.png) (Анимация) | |||
| |||
  Ортогональные проекции, параллельные 2 противоположным ребрам, каждая с: черными и красными вершинами / черными и зелеными вершинами. Также ортогональные проекции золотых ромбоэдров | |||
  Ортогональные проекции, параллельные: 4 граням, каждая со всеми 4 видами вершин / 2 ребрами, каждая с черными и синими вершинами | |||
.png) .png) Пары золотых ромбоэдров (Анимация) |
.gif){kind=link}
В геометрии додекаэдр Билинского представляет собой выпуклый многогранник с двенадцатью конгруэнтными золотыми ромбическими гранями. Он имеет ту же топологию, но отличную от граней транзитивного ромбического додекаэдра геометрию . Это зоноэдр .
История [ править ]
Эта форма фигурирует в книге Джона Лоджа Коули 1752 года , обозначенной как dodecarhombus . [1] [2] Он назван в честь Станко Билински , который заново открыл его в 1960 году. [3] Сам Билински назвал его ромбическим додекаэдром второго рода . [4] Открытие Билински исправило упущение 75-летней давности в классификации Евграфа Федорова выпуклых многогранников с конгруэнтными ромбическими гранями. [5]
Свойства [ править ]
| степень | цвет | координаты | |
|---|---|---|---|
| 3 | красный | (0, ± 1, ± 1) | .png) |
| зеленый | (± φ, 0, ± φ) | ||
| 4 | синий | (± φ, ± 1, 0) | |
| чернить | (0, 0, ± φ 2 ) | ||
Как и его каталонский двойник , додекаэдр Билински имеет восемь вершин степени 3 и шесть степеней 4. Но из-за своей разной симметрии он имеет четыре разных типа вершин: две на «вертикальной» оси и по четыре на каждой осевой плоскости. (всего четыре вершины на «горизонтальной» осевой плоскости, всего шесть вершин на каждой из двух «вертикальных» осевых плоскостей).
Его грани представляют собой двенадцать конгруэнтных золотых ромбов трех разных типов: два с чередующимися синими и красными вершинами (передняя и задняя), два с чередующимися синими и зелеными вершинами (левая и правая) и восемь со всеми четырьмя типами вершин.
Группа симметрии этого твердого тела такая же, как у прямоугольного кубоида : D 2 h . Это подгруппа октаэдрической симметрии и состоит из восьми элементов: трех осей 2-кратной симметрии, трех плоскостей симметрии (которые также являются осевыми плоскостями этого твердого тела) и центра симметрии (поскольку 2 - четное).
Это параллелоэдр , а значит, и многогранник, заполняющий пространство .
Связь с ромбическим додекаэдром [ править ]
В статье 1962 года [6] HSM Coxeter утверждал, что додекаэдр Билинского может быть получен аффинным преобразованиемиз ромбического додекаэдра, но это неверно. Ведь в додекаэдре Билинского длинная диагональ тела параллельна коротким диагоналям двух граней и длинным диагоналям двух других граней. В ромбическом додекаэдре соответствующая диагональ тела параллельна четырем диагоналям коротких граней, и при любом аффинном преобразовании ромбического додекаэдра эта диагональ тела будет оставаться параллельной четырем диагоналям граней равной длины. Другое различие между двумя додекаэдрами состоит в том, что в ромбическом додекаэдре все диагонали тела, соединяющие противоположные вершины четвертой степени, параллельны диагоналям граней, тогда как в додекаэдре Билински более короткие диагонали тела этого типа не имеют параллельных диагоналей граней. [5]
Связанные зоноэдры [ править ]
Додекаэдр Билинского может быть образован из ромбического триаконтаэдра (другого зоноэдра с тридцатью конгруэнтными золотыми ромбическими гранями) путем удаления или сжатия двух зон или поясов из десяти и восьми золотых ромбических граней с параллельными краями. Удаление только одной зоны из десяти граней дает ромбический икосаэдр . Удаление трех зон по десять, восемь и шесть граней дает золотой ромбоэдр . [4] [5] Следовательно, удаление зоны из шести граней из додекаэдра Билинского дает золотой ромбоэдр. Додекаэдр Билинского можно разрезать на четыре золотых ромбоэдра, по два каждого типа. [7]
Вершины этих зоноэдров могут быть вычислены линейными комбинациями от 3 до 6 векторов. Ремень м п означает ремень , представляющий п направленных векторы, и содержащий (в большинстве) м coparallel конгруэнтных краев. Додекаэдр Билинского имеет 4 пояса по 6 параллельных ребер.
Эти зоноэдры представляют собой проекционные оболочки гиперкубов с n-мерным базисом проекции с золотым сечением φ. Конкретная основа для n = 6:
- х = (1, φ, 0, -1, φ, 0)
- у = (φ, 0, 1, φ, 0, -1)
- z = (0, 1, φ, 0, -1, φ)
Для n = 5 основа такая же, с удалением 6-го столбца. Для n = 4 удаляются 5-й и 6-й столбцы.
| Твердое имя | Триаконтаэдр | Икосаэдр | Додекаэдр | Шестигранник | Ромб |
|---|---|---|---|---|---|
| Полная симметрия | I h Заказать 120 | D 5d Заказать 20 | D 2h Заказать 8 | D 3d Заказать 12 | Dih 2 Заказать 4 |
| (2 (n-1)) n Ремни | 10 6 | 8 5 | 6 4 | 4 3 | 2 2 |
| n (n-1) лиц | 30 | 20 (-10) | 12 (-8) | 6 (−6) | 2 (-4) |
| 2n (n-1) ребер | 60 | 40 (-20) | 24 (-16) | 12 (-12) | 4 (-8) |
| n (n-1) +2 вершины | 32 | 22 (-10) | 14 (-8) | 8 (−6) | 4 (-4) |
| Сплошное изображение | |||||
| Изображение с параллельными краями | |||||
| Расслоение | 10 + 10 | 5 + 5 | 2 + 2 | ||
| Проективный многогранник | 6-куб | 5-куб | 4-куб | 3-куб | 2-куб |
| Проективное изображение n-куба |
Ссылки [ править ]
- ↑ Харт, Джордж У. (2000), «Цветовое рассечение ромбического эннеконтаэдра» , Симметрия: Культура и наука , 11 (1–4): 183–199, MR 2001417 CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка ).
- ^ Каули, Джон Лодж (1752), Простая геометрия; Или новое методическое объяснение элементов геометрии , Лондон, табл. 5, рис. CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка ). Цитируется Харт (2000) .
- ^ Bilinski, S. (1960), "Über умереть Rhombenisoeder", Glasnik Mat. Физ. Astr. , 15 : 251–263, Zbl 0099.15506 CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка ).
- ^ a b Кромвель, Питер Р. (1997), Многогранники: одна из самых очаровательных глав геометрии , Кембридж: Издательство Кембриджского университета , стр. 156, ISBN 0-521-55432-2, Руководство по ремонту 1458063.
- ^ a b c Грюнбаум, Бранко (2010), «Додекаэдр Билинского и различные параллелоэдры, зоноэдры, моноэдры, изозоноэдры и другие эдры», The Mathematical Intelligencer , 32 (4): 5-15, doi : 10.1007 / s00283-010- 9138-7 , ЛВП : 1773/15593 , МР 2747698 CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка ).
- ^ Coxeter, HSM (1962), "Классификация зоноэдров с помощью проективных диаграмм", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées , 41 : 137–156, MR 0141004 CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка ). Перепечатано в Coxeter, HSM (1968), Двенадцать геометрических эссе , Карбондейл, Иллинойс: Southern Illinois University Press , MR 0310745 ( Красота геометрии. Двенадцать эссе , Довер, 1999, MR 1717154 ).
- ^ "Золотой ромбоэдров" , CutOutFoldUp , извлекаться 2016-05-26 CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
Внешние ссылки [ править ]
- VRML модель, Джордж У. Харт : WWW .georgehart .com / виртуального многогранники / VRML / ромбические _dodecahedron _of _second _kind .wrl
- анимация и координаты, Дэвид И. МакКуи: dmccooey .com / polyhedra / BilinskiDodecahedron .html
- Новый ромбический додекаэдр из Хорватии! , YouTube видео Мэтта Паркера
