В дифференциальной геометрии , то проблема Бьёрлинг является проблема нахождения минимальной поверхности , проходящей через заданную кривую с заданными нормальными (или касательных плоскостей). Задача была поставлена и решена шведским математик Emanuel Габриэль Björling , [1] с последующим уточнением по Герман Шварц . [2]
Проблему можно решить, продолжив поверхность от кривой с помощью комплексного аналитического продолжения . Если - вещественная аналитическая кривая в определенная на интервале I , с и векторное поле вдоль c так , что а также , то минимальна следующая поверхность:
где , , а также является односвязной областью, в которую включен интервал и разложения в степенной ряд а также сходятся. [3]
Классический пример - минимальная поверхность Каталонии , проходящая через циклоидальную кривую. Применение метода к полукубической параболе дает поверхность Хеннеберга , а к окружности (с подходящим скрученным нормальным полем) - минимальную ленту Мёбиуса . [4]
Всегда существует уникальное решение. Ее можно рассматривать как задачу Коши для минимальных поверхностей, позволяющую найти поверхность, если известны геодезическая, асимптота или линии кривизны. В частности, если кривая плоская и геодезическая, то плоскость кривой будет плоскостью симметрии поверхности. [5]
Рекомендации
- ↑ EG Björling, Arch. Grunert, IV (1844), с. 290.
- ^ HA Schwarz, J. Reine Angew. Математика. 80 280-300 1875
- ^ Кай-Винг Фунг, Минимальные поверхности как изотропные кривые в C 3 : Ассоциированные минимальные поверхности и проблема Бьёрлинга. MIT BA Диссертация. 2004 г. http://ocw.mit.edu/courses/mat Mathematics/18-994-seminar-in-geometry-fall- 2004/ projects/main1.pdf
- ^ WH Микс III (1981). «Классификация полных минимальных поверхностей в R 3 с полной кривизной больше, чем.» . Герцог Математик Дж . 48 (3): 523-535. DOI : 10,1215 / S0012-7094-81-04829-8 . МР 0630583 . Zbl +0472,53010 .
- ^ Проблема Бьёрлинга. Энциклопедия математики. URL: http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Bj%C3%B6rling_problem&oldid=23196
Внешние галереи изображений
- Björling Surfaces, в архиве минимальных поверхностей Индианы: http://www.indiana.edu/~minimal/archive/Bjoerling/index.html