Проблема с пушечным ядром

Квадратная пирамида из пушечных ядер в квадратной рамке

В математике фигурных чисел , то проблема пушечной спрашивает , какие числа являются квадратом и квадрат пирамидальными . Задача может быть сформулирована так: при квадратном расположении ядер, для квадратов какого размера эти пушечные ядра также могут быть расположены в квадратную пирамиду. Эквивалентно, какие квадраты могут быть представлены как сумма последовательных квадратов, начиная с 1.

Формулировка в виде диофантова уравнения [ править ]

Когда ядра уложены в квадратную рамку, количество шаров является пирамидальным числом в квадрате; Томас Харриот дал формулу для этого числа около 1587 года, отвечая на вопрос, заданный ему сэром Уолтером Рэли во время их экспедиции в Америку. ^[1] Эдуард Лукас сформулировал задачу о пушечном ядре как диофантово уравнение.

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {N} n ^ {2} = M ^ {2}}$

или же

${\ displaystyle {\ frac {1} {6}} N (N + 1) (2N + 1) = {\ frac {2N ^ {3} + 3N ^ {2} + N} {6}} = M ^ {2}.}$

Решение [ править ]

Лукас предположил, что единственными решениями являются N = 1, M = 1 и N = 24, M = 70, с использованием 1 или 4900 ядер. Лишь в 1918 г. Г. Н. Ватсон нашел доказательство этого факта, используя эллиптические функции . Совсем недавно были опубликованы элементарные доказательства . ^{[2] [3]}

Приложения [ править ]

Решение N = 24, M = 70 можно использовать для построения решетки пиявки . Результат имеет отношение к теории бозонных струн в 26 измерениях. ^[4]

Хотя можно выложить геометрический квадрат неравными квадратами , это невозможно сделать с помощью решения проблемы с пушечным ядром. Квадраты с длиной стороны от 1 до 24 имеют площадь, равную квадрату со стороной 70, но их нельзя расположить так, чтобы они были выложены плиткой.

Связанные проблемы [ править ]

Единственные числа, которые одновременно являются треугольными и квадратно-пирамидальными, это 1, 55, 91 и 208335. ^{[5] [6]}

Нет чисел (кроме тривиального решения 1), которые были бы одновременно тетраэдрическими и квадратно-пирамидальными. ^[6]

См. Также [ править ]

• Квадратное треугольное число , числа одновременно квадратные и треугольные.
• Шестая степень , числа одновременно квадратные и кубические.
• Плотная упаковка равных сфер

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. "Проблема пушечного ядра" . MathWorld .