Круговой ансамбль

В теории случайных матриц , то круговые ансамбли являются меры на пространствах унитарных матриц , введенных Freeman Dyson , как модификации гауссовых матричных ансамблей . ^[1] Три основных примера - круговой ортогональный ансамбль (COE) на симметричных унитарных матрицах, круговой унитарный ансамбль (CUE) на унитарных матрицах и круговой симплектический ансамбль (CSE) на самодуальных унитарных кватернионных матрицах.

Распределения вероятностей [ править ]

Распределение унитарного кругового ансамбля CUE ( n ) является мерой Хаара на унитарной группе U (n) . Если U - случайный элемент из CUE ( n ), то U ^T U - случайный элемент из COE ( n ); если U - случайный элемент из CUE ( 2n ), то U ^R U - случайный элемент из CSE ( n ), где

U^{R}=\left({\begin{array}{ccccccc}0&-1&&&&&\\1&0&&&&&\\&&0&-1&&&\\&&1&0&&&\\&&&&\ddots &&\\&&&&&0&-1\\&&&&&1&0\end{array}}\right)U^{T}\left({\begin{array}{ccccccc}0&1&&&&&\\-1&0&&&&&\\&&0&1&&&\\&&-1&0&&&\\&&&&\ddots &&\\&&&&&0&1\\&&&&&-1&0\end{array}}\right)~.

Каждый элемент кругового ансамбля является унитарной матрицей, поэтому он имеет собственные значения на единичной окружности: с для k = 1,2, ... n , где также известны как собственные углы или собственные фазы . В CSE каждое из этих n собственных значений появляется дважды. Распределения имеют плотности относительно собственных углов, определяемые выражением $\lambda _{k}=e^{i\theta _{k}}$ $0\leq \theta _{k}<2\pi$ $\theta _{k}$

p(\theta _{1},\cdots ,\theta _{n})={\frac {1}{Z_{n,\beta }}}\prod _{1\leq k<j\leq n}|e^{i\theta _{k}}-e^{i\theta _{j}}|^{\beta }~

on (симметризованная версия), где β = 1 для COE, β = 2 для CUE и β = 4 для CSE. Константа нормировки Z _{n, β} определяется выражением $\mathbb {R} _{[0,2\pi ]}^{n}$

Z_{n,\beta }=(2\pi )^{n}{\frac {\Gamma (\beta n/2+1)}{\left(\Gamma (\beta /2+1)\right)^{n}}}~,

что можно проверить с помощью интегральной формулы Сельберга или интегральной формулы Вейля для компактных групп Ли.

Обобщения [ править ]

Обобщения кругового ансамбля ограничивают матричные элементы U действительными числами [так, что U находится в ортогональной группе O (n) ] или действительными числами кватернионов [так, что U находится в симплектической группе Sp (2n) . Мера Хаара на ортогональной группе дает круговой вещественный ансамбль (CRE), а мера Хаара на симплектической группе дает круговой ансамбль кватернионов (CQE).

Собственные значения ортогональных матриц входят в комплексно сопряженные пары и , возможно, дополняются собственными значениями, фиксированными на +1 или -1 . Для четного n = 2m и det U = 1 фиксированных собственных значений нет, а фазы θ _k имеют распределение вероятностей ^[2] $e^{i\theta _{k}}$ $e^{-i\theta _{k}}$

p(\theta _{1},\cdots ,\theta _{m})=C\prod _{1\leq k<j\leq m}(\cos \theta _{k}-\cos \theta _{j})^{2}~,

с C - неопределенная константа нормализации. Для нечетного n = 2m + 1 существует одно фиксированное собственное значение σ = det U, равное ± 1. Фазы имеют распределение

p(\theta _{1},\cdots ,\theta _{m})=C\prod _{1\leq i\leq m}(1-\sigma \cos \theta _{i})\prod _{1\leq k<j\leq m}(\cos \theta _{k}-\cos \theta _{j})^{2}~.

Для n = 2m + 2 четных и det U = -1 существует пара собственных значений, фиксированных на +1 и -1 , в то время как фазы имеют распределение

p(\theta _{1},\cdots ,\theta _{m})=C\prod _{1\leq i\leq m}(1-\cos ^{2}\theta _{i})\prod _{1\leq k<j\leq m}(\cos \theta _{k}-\cos \theta _{j})^{2}~.

Это также распределение собственных значений матрицы в Sp (2m) .

Эти функции плотности вероятности называются распределениями Якоби в теории случайных матриц, поскольку корреляционные функции могут быть выражены через полиномы Якоби .

Расчеты [ править ]

Средние произведения матричных элементов в круговых ансамблях можно вычислить с помощью функций Вейнгартена . Для большой размерности матрицы эти вычисления становятся непрактичными, и численный метод является предпочтительным. Существуют эффективные алгоритмы для генерации случайных матриц в кольцевых ансамблях, например, путем выполнения QR-разложения на матрице Жинибра. ^[3]

Ссылки [ править ]

^ FM Дайсон (1962). «Тройной путь. Алгебраическое строение групп и ансамблей симметрии в квантовой механике». Журнал математической физики . 3 (6): 1199. Bibcode : 1962JMP ..... 3.1199D . DOI : 10.1063 / 1.1703863 .
^ VL Гирько (1985). «Распределение собственных значений и собственных векторов ортогональных случайных матриц». Украинский математический журнал . 37 (5): 457. DOI : 10.1007 / bf01061167 .
^ F. Mezzadri (2007). «Как генерировать случайные матрицы из классических компактных групп» (PDF) . Уведомления AMS . 54 : 592. arXiv : math-ph / 0609050 . Bibcode : 2006math.ph ... 9050M .

Программные реализации [ править ]

"Круговые ансамбли Wolfram Mathematica" . Язык Wolfram Language .
Суэцен, Мехмет (2017). «Бристоль: пакет Python для ансамблей случайных матриц (параллельная реализация генерации круговых ансамблей)». DOI : 10.5281 / zenodo.579642 . Cite journal requires |journal= (help)
- «Бристоль: пакет Python для случайных матричных ансамблей» . pypi .

Внешние ссылки [ править ]

Мехта, Мадан Лал (2004), Случайные матрицы , Чистая и прикладная математика (Амстердам), 142 (3-е изд.), Elsevier / Academic Press, Амстердам, ISBN 978-0-12-088409-4, Руководство по ремонту 2129906
Форрестер, Питер Дж. (2010), Лог-газы и случайные матрицы , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-12829-0

[1] FM Дайсон (1962). «Тройной путь. Алгебраическое строение групп и ансамблей симметрии в квантовой механике». Журнал математической физики . 3 (6): 1199. Bibcode : 1962JMP ..... 3.1199D . DOI : 10.1063 / 1.1703863 .

[2] VL Гирько (1985). «Распределение собственных значений и собственных векторов ортогональных случайных матриц». Украинский математический журнал . 37 (5): 457. DOI : 10.1007 / bf01061167 .

[3] F. Mezzadri (2007). «Как генерировать случайные матрицы из классических компактных групп» (PDF) . Уведомления AMS . 54 : 592. arXiv : math-ph / 0609050 . Bibcode : 2006math.ph ... 9050M .

[1]