Факторный стек

В алгебраической геометрии фактор-стек - это стек, который параметризует эквивариантные объекты. Геометрически он обобщает фактор-схему схемы или многообразия по группе: фактормногообразие, скажем, было бы грубой аппроксимацией фактор-стека.

Это понятие имеет фундаментальное значение при изучении стеков: стек, который возникает в природе, часто либо сам является частным стеком, либо допускает стратификацию по частным стекам (например, стек Делиня-Мамфорда ). Факторный стек также используется для построения другие стеки, например классифицирующие стеки .

Определение [ править ]

Факторный стек определяется следующим образом. Пусть G - аффинная гладкая групповая схема над схемой S, а X - S -схема, на которой G действует . Пусть - категория над категорией S -схем: ${\ Displaystyle [X / G]}$

объект над T является главным G- расслоением вместе с эквивариантным отображением ; ${\ displaystyle P \ to T}$ ${\ displaystyle P \ to X}$
стрелка из в является отображением расслоения (т. е. образует коммутативную диаграмму), которое совместимо с эквивариантными отображениями и . ${\ displaystyle P \ to T}$ ${\ displaystyle P '\ to T'}$ ${\ displaystyle P \ to X}$ ${\ displaystyle P '\ to X}$

Предположим, фактор существует как алгебраическое пространство (например, по теореме Киля – Мори ). Каноническая карта ${\ Displaystyle X / G}$

{\ Displaystyle [X / G] \ к X / G}

,

который отправляет расслоение P над T в соответствующую T -точку, ^[1] не обязательно должен быть изоморфизмом стеков; то есть пространство «X / G» обычно более грубое. Каноническое отображение является изоморфизмом тогда и только тогда , когда стабилизаторы являются тривиальными (в этом случае существует.) ^[^{Править}^] ${\ Displaystyle X / G}$

Обычно это стек Артина (также называемый алгебраическим стеком). Если стабилизаторы геометрических точек конечны и редуцированы, то это стек Делиня – Мамфорда . ${\ Displaystyle [X / G]}$

Берт Тотаро ( 2004 ) показал: пусть X - нормальный нетеров алгебраический стек, группы стабилизаторов которого в замкнутых точках аффинны. Тогда X является частным стеком тогда и только тогда, когда он обладает свойством разрешения ; т. е. каждый когерентный пучок является фактором векторного расслоения. Ранее Роберт Уэйн Томасон доказал, что фактор-стек обладает свойством разрешающей способности.

Примеры [ править ]

Эффективное фактор- орбифолд , например, в котором действие имеет только конечные стабилизаторы на гладком пространстве , является примером фактор-стека. ^[2] ${\ displaystyle [M / G]}$ ${\ displaystyle G}$ $M$

Если с тривиальным действием G (часто S является точкой), то называется стек классифицируя из G (по аналогии с сортировочным пространством в G ) и обычно обозначаются через BG . Теорема Бореля описывает кольцо когомологий классифицирующего стека. $X=S$ $[S/G]$

Пример: ^[3] Пусть L - кольцо Лазара ; то есть . Тогда стек частных по , $L=\pi _{*}\operatorname {MU}$ $[\operatorname {Spec} L/G]$ $G$

G(R)=\{g\in R[\![t]\!]|g(t)=b_{0}t+b_{1}t^{2}+\cdots ,b_{0}\in R^{\times }\}

,

называется стеком модулей формальных групповых законов и обозначается через . ${\mathcal {M}}_{\text{FG}}$

См. Также [ править ]

Гомотопический фактор
Стек модулей главных пучков (который, грубо говоря, представляет собой бесконечное произведение классифицирующих стеков.)
Групповая схема действия

Ссылки [ править ]

^ Т - точечный получаются путем заполнения диаграммы. $T\leftarrow P\to X\to X/G$
^ Орбифолды и струнная топология . Определение 1.7: Кембриджские трактаты по математике. п. 4.CS1 maint: location (link)
^ Взято из http://www.math.harvard.edu/~lurie/252xnotes/Lecture11.pdf

Делинь, Пьер ; Мамфорд, Дэвид (1969), "Неприводимость пространства кривых данного рода" , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 36 (36): 75–109, CiteSeerX 10.1.1.589.288 , doi : 10.1007 / BF02684599 , MR 0262240
Тотаро, Берт (2004). «Свойство разрешения для схем и стопок». Journal für die reine und angewandte Mathematik . 577 : 1–22. arXiv : math / 0207210 . DOI : 10.1515 / crll.2004.2004.577.1 . Руководство по ремонту 2108211 .

Некоторые другие ссылки

Беренд, Кай (1991). Формула следа Лефшеца для стека модулей главных расслоений (PDF) (Диссертация). Калифорнийский университет в Беркли.
Эдидин, Дан. «Заметки о построении пространства модулей кривых» (PDF) .

[1] Т - точечный получаются путем заполнения диаграммы. $T\leftarrow P\to X\to X/G$

[2] Орбифолды и струнная топология . Определение 1.7: Кембриджские трактаты по математике. п. 4.CS1 maint: location (link)

[3] Взято из http://www.math.harvard.edu/~lurie/252xnotes/Lecture11.pdf

[1]