В математике , в картановские-Ambrose-Хикс теорема является теоремой римановой геометрии , согласно которому риманова метрика локально определяется тензором кривизны Римана , или, другими словами, поведение тензора кривизны при параллельном переносе определяет метрику.
Теорема названа в честь Эли Картана , Уоррена Амброуза и его аспиранта Ноэля Хикса. [1] Картан доказал локальную версию. Амброуз доказал глобальную версию, которая допускает изометрии между общими римановыми многообразиями переменной кривизны в 1956 году. [2] В 1959 году Хикс обобщил ее на общие многообразия с аффинными связностями в их касательных расслоениях [3]
Формулировку и доказательство теоремы можно найти в [4].
Вступление
Позволять быть связными полными римановыми многообразиями. Позволять, и разреши
- линейная изометрия . Для достаточно малых, экспоненциальные отображения
являются локальными диффеоморфизмами. Здесь, мяч сосредоточен на радиуса Затем определяется диффеоморфизм от
Для геодезической с участием , сопоставляет его с геодезической с участием ,. Позволятьбыть параллельным транспортом по (определяется связью Леви-Чивита ), и быть параллельным транспортом по . Затем мы определяем
для .
Теорема Картана
Первоначальная теорема, доказанная Картаном, является локальной версией теоремы Картана – Амброуза – Хикса. В нем говорится, что является (локальной) изометрией, если для всех геодезических с участием и все , у нас есть , где являются тензорами кривизны Римана .
Обратите внимание, что в общем случае не обязательно диффеоморфизм, а только локально изометрическое накрывающее отображение . Тем не мение, должна быть глобальной изометрией, если просто связано.
Теорема Картана – Амброуза – Хикса.
Теорема : для тензоров кривизны Римана и все ломаные геодезические (ломаная геодезическая - это кусочно-геодезическая кривая) с участием ,
для всех .
Тогда, если две ломаные геодезические, начинающиеся в имеют ту же конечную точку, то соответствующие сломанные геодезические (отображаемые ) в также имеют ту же конечную точку. Итак, существует карта
путем сопоставления сломанных геодезических конечных точек в к соответствующим геодезическим конечным точкам в .
Карта является локально изометрическим накрывающим отображением.
Если тоже односвязно, то это изометрия.
Локально-симметричные пространства
Риманово многообразие называется локально симметричным, если его тензор римановой кривизны инвариантен относительно параллельного переноса:
Односвязное риманово многообразие локально симметрично, если оно является симметричным пространством .
Из теоремы Картана – Амброуза – Хикса имеем:
Теорема . Пусть - связные полные локально симметричные римановы многообразия, и пусть быть просто связным. Пусть их тензоры кривизны Римана равны. Позволять а также
- линейная изометрия с . Тогда существует локально изометрическое накрывающее отображение
с участием а также .
Следствие : любое полное локально симметричное пространство имеет вид для симметричного пространства а также является дискретной подгруппой изометрий.
Классификация космических форм
Как приложение теоремы Картана – Амброуза – Хикса, любое односвязное полное риманово многообразие с постоянной секционной кривизной соответственно изометрично n- сфере , n -евклидово пространство , а n -гиперболическое пространство .
Рекомендации
- ^ Проект "Математическая генеалогия" , запись для Ноэля Джастина Хикса
- ^ Амвросий, W. (1956). «Параллельный перенос римановой кривизны». Анналы математики . JSTOR. 64 (2): 337. DOI : 10,2307 / 1969978 . ISSN 0003-486X .
- ^ Хикс, Ноэль (1959). «Теорема об аффинных связях» . Иллинойсский журнал математики . 3 (2): 242–254. DOI : 10.1215 / IJM / 1255455125 . ISSN 0019-2082 .
- ^ Чигер, Джефф; Эбин, Дэвид Г. (2008). «Глава 1, раздел 12, Теорема Картана – Амброуза – Хикса». Теоремы сравнения в римановой геометрии . Провиденс, Род-Айленд: AMS Chelsea Pub. ISBN 0-8218-4417-2. OCLC 185095562 .