Четвертая функция

Уравнение четвертой степени или уравнение четвертой степени — это уравнение, приравнивающее нулю многочлен четвертой степени, вида

Иногда вместо квадратичной используется термин биквадратичная , но, как правило, биквадратичная функция относится к квадратичной функции квадрата (или, что то же самое, к функции, определяемой полиномом четвертой степени без членов нечетной степени), имеющей вид

Поскольку функция четвертого порядка определяется многочленом четной степени, она имеет тот же бесконечный предел, когда аргумент стремится к положительной или отрицательной бесконечности . Если положительно , то функция возрастает до положительной бесконечности на обоих концах; и, таким образом, функция имеет глобальный минимум . Точно так же, если a отрицательно, оно уменьшается до отрицательной бесконечности и имеет глобальный максимум. В обоих случаях он может иметь или не иметь другого локального максимума и другого локального минимума.

Четвертая степень ( случай четвертой степени ) - это наивысшая степень, при которой каждое полиномиальное уравнение может быть решено радикалами в соответствии с теоремой Абеля-Руффини .

Лодовико Феррари приписывают открытие решения квартики в 1540 году, но поскольку это решение, как и все алгебраические решения квартики, требует, чтобы было найдено решение кубики , оно не могло быть опубликовано немедленно. [2] Решение квартики было опубликовано вместе с решением куба наставником Феррари Джероламо Кардано в книге Ars Magna . [3]

Советский историк И. Я. Депман ( ru ) утверждал, что еще раньше, в 1486 году, испанский математик Вальмес был сожжен на костре за заявление о решении уравнения четвертой степени. [4] Генеральный инквизитор Томас де Торквемада якобы сказал Вальмесу, что это воля Божья, чтобы такое решение было недоступно человеческому пониманию. [5] Однако Бекманн , популяризировавший эту историю Депмана на Западе, заявил, что она недостоверна, и намекнул, что, возможно, она была придумана как советская антирелигиозная пропаганда. [6]Версия этой истории Бекмана была широко скопирована в нескольких книгах и на интернет-сайтах, обычно без его оговорок, а иногда и с причудливыми украшениями. Несколько попыток найти подтверждающие доказательства этой истории или даже существования Вальмеса не увенчались успехом. [7]

График многочлена степени 4 с 3 критическими точками и четырьмя действительными корнями (пересечениями оси x ) (и, следовательно, без комплексных корней). Если бы один или другой локальный минимум был выше оси x , или если бы локальный максимум был ниже ее, или если бы не было локального максимума и был бы один минимум ниже оси x , то было бы только два действительных корня (и два комплексных корни). Если бы все три локальных экстремума находились выше оси x или если бы не было локального максимума и был бы один минимум выше оси xоси, не было бы реального корня (и четырех комплексных корней). Те же рассуждения применимы в обратном порядке к многочлену с отрицательным коэффициентом четвертой степени.
Решение выписано полностью. Эта формула слишком громоздка для общего использования; поэтому обычно используются другие методы или более простые формулы для особых случаев. [18]