рамка Центростремительная сила Центробежная сила реактивный Сила Кориолиса Маятник Тангенциальная скорость Скорость вращения Угловое ускорение  / перемещение  / частота  / скорость
Ученые Кеплер Галилео Гюйгенс Ньютон Хоррокс Галлей Даниэль Бернулли Иоганн Бернулли Эйлер д'Аламбер Clairaut Лагранж Лаплас Гамильтон Пуассон Коши Раут Liouville Appell Гиббс Купман фон Нейман
Категории ► Классическая механика
v т е

Уравнение Бине , выведенное Жаком Филиппом Мари Бине , дает форму центральной силы, заданной формой орбитального движения в плоских полярных координатах . Уравнение также можно использовать для получения формы орбиты для данного закона силы, но это обычно включает решение нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка . Однозначное решение невозможно в случае кругового движения вокруг центра силы.

Уравнение [ править ]

Форму орбиты часто удобно описывать в терминах относительного расстояния как функции угла . Для уравнения Бине форма орбиты вместо этого более кратко описывается обратной величиной как функцией от . Определите удельный угловой момент как где - угловой момент, а - масса. Уравнение Бине, выведенное в следующем разделе, дает силу в терминах функции :${\ displaystyle r}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle u = 1 / r}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle h = L / m}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle m}$${\ Displaystyle и (\ тета)}$

${\ displaystyle F ({u} ^ {- 1}) = - mh ^ {2} u ^ {2} \ left ({\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} u} {\ mathrm {d} \ theta ^ {2}}} + u \ right).}$

Вывод [ править ]

Второй закон Ньютона для чисто центральной силы:

${\displaystyle F(r)=m({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}).}$

Для сохранения углового момента необходимо, чтобы

${\displaystyle r^{2}{\dot {\theta }}=h={\text{constant}}.}$

Производные по времени можно переписать как производные по углу:${\displaystyle r}$${\displaystyle u=1/r}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} \theta }}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {1}{r}}\right){\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} \theta }}=-{\frac {\dot {r}}{r^{2}{\dot {\theta }}}}=-{\frac {\dot {r}}{h}}\\&{\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}=-{\frac {1}{h}}{\frac {\mathrm {d} {\dot {r}}}{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} \theta }}=-{\frac {\ddot {r}}{h{\dot {\theta }}}}=-{\frac {\ddot {r}}{h^{2}u^{2}}}\\\end{aligned}}}$

Объединив все вышеперечисленное, мы приходим к

${\displaystyle F=m({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2})=-m\left(h^{2}u^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+h^{2}u^{3}\right)=-mh^{2}u^{2}\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u\right)}$

Примеры [ править ]

Проблема Кеплера [ править ]

Классический [ править ]

Традиционная задача Кеплера о вычислении орбиты по закону обратных квадратов может быть прочитана из уравнения Бине как решение дифференциального уравнения

${\displaystyle -ku^{2}=-mh^{2}u^{2}\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u\right)}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u={\frac {k}{mh^{2}}}\equiv {\text{constant}}>0.}$

Если угол измеряется от перицентра , то общее решение для орбиты, выраженное в (обратных) полярных координатах:${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle lu=1+\varepsilon \cos \theta .}$

Выше полярного уравнения описывает конические сечения , с в полу-Латусе прямой кишки (равный ) и эксцентриситет орбиты .${\displaystyle l}$${\displaystyle h^{2}/\mu =h^{2}m/k}$${\displaystyle \varepsilon }$

Релятивистский [ править ]

Релятивистское уравнение, полученное для координат Шварцшильда, имеет вид ^[1]

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u={\frac {r_{s}c^{2}}{2h^{2}}}+{\frac {3r_{s}}{2}}u^{2}}$

где это скорость света , и это радиус Шварцшильда . А для метрики Рейсснера – Нордстрёма получим${\displaystyle c}$${\displaystyle r_{s}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u={\frac {r_{s}c^{2}}{2h^{2}}}+{\frac {3r_{s}}{2}}u^{2}-{\frac {GQ^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{4}}}\left({\frac {c^{2}}{h^{2}}}u+2u^{3}\right)}$

где есть электрический заряд , и является вакуумной диэлектрической проницаемостью .${\displaystyle Q}$${\displaystyle \varepsilon _{0}}$

Обратная задача Кеплера [ править ]

Рассмотрим обратную задачу Кеплера. Какой закон силы создает некруглую эллиптическую орбиту (или, в более общем смысле, некруглое коническое сечение ) вокруг фокуса эллипса ?

Дважды дифференцируя указанное выше полярное уравнение для эллипса, получаем

${\displaystyle l\,{\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}=-\varepsilon \cos \theta .}$

Следовательно, закон силы

${\displaystyle F=-mh^{2}u^{2}\left({\frac {-\varepsilon \cos \theta }{l}}+{\frac {1+\varepsilon \cos \theta }{l}}\right)=-{\frac {mh^{2}u^{2}}{l}}=-{\frac {mh^{2}}{lr^{2}}},}$

который является ожидаемым законом обратных квадратов. Сопоставление орбиты с физическими величинами, такими как или воспроизведение закона всемирного тяготения Ньютона или закона Кулона , соответственно.${\displaystyle h^{2}/l=\mu }$${\displaystyle GM}$${\displaystyle k_{e}q_{1}q_{2}/m}$

Эффективная сила для координат Шварцшильда ^[2]

${\displaystyle F=-GMmu^{2}\left(1+3\left({\frac {hu}{c}}\right)^{2}\right)=-{\frac {GMm}{r^{2}}}\left(1+3\left({\frac {h}{rc}}\right)^{2}\right)}$.

где второй член представляет собой силу обратной четвертичной степени, соответствующую квадрупольным эффектам, таким как угловой сдвиг перицентра (его также можно получить с помощью запаздывающих потенциалов ^[3] ).

В параметризованном постньютоновском формализме получим

${\displaystyle F=-{\frac {GMm}{r^{2}}}\left(1+(2+2\gamma -\beta )\left({\frac {h}{rc}}\right)^{2}\right)}$.

где для ОТО и в классическом случае.${\displaystyle \gamma =\beta =1}$${\displaystyle \gamma =\beta =0}$

Спирали Котес [ править ]

Закон силы обратного куба имеет вид

${\displaystyle F(r)=-{\frac {k}{r^{3}}}.}$

Формы орбит закона обратного куба известны как спирали Котеса . Уравнение Бине показывает, что орбиты должны быть решениями уравнения

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u={\frac {ku}{mh^{2}}}=Cu.}$

Дифференциальное уравнение имеет три вида решений, аналогично различным коническим участкам задачи Кеплера. Когда , решением является эпспираль , включая патологический случай прямой линии, когда . Когда , решение - гиперболическая спираль . Когда решение - спираль Пуансо .${\displaystyle C<1}$${\displaystyle C=0}$${\displaystyle C=1}$${\displaystyle C>1}$

Внеосевое круговое движение [ править ]

Хотя уравнение Бине не может дать уникальный силовой закон для кругового движения вокруг центра силы, уравнение может обеспечить силовой закон, когда центр круга и центр силы не совпадают. Рассмотрим, например, круговую орбиту, которая проходит прямо через центр силы. (Обратное) полярное уравнение для такой круговой орбиты диаметра :${\displaystyle D}$

${\displaystyle D\,u(\theta )=\sec \theta .}$

Двойная дифференциация и использование пифагорейской идентичности дает${\displaystyle u}$

${\displaystyle D\,{\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}=\sec \theta \tan ^{2}\theta +\sec ^{3}\theta =\sec \theta (\sec ^{2}\theta -1)+\sec ^{3}\theta =2D^{3}u^{3}-D\,u.}$

Таким образом, закон силы

${\displaystyle F=-mh^{2}u^{2}\left(2D^{2}u^{3}-u+u\right)=-2mh^{2}D^{2}u^{5}=-{\frac {2mh^{2}D^{2}}{r^{5}}}.}$

Обратите внимание, что решение общей обратной задачи, то есть построение орбит закона силы притяжения , является значительно более сложной задачей, поскольку она эквивалентна решению${\displaystyle 1/r^{5}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u=Cu^{3}}$

которое является нелинейным дифференциальным уравнением второго порядка.

См. Также [ править ]

• Квантование Бора – Зоммерфельда # Релятивистская орбита
• Классическая проблема центральной силы
• Общая теория относительности
• Задача двух тел в общей теории относительности
• Теорема Бертрана

Ссылки [ править ]