В математике , А алгебра Бозе-Mesner это специальный набор матриц , которые возникают из комбинаторной структуры , известная как ассоциативная схема , вместе с обычным набором правил для объединения (формирования продуктов) этих матриц, таким образом, что они образуют ассоциативный алгебра , точнее унитарная коммутативная алгебра . Среди этих правил:
- результат продукта также входит в набор матриц,
- в наборе есть единичная матрица, и
- прием продуктов коммутативен .
Алгебры Бозе – Меснера находят применение в физике для спиновых моделей и в статистике для планирования экспериментов . Они названы в честь Р. К. Боса и Дейла Марша Меснера. [1]
Определение
Пусть X - набор из v элементов. Рассмотрим разделение двухэлементных подмножеств X на n непустых подмножеств R 1 , ..., R n такое, что:
- учитывая , количество такой, что зависит только от i (а не от x ). Это число будет обозначаться v i , а
- дано с участием , количество такой, что а также зависит только от i , j и k (а не от x и y ). Это число будет обозначаться.
Эта структура улучшается путем добавления всех пар повторяющихся элементов X и сбора их в подмножество R 0 . Это усовершенствование позволяет параметрам i , j и k принимать значение нуля и позволяет некоторым из x , y или z быть равными.
Набор с таким расширенным разделом называется схемой ассоциации . [2] Можно рассматривать схему ассоциации как разбиение ребер полного графа (с множеством вершин X ) на n классов, которые часто называют классами цветов. В этом представлении в каждой вершине есть петля, и все петли имеют одинаковый 0-й цвет.
Схема ассоциации также может быть представлена алгебраически. Рассмотрим матрицы D i, определенные следующим образом:
Позволять - векторное пространство, состоящее из всех матриц , с участием сложный. [3] [4]
Определение схемы ассоциации эквивалентно утверждению, чтоявляются V × V (0,1) - матриц , которые удовлетворяют
- симметрично,
- (матрица всех единиц),
( X , y ) -я запись в левой части числа 4. - это количество двух цветных путей длиной два, соединяющих x и y (с использованием «цветов» i и j ) на графике. Обратите внимание, что строки и столбцы содержать 1 с:
Из 1. эти матрицы являются симметричными . Начиная с 2.,являются линейно независимыми , и размерность является . С 4.,замкнуто относительно умножения, а умножение всегда ассоциативно. Эта ассоциативная коммутативная алгебра называется Бозе-Mesner алгебра из схемы объединения . Поскольку матрицы всимметричны и коммутируют друг с другом, их можно одновременно диагонализовать. Это означает, что существует матрица так что каждому есть диагональная матрица с участием . Это значит, что полупроста и имеет уникальную основу из примитивных идемпотентов . Это комплексные матрицы размера n × n, удовлетворяющие
Алгебра Бозе-Mesner имеет две отличительные основы: основа , состоящая из матриц смежности , а базис из неприводимых идемпотентных матриц . По определению существуют хорошо определенные комплексные числа такие, что
а также
P-числа , а q-числа , играют важную роль в теории. [5] Они удовлетворяют четко определенным соотношениям ортогональности. В р-числа являются собственными значениями по матрице смежности .
Теорема
В собственных из а также , удовлетворяют условиям ортогональности:
Также
В матричных обозначениях это
где
Доказательство теоремы
В собственных из находятся с кратностями . Это означает, что
что доказывает уравнение и уравнение ,
что дает уравнения , а также .
Существует аналогия между расширениями ассоциативных схем и расширениями в конечных полях . Нас больше всего интересуют случаи, когда расширенные схемы определены на-я декартова степень набора на которой базовая схема ассоциации определено. Первая схема ассоциации, определенная на называется -я степень Кронекера из . Затем расширение определяется в том же наборе собирая классы . Степень Кронекера соответствует кольцу многочленов впервые определено на поле , а схема расширения соответствует полю расширения, полученному как частное. Примером такой расширенной схемы является схема Хэмминга .
Схемы ассоциации могут быть объединены, но их объединение приводит к несимметричным схемам ассоциации , тогда как все обычные коды являются подгруппами в симметричных абелевых схемах . [6] [7] [8]
Смотрите также
- Схема ассоциации
Заметки
- ^ Бозе и Меснер (1959)
- ^ Cameron & ван Линт 1991 , pp.197-198
- ^ Камион 1998
- ^ Дельсарт & Левенштейн 1998
- ^ Камион 1998
- ^ Дельсарт & Левенштейн 1998
- ^ Камион 1998
- ^ МакВильямс & Sloane 1978
Рекомендации
- Бейли, Розмари А. (2004), Схемы ассоциации: Разработанные эксперименты, алгебра и комбинаторика , Кембриджские исследования в области высшей математики, 84 , Cambridge University Press, стр. 387, ISBN 978-0-521-82446-0, MR 2047311
- Баннаи, Эйити; Ито, Тацуро (1984), Алгебраическая комбинаторика I: схемы ассоциаций , Менло-Парк, Калифорния: Benjamin / Cummings Publishing Co., Inc., стр. Xxiv + 425, ISBN 0-8053-0490-8, Руководство по ремонту 0882540
- Баннаи, Эцуко (2001), "Бозе-Mesner алгебры , связанные с спиновых моделей четырех весовых", графов и комбинаторика , 17 (4): 589-598, DOI : 10.1007 / PL00007251 , S2CID 41255028
- Bose, R.C . ; Mesner, Д. М. (1959), "О линейных ассоциативных алгебр , соответствующих схем ассоциации частично сбалансированных конструкций" , Анналы математической статистики , 30 (1): 21-38, DOI : 10,1214 / АОМ / 1177706356 , JSTOR 2237117 , MR 0102157
- Cameron, P.J .; ван Линт, Дж. Х. (1991), Конструкции, графики, коды и их связи , Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN 0-521-42385-6
- Camion, P. (1998), «Коды и схемы ассоциации: основные свойства схем ассоциации, относящиеся к кодированию», в Pless, V. S .; Хаффман, У. К. (ред.), Справочник по теории кодирования , Нидерланды: Elsevier
- Delsarte, P .; Левенштейн В. И. (1998), "схема ассоциации и теория кодирования", IEEE Transactions по теории информации , 44 (6): 2477-2504, DOI : 10,1109 / 18,720545
- MacWilliams, FJ; Слоан, Н. Дж. А. (1978), Теория кодов с исправлением ошибок , Нью-Йорк: Elsevier
- Nomura, К. (1997), "Алгебра , связанная со спиновой моделью", журнал алгебраической комбинаторики , 6 (1): 53-58, DOI : 10,1023 / A: 1008644201287