В математике , в частности , в изучении обыкновенных дифференциальных уравнений , то теорема существования Пеано , теорема Пеана или теорема Коши-Пеано , названная в честь Джузеппе Пеано и Огюстен Луи Коши , является фундаментальной теоремой , которая гарантирует существование решений для некоторых начальных задач .
История
Пеано впервые опубликовал теорему в 1886 году с неверным доказательством. [1] В 1890 году он опубликовал новое правильное доказательство, использующее последовательные приближения. [2]
Теорема
Пусть D - открытое подмножество R × R с
непрерывная функция и
непрерывное , явный дифференциальное уравнение первого порядка , определенное на D , то каждая начальная задача
для f с имеет локальное решение
где является соседство из в , такое что для всех . [3]
Решение не обязательно должно быть уникальным: одно и то же начальное значение ( x 0 , y 0 ) может привести к множеству различных решений z .
Связанные теоремы
Теорему Пеано можно сравнить с другим результатом существования в том же контексте, теоремой Пикара – Линделёфа . Теорема Пикара – Линделёфа предполагает и больше, и делает больше выводов. Это требует липшицевой непрерывности , в то время как теорема Пеано требует только непрерывности; но он доказывает как существование, так и единственность там, где теорема Пеано доказывает только существование решений. Для иллюстрации рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение
- на домене
Согласно теореме Пеано, это уравнение имеет решения, но теорема Пикара – Линделёфа неприменима, поскольку правая часть не является липшицевой ни в какой окрестности, содержащей 0. Таким образом, мы можем заключить существование, но не единственность. Оказывается, что это обыкновенное дифференциальное уравнение имеет два вида решений, начиная с, либо или же . Переход между а также может произойти при любом C.
Теорема Каратеодорьте существование является обобщением теоремы Пеано существования с более слабыми , чем условиями непрерывности.
Заметки
- ^ Пеано, Г. (1886). "Sull'integrabilità delle Equazioni Differenziali del primo ordine" . Atti Accad. Sci. Турин . 21 : 437–445.
- ^ Пеано, Г. (1890). "Demonstration de l'intégrabilité des équations différentielles ordinaires". Mathematische Annalen . 37 (2): 182–228. DOI : 10.1007 / BF01200235 .
- ^ ( Коддингтон и Левинсон 1955 , стр. 6)
Рекомендации
- Осгуд, У. Ф. (1898 г.). "Beweis der Existenz einer Lösung der Differentialgleichung dy / dx = f (x, y) ohne Hinzunahme der Cauchy-Lipschitzchen Bedingung". Monatshefte für Mathematik . 9 : 331–345.
- Коддингтон, Эрл А .; Левинсон, Норман (1955). Теория обыкновенных дифференциальных уравнений . Нью-Йорк: Макгроу-Хилл .
- Мюррей, Фрэнсис Дж .; Миллер, Кеннет С. (1976) [1954]. Теоремы существования обыкновенных дифференциальных уравнений (Переиздание). Нью-Йорк: Кригер.
- Тешл, Джеральд (2012). Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы . Провиденс : Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-8328-0.