Сингулярные интегральные операторы типа свертки

В математике , сингулярные интегральные операторы типа свертки являются сингулярные интегральные операторы , которые возникают на R ^п и Т ^п через свертку с помощью распределений; эквивалентно они являются сингулярными интегральными операторами, коммутирующими со сдвигами. Классическими примерами в гармоническом анализе являются оператор гармонического сопряжения на окружности, преобразование Гильберта на окружности и действительной прямой, преобразование Берлинга в комплексной плоскости и преобразование Рисса в евклидовом пространстве. Непрерывность этих операторов на L² очевидно, потому что преобразование Фурье преобразует их в операторы умножения . Непрерывность на пространствах L ^p впервые была установлена Марселем Риссом . Классические методы включают использование интегралов Пуассона , теории интерполяции и максимальной функции Харди – Литтлвуда . Для более общих операторов ряд авторов разработали новые фундаментальные методы, введенные Альберто Кальдероном и Антони Зигмундом в 1952 году, чтобы дать общие критерии непрерывности на L ^pпробелы. Эта статья объясняет теорию классических операторов и набрасывает последующую общую теорию.

L ² теория [ править ]

Преобразование Гильберта на окружности [ править ]

Теория для L ² функций, в частности , просто по кругу. ^{[1] [2]} Если f ∈ L ² ( T ), то она имеет разложение в ряд Фурье

${\ displaystyle f (\ theta) = \ sum _ {n \ in \ mathbf {Z}} a_ {n} e ^ {in \ theta}.}$

Пространство Харди H ² ( T ) состоит из функций, для которых отрицательные коэффициенты обращаются в нуль, a _n = 0 при n <0. Это в точности интегрируемые с квадратом функции, которые возникают как граничные значения голоморфных функций в открытом единичном круге. Действительно, f - граничное значение функции

${\ Displaystyle F (z) = \ сумма _ {п \ geq 0} a_ {n} z ^ {n},}$

в том смысле, что функции

${\ displaystyle f_ {r} (\ theta) = F (re ^ {i \ theta}),}$

определяется ограничением F на концентрические окружности | z | = r , удовлетворяют

${\ displaystyle \ | f_ {r} -f \ | _ {2} \ rightarrow 0.}$

Ортогональная проекция Р из L ² ( Т ) на Н ² ( Т ), называется проекцией Сега . Это ограниченный оператор в L ² ( T ) с операторной нормой 1. По теореме Кошей

${\ Displaystyle F (z) = {1 \ над 2 \ пи я} \ int _ {| \ zeta | = 1} {f (\ zeta) \ over \ zeta -z} \, d \ zeta = {1 \ над 2 \ pi} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} {f (\ theta) \ над 1-e ^ {- i \ theta} z} \, d \ theta.}$

Таким образом

${\displaystyle \displaystyle {F(re^{i\varphi })={1 \over 2\pi }\int _{-\pi }^{\pi }{f(\varphi -\theta ) \over 1-re^{i\theta }}\,d\theta .}}$

Когда r = 1, подынтегральное выражение в правой части имеет особенность при θ = 0. Усеченное преобразование Гильберта определяется формулой

${\displaystyle \displaystyle {H_{\varepsilon }f(\varphi )={i \over \pi }\int _{\varepsilon \leq |\theta |\leq \pi }{f(\varphi -\theta ) \over 1-e^{i\theta }}\,d\theta ={1 \over \pi }\int _{|\zeta -e^{i\varphi }|\geq \delta }{f(\zeta ) \over \zeta -e^{i\varphi }}\,d\zeta ,}}$

где δ = | 1 - e ^{i ε} |. Так как она определяется как свертка с ограниченной функции, то есть ограниченный оператор на L ² ( Т ). Сейчас

${\displaystyle \displaystyle {H_{\varepsilon }{1}={i \over \pi }\int _{\varepsilon }^{\pi }2\Re (1-e^{i\theta })^{-1}\,d\theta ={i \over \pi }\int _{\varepsilon }^{\pi }1\,d\theta =i-{i\varepsilon \over \pi }.}}$

Если f - многочлен от z, то

${\displaystyle \displaystyle {H_{\varepsilon }f(z)-{i(1-\varepsilon ) \over \pi }f(z)={1 \over \pi i}\int _{|\zeta -z|\geq \delta }{f(\zeta )-f(z) \over \zeta -z}\,d\zeta .}}$

По теореме Коши правая часть стремится к 0 равномерно при ε, а значит, δ стремится к 0. Таким образом,

${\displaystyle \displaystyle {H_{\varepsilon }f\rightarrow if}}$

равномерно для многочленов. С другой стороны, если u ( z ) = z, сразу же

${\displaystyle \displaystyle {{\overline {H_{\varepsilon }f}}=-u^{-1}H_{\varepsilon }(u{\overline {f}}).}}$

Таким образом, если f - многочлен от z ⁻¹ без постоянного члена

${\displaystyle \displaystyle {H_{\varepsilon }f\rightarrow -if}}$ равномерно.

Определим преобразование Гильберта на окружности следующим образом:

${\displaystyle \displaystyle {H=i(2P-I).}}$

Таким образом, если f - тригонометрический полином

${\displaystyle \displaystyle {H_{\varepsilon }f\rightarrow Hf}}$ равномерно.

Отсюда следует , что если е является любым L ² функции

${\displaystyle \displaystyle {H_{\varepsilon }f\rightarrow Hf}}$в норме L ² .

Это является непосредственным следствием результата для тригонометрических полиномов после того, как установлено, что операторы H _ε равномерно ограничены по операторной норме . Но на [–π, π]

${\displaystyle \displaystyle {(1-e^{i\theta })^{-1}=[(1-e^{i\theta })^{-1}-i\theta ^{-1}]+i\theta ^{-1}.}}$

Первый член ограничен на всем отрезке [–π, π], поэтому достаточно показать, что операторы свертки S _ε, определенные равенством

${\displaystyle \displaystyle {S_{\varepsilon }f(\varphi )=\int _{\varepsilon \leq |\theta |\leq \pi }f(\varphi -\theta )\theta ^{-1}\,d\theta }}$

равномерно ограничены. По отношению к ортонормированному базису e ^{в θ} операторы свертки диагональны, и их операторные нормы задаются взятием супремума модулей коэффициентов Фурье. Прямые вычисления показывают, что все они имеют вид

${\displaystyle \displaystyle {{1 \over \pi }\left|\int _{a}^{b}{\sin t \over t}\,dt\right|}}$

с 0 < a < b . Эти интегралы, как известно, равномерно ограничены.

Отсюда также следует, что для непрерывной функции f на окружности H _ε f сходится к Hf равномерно , в частности поточечно. Поточечный предел - это главное значение Коши , записанное

${\displaystyle \displaystyle {Hf=\mathrm {P.V.} \,{1 \over \pi }\int {f(\zeta ) \over \zeta -e^{i\varphi }}\,d\zeta .}}$

Если е просто в L ² , то Н _ε F сходится к гафний точечно почти везде. На самом деле определяют операторы Пуассона на L ² функции по

${\displaystyle T_{r}\left(\sum a_{n}e^{in\theta }\right)=\sum r^{|n|}a_{n}e^{in\theta },}$

для г <1. Так как эти операторы диагонали, легко видеть , что Т _г е стремится к F в L ² , как г возрастает до 1. Кроме того, как было доказано лебегово, Т _г е также имеет тенденцию к точечно F в каждой точке Лебега из ф . С другой стороны, также известно, что T _r Hf - H _{1 - r} f стремится к нулю в каждой точке Лебега функции f . Следовательно, H _{1 - r} f поточечно стремится к fна общих точках Лебега функций f и Hf и, следовательно, почти всюду. ^{[3] [4] [5]}

Подобные результаты о поточечной сходимости доказываются ниже в более общем виде для L ^p- функций с использованием операторов Пуассона и максимальной функции Харди – Литтлвуда для f .

Преобразование Гильберта имеет естественную совместимость с сохраняющими ориентацию диффеоморфизмами окружности. ^[6] Таким образом, если H - диффеоморфизм окружности с

${\displaystyle H(e^{i\theta })=e^{ih(\theta )},\,\,\,h(\theta +2\pi )=h(\theta )+2\pi ,}$

тогда операторы

${\displaystyle H_{\varepsilon }^{h}f(e^{i\varphi })={\frac {1}{\pi }}\int _{|e^{ih(\theta )}-e^{ih(\varphi )}|\geq \varepsilon }{\frac {f(e^{i\theta })}{e^{i\theta }-e^{i\varphi }}}e^{i\theta }\,d\theta ,}$

равномерно ограничены и , как правило , в сильной операторной топологии в H . Более того, если Vf ( z ) = f ( H ( z )), то VHV ⁻¹ - H - оператор с гладким ядром, а значит, оператор Гильберта – Шмидта .

На самом деле, если G является обратной к H с соответствующей функцией g (θ), то

${\displaystyle (VH_{\varepsilon }^{h}V^{-1}-H_{\varepsilon })f(e^{i\varphi })={1 \over \pi }\int _{|e^{i\theta }-e^{i\varphi }|\geq \varepsilon }\left[{g^{\prime }(\theta )e^{ig(\theta )} \over e^{ig(\theta )}-e^{ig(\varphi )}}-{e^{i\theta } \over e^{i\theta }-e^{i\varphi }}\right]\,f(e^{i\theta })\,d\theta .}$

Поскольку ядро ​​в правой части гладкое на T × T , операторы в правой части равномерно ограничены, а значит, и операторы H _ε ^h . Чтобы увидеть, что они сильно стремятся к H , достаточно проверить это на тригонометрических полиномах. В этом случае

${\displaystyle H_{\varepsilon }^{h}f(\zeta )={1 \over \pi i}\int _{|H(z)-H(\zeta )|\geq \varepsilon }{\frac {f(z)}{z-\zeta }}dz={1 \over \pi i}\int _{|H(z)-H(\zeta )|\geq \varepsilon }{f(z)-f(\zeta ) \over z-\zeta }\,dz+{\frac {f(\zeta )}{\pi i}}\int _{|H(z)-H(\zeta )|\geq \varepsilon }{dz \over z-\zeta }.}$

В первом интеграле подынтегральное выражение является тригонометрическим полиномом от z и ζ, поэтому интеграл является тригонометрическим полиномом от ζ. Это , как правило , в L ² с тригонометрическим многочленом

${\displaystyle {1 \over \pi i}\int {f(z)-f(\zeta ) \over z-\zeta }\,dz.}$

Интеграл во втором члене можно вычислить по принципу аргумента . Это , как правило , в L ² к функции постоянной 1, так что

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}H_{\varepsilon }^{h}f(\zeta )=f(\zeta )+{1 \over \pi i}\int {f(z)-f(\zeta ) \over z-\zeta }\,dz,}$

где предел находится в L ² . С другой стороны, правая часть не зависит от диффеоморфизма. Поскольку для тождественного диффеоморфизма левая часть равна Hf , она тоже равна Hf (это также можно проверить напрямую, если f - тригонометрический полином). Наконец, устремляя ε → 0,

${\displaystyle (VHV^{-1}-H)f(e^{i\varphi })={\frac {1}{\pi }}\int \left[{g^{\prime }(\theta )e^{ig(\theta )} \over e^{ig(\theta )}-e^{ig(\varphi )}}-{e^{i\theta } \over e^{i\theta }-e^{i\varphi }}\right]\,f(e^{i\theta })\,d\theta .}$

Прямой метод вычисления коэффициентов Фурье для доказательства равномерной ограниченности оператора H ^ε не обобщается непосредственно на пространства L ^p с 1 < p <∞. Вместо этого для доказательства этого классически используется прямое сравнение H ^ε f с интегралом Пуассона преобразования Гильберта. Если f имеет ряд Фурье

${\displaystyle f(e^{i\theta })=\sum _{n\in \mathbf {Z} }a_{n}e^{in\theta },}$

его интеграл Пуассона определяется как

${\displaystyle \displaystyle {P_{r}f(e^{i\theta })=\sum _{n\in \mathbf {Z} }a_{n}r^{|n|}e^{in\theta }={1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }{(1-r^{2})f(e^{i\theta }) \over 1-2r\cos \theta +r^{2}}\,d\theta =K_{r}\star f(e^{i\theta }),}}$

где ядро Пуассона K _r определяется выражением

${\displaystyle \displaystyle {K_{r}(e^{i\theta })=\sum _{n\in \mathbf {Z} }r^{|n|}e^{in\theta }={1-r^{2} \over 1-2r\cos \theta +r^{2}}.}}$

Если f находится в L ^p ( T ), то операторы P _r удовлетворяют

${\displaystyle \displaystyle {\|P_{r}f-f\|_{p}\rightarrow 0.}}$

На самом деле K _r положительны, поэтому

${\displaystyle \displaystyle {\|K_{r}\|_{1}={1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }K_{r}(e^{i\theta })\,d\theta =1.}}$

Таким образом, операторы P _r имеют операторную норму, ограниченную единицей на L ^p . Утверждение о сходимости выше следует по непрерывности из результата для тригонометрических полиномов, где оно является непосредственным следствием формулы для коэффициентов Фурье K _r .

Равномерная ограниченность операторной нормы H _ε следует из того, что HP _r - H _{1 - r} задается в виде свертки функцией ψ _r , где ^[7]

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{r}(e^{i\theta })&=1+{\frac {1-r}{1+r}}\cot \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)K_{r}(e^{i\theta })\\&\leq 1+{\frac {1-r}{1+r}}\cot \left({\tfrac {1-r}{2}}\right)K_{r}(e^{i\theta })\end{aligned}}}$

для 1 - r ≤ | θ | ≤ π, а при | θ | <1 - г ,

${\displaystyle \displaystyle {\psi _{r}(e^{i\theta })=1+{2r\sin \theta \over 1-2r\cos \theta +r^{2}}.}}$

Эти оценки показывают, что L ¹ нормы ∫ | ψ _r | равномерно ограничены. Поскольку H - ограниченный оператор, то операторы H _ε равномерно ограничены по операторной норме на L ² ( T ). Тот же аргумент можно использовать на L ^p ( T ), если известно, что преобразование Гильберта H ограничено по операторной норме на L ^p ( T ).

Преобразование Гильберта на действительной прямой [ править ]

Как и в случае окружности, теория для L ² функций особенно легко развиваться. Фактически, как наблюдали Розенблюм и Девинац, два преобразования Гильберта можно связать с помощью преобразования Кэли. ^[8]

Преобразование Гильберта H _R на L ² ( R ) определяется

${\displaystyle {\widehat {H_{\mathbf {R} }f}}=\left(i\chi _{[0,\infty )}-i\chi _{(-\infty ,0]}\right){\widehat {f}},}$

где преобразование Фурье дается выражением

${\displaystyle \displaystyle {{\widehat {f}}(t)={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-itx}\,dx.}}$

Определим пространство Харди H ² ( R ) , чтобы быть замкнутое подпространство L ² ( R ) , состоящее из функций , для которых преобразование Фурье равна нулю на отрицательной части действительной оси. Его ортогональное дополнение задается функциями, для которых преобразование Фурье обращается в нуль на положительной части вещественной оси. Это комплексное сопряжение H ² ( R ). Если P _R - ортогональная проекция на H ² ( R ), то

${\displaystyle \displaystyle {H_{\mathbf {R} }=i(2P_{\mathbf {R} }-I).}}$

Преобразование Кэли

${\displaystyle \displaystyle {C(x)={x-i \over x+i}}}$

переносит расширенную вещественную прямую на окружность, переводя точку ∞ в 1, а верхнюю полуплоскость - на единичный диск.

Определим унитарный оператор из L ² ( T ) в L ² ( R ) следующим образом:

${\displaystyle \displaystyle {Uf(x)=\pi ^{-1/2}(x+i)^{-1}f(C(x)).}}$

Этот оператор переносит пространство Харди окружности H ² ( T ) на H ² ( R ). Фактически для | w | <1 линейная оболочка функций

${\displaystyle f_{w}(z)={\frac {1}{1-wz}}}$

плотно в H ² ( T ). Более того,

${\displaystyle Uf_{w}(x)={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}{\frac {1}{(1-w)(x-{\overline {z}})}}}$

где

${\displaystyle \displaystyle {z=C^{-1}({\overline {w}}).}}$

С другой стороны, при z ∈ H линейная оболочка функций

${\displaystyle \displaystyle {g_{z}(t)=e^{itz}\chi _{[0,\infty )}(t)}}$

плотно в L ² ((0, ∞)). По формуле обращения Фурье они являются преобразованиями Фурье

${\displaystyle \displaystyle {h_{z}(x)={\widehat {g_{z}}}(-x)={i \over {\sqrt {2\pi }}}(x+z)^{-1},}}$

поэтому линейная оболочка этих функций плотна в H ² ( R ). Поскольку U переносит f _w на кратные h _z , отсюда следует, что U переносит H ² ( T ) на H ² ( R ). Таким образом

${\displaystyle \displaystyle {UH_{\mathbf {T} }U^{*}=H_{\mathbf {R} }.}}$

В Никольском (1986) , часть L ² теории на вещественной прямой и верхней полуплоскости разработана путем передачи результатов из круга и единичного круга. Естественные замены для концентрических кругов на диске, линия , параллельная вещественную ось в H . При преобразовании Кэли они соответствуют окружностям в диске, которые касаются единичной окружности в точке один. Поведение функций из H ² ( T ) на этих окружностях является частью теории мер Карлесона . Теория сингулярных интегралов, однако, могут быть разработаны более легко, работая непосредственно на R .

Н ² ( R ) состоит в точности из L ² функции F , которые возникают из граничных значений голоморфных функций на Н в следующем смысле: ^[9] F в H ² при условии , что существует голоморфная функция Р ( г ) на H такой , что функции f _y ( x ) = f ( x + iy ) для y > 0 находятся в L ^2, а f _y стремится к f в L ² какy → 0. В этом случае F обязательно единственна и задается интегральной формулой Коши :

${\displaystyle \displaystyle {F(z)={1 \over 2\pi i}\int _{-\infty }^{\infty }{f(s) \over s-z}\,ds.}}$

Фактически, отождествление H ² с L ² (0, ∞) с помощью преобразования Фурье для y > 0 умножение на e ^{- yt} на L ² (0, ∞) индуцирует полугруппу сжатия V _y на H ² . Следовательно, для f в L ²

${\displaystyle \displaystyle {{1 \over 2\pi i}\int _{-\infty }^{\infty }{f(s) \over s-z}\,ds={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(s){\widehat {g_{z}}}(s)\,ds={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}(s)g_{z}(s)\,ds=V_{y}Pf(x).}}$

Если F в Н ² , Р ( г ) голоморфна при Im г > 0, так как семейство L ² функции г _г голоморфно зависит от г . Более того, f _y = V _y f стремится к f в H ^2, поскольку это верно для преобразований Фурье. Наоборот, если такое F существует, по интегральной теореме Коши и приведенному выше тождеству, примененному к f _y

${\displaystyle \displaystyle {f_{y+t}=V_{t}Pf_{y}}}$

при t > 0. Устремляя t к 0 , получаем, что Pf _y = f _y , так что f _y лежит в H ² . Но то же самое и с пределом f . С

${\displaystyle \displaystyle {V_{t}f_{y}=f_{y+t}=V_{y}f_{t},}}$

единственность F следует из

${\displaystyle \displaystyle {f_{t}=\lim _{y\rightarrow 0}f_{y+t}=\lim _{y\rightarrow 0}V_{t}f_{y}=V_{t}f.}}$

Для F в L ² , то усеченные преобразования Гильберта определяется

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\varepsilon ,R}f(x)&={1 \over \pi }\int _{\varepsilon \leq |y-x|\leq R}{f(y) \over x-y}\,dy={1 \over \pi }\int _{\varepsilon \leq |y|\leq R}{f(x-y) \over y}\,dy\\H_{\varepsilon }f(x)&={1 \over \pi }\int _{|y-x|\geq \varepsilon }{f(y) \over x-y}\,dy={1 \over \pi }\int _{|y|\geq \varepsilon }{f(x-y) \over y}\,dy.\end{aligned}}}$

Операторы H _{ε, R} являются свертками ограниченных функций с компактным носителем, поэтому их операторные нормы задаются равномерной нормой их преобразований Фурье. Абсолютные значения по-прежнему имеют вид

${\displaystyle \displaystyle {{1 \over {\sqrt {2\pi }}}\left|\int _{a}^{b}{2\sin t \over t}\,dt\right|.}}$

при 0 < a < b , поэтому операторы H _{ε, R} равномерно ограничены по операторной норме. Так как H _{е, R} F стремится к H _{& epsi ;} F в L ² для F с компактным носителем, и , следовательно , для любых е , операторы H _ε также равномерно ограничены в норме оператора.

Чтобы доказать, что H _ε f стремится к Hf при стремлении ε к нулю, достаточно проверить это на плотном множестве функций. С другой стороны,

${\displaystyle \displaystyle {{\overline {H_{\varepsilon }f}}=-H_{\varepsilon }({\overline {f}}),}}$

поэтому достаточно доказать, что H _ε f стремится к if для плотного набора функций из H ² ( R ), например, преобразования Фурье гладких функций g с компактным носителем в (0, ∞). Но преобразование Фурье f продолжается до целой функции F на C , которая ограничена на Im ( z ) ≥ 0. То же самое верно и для производных от g . С точностью до скаляра они соответствуют умножению F ( z ) на степени z . Таким образом, F удовлетворяет оценке Пейли-Винера для Im (z ) ≥ 0: ^[10]

${\displaystyle \displaystyle {|F^{(m)}(z)|\leq K_{N,m}(1+|z|)^{-N}}}$

для любого m , N ≥ 0. В частности, интеграл, определяющий H _ε f ( x ), можно вычислить, взяв стандартный полукруглый контур с центром на x . Он состоит из большого полукруга с радиусом R и малого круга с радиусом ε с двумя частями действительной оси между ними. По теореме Коши интеграл по контуру равен нулю. По оценке Пэли-Винера интеграл вокруг большого контура стремится к нулю. Интеграл по действительной оси - это искомый предел. Поэтому он задается как минус предел для небольшого полукруглого контура. Но это предел

${\displaystyle \displaystyle {{1 \over \pi }\int _{\Gamma }{F(z) \over z-x}\,dz.}}$

Где Γ - небольшой полукруглый контур, ориентированный против часовой стрелки. При использовании обычных методов контурного интегрирования этот предел равен if ( x ). ^[11] В этом случае, легко проверить , что сходимость доминирует в L ² , так как

${\displaystyle H_{\varepsilon }f(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{|y-x|\geq \varepsilon }{\frac {f(y)-f(x)}{y-x}}\,dy={\frac {1}{\pi }}\int _{|y-x|\geq \varepsilon }\int _{0}^{1}f^{\prime }(x+t(y-x))\,dt\,dy}$

так что сходимость преобладает

${\displaystyle G(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{1}\int _{-\infty }^{\infty }|f^{\prime }(x+ty)|\,dy}$

который находится в L ² по оценке Пэли-Винера.

Отсюда следует, что для f на L ² ( R )

${\displaystyle \displaystyle {H_{\varepsilon }f\rightarrow Hf.}}$

Это также можно вывести напрямую, потому что после перехода к преобразованиям Фурье H _ε и H становятся операторами умножения на равномерно ограниченные функции. Множители для H _ε поточечно стремятся почти всюду к множителю для H , поэтому приведенное выше утверждение следует из теоремы о доминирующей сходимости, примененной к преобразованиям Фурье.

Что же касается преобразования Гильберта на окружности, H _{& epsi ;} F стремится к Hf точечно почти везде , если F является L ² функция. В самом деле, определят оператор Пуассона на L ² функции по

${\displaystyle T_{y}f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }P_{y}(x-t)f(t)\,dt,}$

где ядро ​​Пуассона определяется выражением

${\displaystyle P_{y}(x)={\frac {y}{\pi (x^{2}+y^{2})}}.}$

для y > 0. Его преобразование Фурье имеет вид

${\displaystyle \displaystyle {{\widehat {P_{y}}}(t)=e^{-y|t|},}}$

из которого можно легко видеть , что Т _у й стремится к F в L ² , как у возрастает до 0. Кроме того, как оказалось лебегово, Т _у й также имеет тенденцию к точечно F в каждой точке Лебега из F . С другой стороны, также известно, что T _y Hf - H _y f стремится к нулю в каждой точке Лебега функции f . Следовательно, H _ε f поточечно стремится к f на общих точках Лебега f и Hfа значит почти везде. ^{[12] [13]} Модули функций T _y f - f и T _y Hf - H _y f могут быть поточечно ограничены кратными максимальной функции f . ^[14]

Что касается преобразования Гильберта на окружности, то равномерная ограниченность операторных норм H _ε следует из ограниченности T _ε, если известно, что H ограничена, поскольку HT _ε - H _ε - оператор свертки по функции

${\displaystyle g_{\varepsilon }(x)={\begin{cases}{\frac {x}{\pi (x^{2}+\varepsilon ^{2})}}&|x|\leq \varepsilon \\{\frac {x}{\pi (x^{2}+\varepsilon ^{2})}}-{\frac {1}{\pi x}}&|x|>\varepsilon \end{cases}}}$

L ¹ нормы этих функций равномерно ограничены.

Рисса преобразовывает в комплексной плоскости [ править ]

Комплекс Рисса преобразует R и R * в комплексной плоскости унитарные операторы на L ² ( С ) определяется как умножение на г / | z | и его конъюгат на преобразование Фурье из L ² функции F :

${\displaystyle \displaystyle {{\widehat {Rf}}(z)={{\overline {z}} \over |z|}{\widehat {f}}(z),\,\,\,{\widehat {R^{*}f}}(z)={z \over |z|}{\widehat {f}}(z).}}$

Отождествление C с R ² , R и R * даются как

${\displaystyle \displaystyle {R=-iR_{1}+R_{2},\,\,\,R^{*}=-iR_{1}-R_{2},}}$

где R ₁ и R ₂ является преобразование Рисса на R ^- определен ниже.

На L ² ( С ), то оператор Р и его целые степени являются унитарными. Их также можно выразить как сингулярные интегральные операторы: ^[15]

${\displaystyle \displaystyle {R^{k}f(w)=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}\int _{|z-w|\geq \varepsilon }M_{k}(w-z)f(z)\,dx\,dy,}}$

где

${\displaystyle \displaystyle {M_{k}(z)={k \over 2\pi i^{k}}{z^{k} \over |z|^{k+2}}\,\,\,\,(k\geq 1),\,\,\,\,M_{-k}(z)={\overline {M_{k}(z)}}.}}$

Определение усеченных высших преобразований Рисса как

${\displaystyle \displaystyle {R_{\varepsilon }^{(k)}f(w)=\int _{|z-w|\geq \varepsilon }M_{k}(w-z)f(z)\,dx\,dy,}}$

можно показать, что эти операторы равномерно ограничены по операторной норме. Для нечетных степеней это можно вывести с помощью метода вращения Кальдерона и Зигмунда, описанного ниже. ^[16] Если известно, что операторы ограничены по операторной норме, это также можно вывести с помощью операторов Пуассона. ^[17]

Операторы Пуассона Т _ы на R ^- определены для й > 0 на

${\displaystyle \displaystyle {T_{s}f(x)={1 \over 2\pi }\int _{\mathbf {R} ^{2}}{sf(x) \over (|x-t|^{2}+s^{2})^{3/2}}\,dt.}}$

Они задаются сверткой с функциями

${\displaystyle \displaystyle {P_{s}(x)={s \over 2\pi (|x|^{2}+s^{2})^{3/2}}.}}$

P _s - преобразование Фурье функции e ^{- s | х |} , Так что при преобразовании Фурье они соответствуют умножению этих функций и образует сжимающую полугруппу на L ² ( R ² ). Поскольку P _y положительно и интегрируемо с интегралом 1, операторы T _s также определяют полугруппу сжатия на каждом пространстве L ^p с 1 < p <∞.

Можно вычислить высшие преобразования Рисса ядра Пуассона:

${\displaystyle \displaystyle {R^{k}P_{s}(z)={k \over 2\pi i^{k}}{z^{k} \over (|z|^{2}+s^{2})^{k/2+1}}}}$

для k ≥ 1 и комплексно сопряженного для - k . Действительно, правая часть представляет собой гармоническую функцию F ( x , y , s ) трех переменных и для таких функций ^[18]

${\displaystyle \displaystyle {T_{s_{1}}F(x,y,s_{2})=F(x,y,s_{1}+s_{2}).}}$

Как и раньше, операторы

${\displaystyle \displaystyle {T_{\varepsilon }R^{k}-R_{\varepsilon }^{(k)}}}$

задаются сверткой с интегрируемыми функциями и имеют равномерно ограниченные операторные нормы. Поскольку преобразования Рисса являются унитарными на L ² ( С ), равномерной ограниченностью усеченных преобразований Рисса следует , что они сходятся в сильной операторной топологии до соответствующих преобразований Рисса.

Равномерную ограниченность разницы между преобразованием и усеченным преобразованием также можно увидеть для нечетного k, используя метод вращения Кальдерона-Зигмунда. ^{[19] [20]} Группа T действует вращением на функции на C посредством

${\displaystyle \displaystyle {U_{\theta }f(z)=f(e^{i\theta }z).}}$

Это определяет унитарное представление о л ² ( С ) и унитарные операторы R _θ коммутируют с преобразованием Фурье. Если является ограниченным оператором на L ² ( R ) , то он определяет ограниченный оператор А ⁽¹⁾ на L ² ( С ) , просто сделав A действуют на первую координату. С отождествлением L ² ( R ² ) = L ² ( R ) ⊗ L ² ( R ), A ⁽¹⁾ = A ⊗ I. Если φ - непрерывная функция на окружности, то новый оператор может быть определен как

${\displaystyle \displaystyle {B={1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }\varphi (\theta )U_{\theta }A^{(1)}U_{\theta }^{*}\,d\theta .}}$

Это определение понимается в том смысле, что

${\displaystyle \displaystyle {(Bf,g)={1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }\varphi (\theta )(U_{\theta }A^{(1)}U_{\theta }^{*}f,g)\,d\theta }}$

для любых е , г в л ² ( С ). Следует, что

${\displaystyle \displaystyle {\|B\|\leq {1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }|\varphi (\theta )|\cdot \|A\|\,d\theta .}}$

Принимая А , чтобы быть преобразование Гильберта H на L ² ( R ) или его усечение H _е , то отсюда следует , что

${\displaystyle {\begin{aligned}R&={1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }e^{-i\theta }U_{\theta }H^{(1)}U_{\theta }^{*}\,d\theta ,\\R_{\varepsilon }&={1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }e^{-i\theta }U_{\theta }H_{\varepsilon }^{(1)}U_{\theta }^{*}\,d\theta .\end{aligned}}}$

Сопряжение дает аналогичные формулы для R * и его усечения. Это дает второй способ проверить оценку норм R , R * и их усечений. Его преимущество заключается в том, что он применим также для пространств L ^p .

Операторы Пуассона также могут использоваться, чтобы показать, что усеченные высшие преобразования Рисса функции стремятся к высшему преобразованию Рисса в общих точках Лебега функции и ее преобразования. В самом деле, ( R ^k T _ε - R ^{( k )} _ε ) f → 0 в каждой точке Лебега функции f ; а ( R ^k - R ^k T _ε ) f → 0 в каждой точке Лебега R ^k f . ^[21]

Преобразование Берлинга в комплексной плоскости [ править ]

С

${\displaystyle {{\overline {z}} \over z}=\left({{\overline {z}} \over |z|}\right)^{2},}$

преобразование Бёрлинг T на L ² представляет собой унитарный оператор , равный R ² . Это соотношение классически использовалось Векуа (1962) и Альфорсом (1966) для установления свойств непрерывности T на пространствах L ^p . Результаты о преобразовании Рисса и его степенях показывают, что T является пределом в сильной операторной топологии усеченных операторов

${\displaystyle T_{\varepsilon }f(w)=-{\frac {1}{\pi }}\iint _{|z-w|\geq \varepsilon }{\frac {f(z)}{(w-z)^{2}}}dxdy.}$

Соответственно, Tf можно записать в виде интеграла главного значения Коши:

${\displaystyle Tf(w)=-{\frac {1}{\pi }}P.V.\iint {\frac {f(z)}{(w-z)^{2}}}dxdy=-{\frac {1}{\pi }}\lim _{\varepsilon \to 0}\iint _{|z-w|\geq \varepsilon }{\frac {f(z)}{(w-z)^{2}}}dxdy.}$

Из описания T и T * на преобразованиях Фурье следует, что если f гладкая с компактным носителем

${\displaystyle {\begin{aligned}T(\partial _{z}f)&=\partial _{z}T(f),\\T(\partial _{\overline {z}}f)&=\partial _{\overline {z}}T(f).\end{aligned}}}$

Подобно преобразованию Гильберта в одном измерении, преобразование Берлинга совместимо с конформными изменениями координат. Пусть Ω - ограниченная область в C с гладкой границей ∂Ω, а φ - однолистное голоморфное отображение единичного круга D на Ω, продолжающееся до гладкого диффеоморфизма окружности на ∂Ω. Если х _Ом является характеристической функцией от Q, оператор может х _Ом Т х _Ом определяет operaror Т (Ом) на L ² (Ом). Посредством конформного отображения φ оно индуцирует на L ² ( D ) оператор, также обозначаемый T (Ω), который можно сравнить с T( D ). То же верно и для усечений T _ε (Ω) и T _ε ( D ).

Пусть U _ε - круг | z - w | <ε и V ^ε область | φ ( z ) - φ ( w ) | <ε. На L ² ( D )

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{\varepsilon }(\Omega )f(w)&=-{\frac {1}{\pi }}\iint _{D\backslash V_{\varepsilon }}\left[{\varphi ^{\prime }(w)\varphi ^{\prime }(z) \over (\varphi (z)-\varphi (w))^{2}}f(z)\right]dxdy,\\T_{\varepsilon }(D)f(w)&=-{1 \over \pi }\iint _{D\backslash U_{\varepsilon }}{f(z) \over (z-w)^{2}}dxdy,\end{aligned}}}$

и операторные нормы этих усеченных операторов равномерно ограничены. С другой стороны, если

${\displaystyle T_{\varepsilon }^{\prime }(D)f(w)=-{1 \over \pi }\iint _{D\backslash V_{\varepsilon }}{\frac {f(z)}{(z-w)^{2}}}dxdy,}$

то разница между этим оператором и T _ε (Ω) является усеченным оператором с гладким ядром K ( w , z ):

${\displaystyle K(w,z)=-{1 \over \pi }\left[{\varphi ^{\prime }(w)\varphi ^{\prime }(z) \over (\varphi (z)-\varphi (w))^{2}}-{1 \over (z-w)^{2}}\right].}$

Значит, операторы T ′ _ε ( D ) также должны иметь равномерно ограниченные операторные нормы. Для того, чтобы увидеть , что их разность стремится к 0 в сильной операторной топологии, достаточно проверить это для й гладких финитных в D . По теореме Грина ^[22]

${\displaystyle \left(T_{\varepsilon }(D)-T_{\varepsilon }^{\prime }(D)\right)f(w)={\frac {1}{\pi }}\iint _{U_{\varepsilon }}{\partial _{z}f(z) \over z-w}dxdy-{1 \over \pi }\iint _{V_{\varepsilon }}{\partial _{z}f(z) \over z-w}dxdy+{1 \over 2\pi i}\int _{\partial U_{\varepsilon }}{\frac {f(z)}{z-w}}d{\overline {z}}-{\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial V_{\varepsilon }}{f(z) \over z-w}\,d{\overline {z}}.}$

Все четыре слагаемых в правой части стремятся к 0. Следовательно, разность T (Ω) - T ( D ) является оператором Гильберта-Шмидта с ядром K .

Для поточечной сходимости существует простой аргумент Матеу и Вердера (2006), показывающий, что усеченные интегралы сходятся к Tf именно в его точках Лебега, то есть почти всюду. ^[23] На самом деле T обладает следующим свойством симметрии для f , g ∈ L ² ( C )

${\displaystyle \iint (Tf)g=-{1 \over \pi }\lim \int _{|z-w|\geq \varepsilon }{\frac {f(w)g(z)}{(w-z)^{2}}}=\iint f(Tg).}$

С другой стороны, если χ - характеристическая функция диска D ( z , ε) с центром z и радиусом ε, то

${\displaystyle T\chi (w)=-\varepsilon ^{2}{\frac {1-\chi (w)}{(w-z)^{2}}}.}$

Следовательно

${\displaystyle T_{\varepsilon }(f)(z)={1 \over \pi \varepsilon ^{2}}\iint f(T\chi )={1 \over \pi \varepsilon ^{2}}\iint (Tf)\chi =\mathbf {Av} _{D(z,\varepsilon )}\,Tf.}$

По теореме Лебега о дифференцировании правая часть сходится к Tf в точках Лебега Tf .

Рисс трансформируется в высшие измерения [ править ]

Для F в Schwartz пространстве R ^п , то J й Рисса преобразование определяется

${\displaystyle R_{j}f(x)=c_{n}\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{|y|\geq \varepsilon }f(x-y){y_{j} \over |y|^{n+1}}dy={\frac {c_{n}}{n-1}}\int \partial _{j}f(x-y){1 \over |y|^{n-1}}dy,}$

где

${\displaystyle c_{n}=\Gamma \left({\tfrac {n+1}{2}}\right)\pi ^{-{\frac {n+1}{2}}}.}$

Под преобразованием Фурье:

${\displaystyle {\widehat {R_{j}f}}(t)={it_{j} \over |t|}{\widehat {f}}(t).}$

Таким образом, R _j соответствует оператору ∂ _j Δ ^−1/2 , где Δ = −∂ ₁ ² - ... −∂ _n ² обозначает лапласиан на R ⁿ . По определению R _J является ограниченным и косыми сопряженным оператором для L ² нормы и

${\displaystyle R_{1}^{2}+\cdots +R_{n}^{2}=-I.}$

Соответствующие усеченные операторы

${\displaystyle R_{j,\varepsilon }f(x)=c_{n}\int _{|y|\geq \varepsilon }f(x-y){y_{j} \over |y|^{n+1}}dy}$

равномерно ограничены по операторной норме. Это можно доказать либо непосредственно, либо установить методом вращений Кальдерона – Зигмунда для группы SO ( n ). ^[24] Это выражает операторы R _j и их усечения в терминах преобразований Гильберта в одном измерении и его усечений. Фактически, если G = SO ( n ) с нормированной мерой Хаара и H ⁽¹⁾ - преобразование Гильберта по первой координате, то

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{j}&=\int _{G}\varphi (g)gH^{(1)}g^{-1}\,dg,\\R_{j,\varepsilon }&=\int _{G}\varphi (g)gH_{\varepsilon }^{(1)}g^{-1}\,dg,\\R_{j,\varepsilon ,R}&=\int _{G}\varphi (g)gH_{\varepsilon ,R}^{(1)}g^{-1}\,dg.\end{aligned}}}$

где φ ( g ) - матричный коэффициент (1, j ) функции g .

В частности, для f ∈ L ² , R _{j , ε} f → R _j f в L ² . Более того, R _{j , ε} f стремится к R _j почти всюду. Это можно доказать точно так же, как преобразование Гильберта, используя операторы Пуассона, определенные на L ² ( R ⁿ ), когда R ⁿ рассматривается как граница полупространства в R ^{n +1} . В качестве альтернативы это можно доказать непосредственно из результата для преобразования Гильберта наR , используя выражение R _J как интеграл по G . ^{[25] [26]}

Операторы Пуассона T _y на R ⁿ определены при y > 0 в ^[27].

${\displaystyle T_{y}f(x)=c_{n}\int _{\mathbf {R} ^{n}}{\frac {yf(x)}{\left(|x-t|^{2}+y^{2}\right)^{\frac {n+1}{2}}}}dt.}$

Они задаются сверткой с функциями

${\displaystyle P_{y}(x)=c_{n}{\frac {y}{\left(|x|^{2}+y^{2}\right)^{\frac {n+1}{2}}}}.}$

P _y - преобразование Фурье функции e ^{- y | х |} , поэтому при преобразовании Фурье они соответствуют умножению на эти функции и образуют полугруппу сжатия на L ² ( R ⁿ ). Поскольку P _y положительно и интегрируемо с интегралом 1, операторы T _y также определяют полугруппу сжатия на каждом пространстве L ^p с 1 < p <∞.

Преобразования Рисса ядра Пуассона можно вычислить

${\displaystyle R_{j}P_{\varepsilon }(x)=c_{n}{\frac {x_{j}}{\left(|x|^{2}+\varepsilon ^{2}\right)^{\frac {n+1}{2}}}}.}$

Оператор R _j T _ε задается сверткой с этой функцией. Непосредственно проверяется, что операторы R _j T _ε - R _{j , ε} задаются сверткой с функциями, равномерно ограниченными по норме L ¹ . Следовательно, операторная норма разности равномерно ограничена. Имеем ( R _j T _ε - R _{j , ε} ) f → 0 в каждой точке Лебега функции f ; а ( R _j - R _j T _ε ) f→ 0 в каждой точке Лебега R _j f . Итак, R _{j , ε} f → R _j f на общих точках Лебега f и R _j f .

L ^p теория [ править ]

Элементарные доказательства теоремы М. Рисса [ править ]

Теорема Марселя Рисса утверждает, что сингулярные интегральные операторы, непрерывные для нормы L ² , также непрерывны в норме L ^p для 1 < p <∞ и что нормы операторов непрерывно меняются в зависимости от p .

Доказательство Бохнера преобразования Гильберта на окружности ^[28] [ править ]

Как только установлено, что операторные нормы преобразования Гильберта на L ^p ( T ) ограничены для четных целых чисел, из интерполяционной теоремы Рисса – Торина и двойственности следует, что они ограничены для всех p с 1 < p <∞ и что нормы изменяются непрерывно с p . Более того, аргументы , с интегралом Пуассона может быть применен , чтобы показать , что усеченный Гильберта преобразует H _ε равномерно ограничены в норме оператора и сходятся в сильной операторной топологии в H .

Достаточно доказать оценку вещественных тригонометрических полиномов без постоянного члена:

${\displaystyle f\left(e^{i\theta }\right)=\sum _{m=1}^{N}a_{m}e^{im\theta }+a_{-m}e^{-im\theta },\qquad a_{-m}={\overline {a_{m}}}.}$

Поскольку f + iHf - многочлен от e ^iθ без постоянного члена

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }(f+iHf)^{2n}\,d\theta =0.}$

Следовательно, взяв действительную часть и используя неравенство Гёльдера :

${\displaystyle \|Hf\|_{2n}^{2n}\leq \sum _{k=0}^{n-1}{2n \choose 2k}\left|\left((Hf)^{2k},f^{2n-2k}\right)\right|\leq \sum _{k=0}^{n-1}{2n \choose 2k}\|Hf\|_{2n}^{2k}\cdot \|f\|_{2n}^{2n-2k}.}$

Таким образом, теорема М. Рисса следует индукцией для четного числа p и, следовательно, для всех p с 1 < p <∞ .

Доказательство Котлара преобразования Гильберта на прямой ^[29] [ править ]

После того, как установлено, что операторные нормы преобразования Гильберта на L ^p ( R ) ограничены, когда p является степенью двойки, из интерполяционной теоремы Рисса – Торина и двойственности следует, что они ограничены для всех p с 1 < p <∞ и что нормы непрерывно меняются в зависимости от p . Более того, аргументы , с интегралом Пуассона может быть применен , чтобы показать , что усеченный Гильберта преобразует H _ε равномерно ограничены в норме оператора и сходятся в сильной операторной топологии в H .

Достаточно доказать оценку, когда f - функция Шварца. В этом случае имеет место следующее тождество Котлара:

${\displaystyle (Hf)^{2}=f^{2}+2H(fH(f)).}$

В самом деле, запись F = ф ₊ + е _- в соответствии с ± я подпространств Н . Поскольку f ± iHf продолжается до голоморфных функций в верхней и нижней полуплоскостях, то же самое происходит и с их квадратами. Следовательно

${\displaystyle f^{2}-(Hf)^{2}=\left(f_{+}+f_{-}\right)^{2}+\left(f_{+}-f_{-}\right)^{2}=2\left(f_{+}^{2}+f_{-}^{2}\right)=-2iH\left(f_{+}^{2}-f_{-}^{2}\right)=-2H(f(Hf)).}$

(Тождество Котлара также можно проверить напрямую с помощью преобразований Фурье.)

Следовательно, в предположении теоремы М. Рисса для p = 2 ⁿ ,

${\displaystyle \|Hf\|_{2^{n+1}}^{2}=\left\|(Hf)^{2}\right\|_{2^{n}}\leq \left\|f^{2}\right\|_{2^{n}}+2\|H(fH(f))\|_{2^{n}}\leq \|f\|_{2^{n+1}}^{2}+2\|H\|_{2^{n}}\|f\|_{2^{n+1}}\|Hf\|_{2^{n+1}}.}$

С

${\displaystyle R^{2}>1+2\|H\|_{2^{n}}R}$

для достаточно большого R теорема М. Рисса должна выполняться и при p = 2 ^{n +1} .

Точно такой же метод работает для преобразования Гильберта на окружности. ^[30] В том же идентичность Cotlar легко проверяется на тригонометрических полиномов F , записывая их в виде суммы слагаемых с неотрицательным и отрицательными показателями, т.е. ± я собственных функций H . Таким образом, границы L ^p могут быть установлены, когда p является степенью двойки, и следуют, в общем, интерполяцией и двойственностью.

Метод вращения Кальдерона – Зигмунда [ править ]

Метод вращения для преобразований Рисса и их усечения одинаково хорошо применим на пространствах L ^p для 1 < p <∞ . Таким образом, эти операторы могут быть выражены через преобразование Гильберта на R и его усечения. Интегрирование функций Φ из группы T или SO ( n ) в пространство операторов на L ^p понимается в слабом смысле:

${\displaystyle \left(\int _{G}\Phi (x)\,dx\,f,g\right)=\int _{G}(\Phi (x)f,g)\,dx}$

где f лежит в L ^p, а g лежит в сопряженном пространстве L ^q с 1/п + 1/q. Отсюда следует, что преобразования Рисса ограничены на L ^p и что разности с их усечениями также равномерно ограничены. Непрерывность L ^p норм фиксированного преобразования Рисса является следствием интерполяционной теоремы Рисса – Торина .

Точечная сходимость [ править ]

Доказательства поточечной сходимости преобразований Гильберта и Рисса опираются на теорему Лебега о дифференцировании , которая может быть доказана с помощью максимальной функции Харди-Литтлвуда . ^[31] Техника для простейшего и наиболее известного случая, а именно преобразования Гильберта на окружности, является прототипом для всех других преобразований. Этот случай подробно объясняется здесь.

Пусть f находится в L ^p ( T ) при p > 1. Теорема Лебега о дифференцировании утверждает, что

${\displaystyle \displaystyle {A(\varepsilon )={1 \over 2\varepsilon }\int _{x-\varepsilon }^{x+\varepsilon }|f(t)-f(x)|\,dt\to 0}}$

для почти всех х в Т . ^{[32] [33] [34]} Точки, в которых это выполняется, называются точками Лебега функции f . С помощью этой теоремы следует , что если е является интегрируемой функцией на окружности, интеграл Пуассона Т _г е стремится поточечно к F в каждой точке Лебега из F . Фактически, при фиксированном x A (ε) - непрерывная функция на [0, π]. Непрерывность в 0 следует, потому что x - точка Лебега, а в другом месте - потому что, если hинтегрируемая функция, интеграл от | h | на отрезках убывающей длины стремится к 0 по неравенству Гёльдера .

Полагая r = 1 - ε, разницу можно оценить двумя интегралами:

${\displaystyle 2\pi |T_{r}f(x)-f(x)|=\int _{0}^{2\pi }|(f(x-y)-f(x))P_{r}(y)|\,dy\leq \int _{|y|\leq \varepsilon }+\int _{|y|\geq \varepsilon }.}$

Ядро Пуассона обладает двумя важными свойствами при малых ε.

${\displaystyle {\begin{aligned}\sup _{y\in [-\varepsilon ,\varepsilon ]}|P_{1-\varepsilon }(y)|&\leq \varepsilon ^{-1}.\\\sup _{y\notin (-\varepsilon ,\varepsilon )}|P_{1-\varepsilon }(y)|&\to 0.\end{aligned}}}$

Первый интеграл ограничен A (ε) первым неравенством, поэтому стремится к нулю, когда ε стремится к 0; второй интеграл стремится к нулю по второму неравенству.

Те же рассуждения можно использовать, чтобы показать, что T _{1 - ε} Hf - H _ε f стремится к нулю в каждой точке Лебега функции f . ^[35] Фактически оператор T _{1 - ε} Hf имеет ядро Q _r + i , где сопряженное ядро ​​Пуассона Q _r определяется формулой

${\displaystyle \displaystyle {Q_{r}(\theta )={2r\sin \theta \over 1-2r\cos \theta +r^{2}}.}}$

Следовательно

${\displaystyle \displaystyle {2\pi |T_{1-\varepsilon }Hf(x)-H_{\varepsilon }f(x)|\leq \int _{|y|\leq \varepsilon }|f(x-y)-f(x)|\cdot |Q_{r}(y)|\,dy+\int _{|y|\geq \varepsilon }|f(x-y)-f(x)|\cdot |Q_{1}(y)-Q_{r}(y)|\,dy.}}$

Сопряженное ядро ​​Пуассона обладает двумя важными свойствами при малых ε.

${\displaystyle {\begin{aligned}\sup _{y\in [-\varepsilon ,\varepsilon ]}|Q_{1-\varepsilon }(y)|&\leq \varepsilon ^{-1}.\\\sup _{y\notin (-\varepsilon ,\varepsilon )}|Q_{1}(y)-Q_{1-\varepsilon }(y)|&\to 0.\end{aligned}}}$

Точно такие же рассуждения, как и ранее, показывают, что два интеграла стремятся к 0 при ε → 0.

Комбинируя эти две предельные формулы, получаем, что H _ε f поточечно стремится к Hf на общих точках Лебега f и Hf и, следовательно, почти всюду. ^{[36] [37] [38]}

Максимальные функции [ править ]

Большая часть теории L ^p была разработана с использованием максимальных функций и максимальных преобразований. Этот подход имеет то преимущество, что он также распространяется на пространства L ¹ в подходящем «слабом» смысле и дает уточненные оценки в пространствах L ^p при p > 1. Эти более точные оценки составляют важную часть техники, используемой в решении Леннарта Карлесона. в 1966 году гипотезы Лузина , что ряд Фурье L ² функций сходятся почти всюду. ^[39] В более рудиментарных формах этого подхода теории L ² уделяется меньше внимания: вместо этого больше внимания уделяется теории L ^1.теория, в частности ее теоретико-мерный и вероятностный аспекты; результаты для других пространств L ^p выводятся путем интерполяции между пространствами L ¹ и L ^∞ . Этот подход описан в многочисленных учебниках, в том числе в классических книгах Зигмунда (1977) и Кацнельсона (1968) . Изложение Кацнельсона следует здесь для частного случая преобразования Гильберта функций из L ¹ ( T ), случая, не охваченного приведенным выше развитием. Доказательство выпуклости Ф. Рисса , первоначально установленное Харди , устанавливается непосредственно, не прибегая кИнтерполяция Рисса – Торина . ^{[40] [41]}

Если f является функцией L ¹ на окружности, ее максимальная функция определяется формулой ^[42]

${\displaystyle \displaystyle {f^{*}(t)=\sup _{0<h\leq \pi }{1 \over 2h}\int _{t-h}^{t+h}|f(s)|\,ds.}}$

f * конечна почти всюду и относится к слабому типу L ¹ . Фактически при λ> 0, если

${\displaystyle \displaystyle {E_{f}(\lambda )=\{x:\,|f(x)|>\lambda \},\,\,f_{\lambda }=\chi _{E(\lambda )}f,}}$

затем ^[43]

${\displaystyle m(E_{f^{*}}(\lambda ))\leq {8 \over \lambda }\int _{E_{f}(\lambda )}|f|\leq {8\|f\|_{1} \over \lambda },}$