В математике , особенно в алгебраической геометрии и теории комплексных многообразий , когерентные пучки - это класс пучков, тесно связанных с геометрическими свойствами основного пространства. Определение когерентных пучков дается со ссылкой на пучок колец, который кодифицирует эту геометрическую информацию.
Когерентные пучки можно рассматривать как обобщение векторных расслоений . В отличие от векторных расслоений, они образуют абелеву категорию и поэтому закрываются при таких операциях, как взятие ядер , изображений и коядров . В квазикогерентных пучках являются обобщением когерентных пучков и включают в себя локально свободные пучки ранга.
Когерентные пучки когомологии - мощный метод, в частности, для изучения сечений данного когерентного пучка.
Определения
Квази-когерентный пучок на кольчатое пространстве это связка из - модули, которые имеют локальное представление, то есть каждую точку в имеет открытый район в котором есть точная последовательность
для некоторых (возможно, бесконечных) множеств а также .
Когерентный пучок на кольчатое пространстве это связка удовлетворяющий следующим двум свойствам:
- имеет конечный тип над, то есть каждая точка в имеет открытый район в такой, что существует сюръективный морфизм для некоторого натурального числа ;
- для любого открытого набора , любое натуральное число , и любой морфизм из -модули, ядро имеет конечный тип.
Морфизмы между (квази) когерентными пучками такие же, как морфизмы пучков -модули.
Случай схем
Когда является схемой, приведенные выше общие определения эквивалентны более явным. Связка из -модули квазикогерентны тогда и только тогда, когда над каждой открытой аффинной подсхемой ограничение изоморфен пучку связанный с модулем над . Когда является локально нётеровой схемой, является когерентным тогда и только тогда , когда она квазикогерентная и модулиприведенное выше можно считать конечно порожденным .
По аффинной схеме , существует эквивалентность категорий из-модули в квазикогерентные пучки, принимая модуль к ассоциированной связке . Для обратной эквивалентности используется квазикогерентный пучок на к -модуль глобальных разделов .
Вот еще несколько характеристик квазикогерентных пучков на схеме. [1]
Теорема - Пусть быть схемой и ан -модуль на нем. Тогда следующие эквивалентны.
- квазикогерентен.
- Для каждой открытой аффинной подсхемы из , изоморфен как -модуль к связке связаны с некоторыми -модуль .
- Есть открытая аффинная обложка из так что для каждого обложки, изоморфен пучку, ассоциированному с некоторым -модуль.
- Для каждой пары открытых аффинных подсхем из , естественный гомоморфизм
- является изоморфизмом.
- Для каждой открытой аффинной подсхемы из и каждый , письмо для открытой подсхемы где не равен нулю, естественный гомоморфизм
- является изоморфизмом. Гомоморфизм проистекает из универсального свойства локализации .
Характеристики
На произвольном кольцевом пространстве квазикогерентные пучки не обязательно образуют абелеву категорию. С другой стороны, квазикогерентные пучки на любой схеме образуют абелеву категорию, и они чрезвычайно полезны в этом контексте. [2]
На любом окольцованном пространстве когерентные пучки образуют абелеву категорию, полную подкатегорию категории-модули. [3] (Аналогично, категория когерентных модулей над любым кольцом является полной абелевой подкатегорией категории всех -модули.) Таким образом, ядро, образ и коядро любой карты когерентных пучков когерентны. Прямая сумма двух когерентных пучков является когерентным; в более общем плане-модуль, являющийся продолжением двух когерентных пучков, когерентен. [4]
Подмодуль когерентного пучка когерентен, если он конечного типа. Связный пучок всегда-модуль конечного представления , означающий, что каждая точка в имеет открытый район так что ограничение из к изоморфно коядру морфизма для некоторых натуральных чисел а также . Если когерентно, то, наоборот, каждый пучок конечного представления над логично.
Связка колец называется когерентным, если он когерентен, рассматриваемый как пучок модулей над собой. В частности, теорема Ока о когерентности утверждает, что пучок голоморфных функций на комплексном аналитическом пространствепредставляет собой когерентный пучок колец. Основная часть доказательства - это случай. Точно так же по локальной нётеровой схеме , структурный пучок представляет собой когерентный пучок колец. [5]
Основные конструкции когерентных пучков
- An -модуль на окольцованном пространстве называется локально свободным конечного ранга или векторным расслоением , если каждая точка в имеет открытый район так что ограничение изоморфна конечной прямой сумме копий . Если не имеет того же ранга около каждой точки , то векторное расслоение считается имеющим ранг .
- Векторные расслоения в теоретико-пучковом смысле над схемой эквивалентны векторным расслоениям, определенным более геометрическим способом, как схема с морфизмом и с покрытием из открытыми наборами с заданными изоморфизмами над такой, что два изоморфизма над пересечением отличаются линейным автоморфизмом. [6] (Аналогичная эквивалентность верна и для комплексных аналитических пространств.) Например, для векторного расслоения в этом геометрическом смысле соответствующий пучок определяется: над открытым множеством из , то -модуль - множество секций морфизма . Теоретико-пучковая интерпретация векторных расслоений имеет то преимущество, что векторные расслоения (по локально нётеровой схеме) включены в абелеву категорию когерентных пучков.
- Местно свободные шкивы поставляются со стандартными -модульные операции, но они возвращают локально свободные связки. [ расплывчато ]
- Позволять , кольцо Нётериана. Тогда векторные расслоения на- это в точности пучки, ассоциированные с конечно порожденными проективными модулями над, или (что эквивалентно) конечно порожденным плоским модулям над. [7]
- Позволять , нётерианец -градуированное кольцо, - проективная схема над нётеровым кольцом. Тогда каждый-квалифицированный -модуль определяет квазикогерентный пучок на такой, что связка, связанная с -модуль , где является однородным элементом положительной степени и это место, где не пропадает.
- Например, для каждого целого числа , позволять обозначить градуированный -модуль предоставлен . Тогда каждый определяет квазикогерентный пучок на . Если генерируется как -алгебра , тогда является линейным расслоением (обратимым пучком) на а также это -я тензорная степень . В частности,называется тавтологическим линейным расслоением на проективном-космос.
- Простой пример связного пучка на которое не является векторным расслоением, задается коядром в следующей последовательности
- это потому что ограничивается исчезающим множеством двух многочленов нулевым объектом.
- Идеальные связки : Если замкнутая подсхема локально нётеровой схемы , связка всех регулярных функций, исчезающих на логично. Аналогично, если замкнутое аналитическое подпространство комплексного аналитического пространства , идеальная связка логично.
- Пучок конструкции закрытой подсхемы местной нётеровой схемы можно рассматривать как связный пучок на . Если быть точным, это прямой пучок изображений , где это включение. То же самое для замкнутого аналитического подпространства комплексного аналитического пространства. Связка имеет слой (определенный ниже) нулевой размерности в точках открытого множества , и слой размерности 1 в точках . Имеется короткая точная последовательность когерентных пучков на:
- Большинство операций линейной алгебры сохраняют когерентные пучки. В частности, для когерентных пучков а также на окольцованном пространстве , пучок тензорных произведенийи пучок гомоморфизмов последовательны. [8]
- Простой не пример квазикогерентного пучка дает расширение с помощью нулевого функтора. Например, рассмотрим для
- Поскольку этот пучок имеет нетривиальные слои, но нулевые глобальные сечения, он не может быть квазикогерентным пучком. Это связано с тем, что квазикогерентные пучки на аффинной схеме эквивалентны категории модулей над нижележащим кольцом, а присоединение происходит от взятия глобальных секций.
Функциональность
Позволять - морфизм окольцованных пространств (например, морфизм схем ). Если является квазикогерентным пучком на , то прообраз -модуль (или откат ) квазикогерентен на . [10] Для морфизма схем и связный пучок на , откат не является последовательным в полной общности (например, , которые могут быть некогерентными), но обратные сигналы когерентных пучков когерентны, если является локально нётерским. Важным частным случаем является возврат векторного расслоения, которое является векторным расслоением.
Если является квазикомпактным квазиразделенным морфизмом схем и является квазикогерентным пучком на , то прямая связка изображений (или прямая передача ) квазикогерентен на . [2]
Прямое изображение связного пучка часто бывает некогерентным. Например, для поля , позволять быть аффинной линией над , и рассмотрим морфизм ; тогда прямое изображение это связка на связанный с кольцом многочленов , что не является когерентным, потому что имеет бесконечное измерение как -векторное пространство. С другой стороны, прямое изображение связного пучка при правильном морфизме является когерентным, согласно результатам Грауэрта и Гротендика .
Локальное поведение когерентных пучков
Важная особенность когерентных пучков в том, что свойства в какой-то момент контролировать поведение в районе , больше, чем было бы для произвольного пучка. Например, лемма Накаямы говорит (на геометрическом языке), что если является когерентным пучком на схеме , то волокно из в какой-то момент (векторное пространство над полем вычетов ) равен нулю тогда и только тогда, когда пучок равен нулю в некоторой открытой окрестности точки . С этим связан факт, что размерность слоев когерентного пучка полунепрерывна сверху . [11] Таким образом, когерентный пучок имеет постоянный ранг на открытом множестве, в то время как ранг может увеличиваться на замкнутом подмножестве меньшей размерности.
В том же духе: связная связка по схеме является векторным расслоением тогда и только тогда, когда его стебель является свободным модулем над локальным кольцом за каждую точку в . [12]
По общей схеме нельзя определить, является ли когерентный пучок векторным расслоением, только по его слоям (в отличие от его стеблей). Однако в редуцированной локально нётеровой схеме когерентный пучок является векторным расслоением тогда и только тогда, когда его ранг локально постоянен. [13]
Примеры векторных расслоений
Для морфизма схем , позволять - диагональный морфизм , который является замкнутым погружением, еслибудет отделен над. Позволять быть идеальным пучком в . Тогда пучок дифференциалов можно определить как откат из к . Сечения этого пучка называются 1-формами на над , и их можно записать локально на в виде конечных сумм для обычных функций а также . Если локально конечного типа над полем , тогда является связным пучком на .
Если является гладкой над, тогда (имея в виду ) - векторное расслоение над , Называется котангенс пучок из. Тогда касательное расслоение определяется как дуальное расслоение . Для сглаживать измерения везде касательное расслоение имеет ранг .
Если гладкая замкнутая подсхема гладкой схемы над , то существует короткая точная последовательность векторных расслоений на :
которое можно использовать как определение нормального расслоения к в .
Для плавной схемы над полем и натуральное число , векторное расслоение от я -формы на определяется как -я внешняя степень котангенсного пучка,. Для мягкого разнообразия измерения над , канонический пучок означает линейный пакет . Таким образом, сечения канонического расслоения являются алгебро-геометрическими аналогами форм объема на. Например, сечение канонического расслоения аффинного пространства над можно записать как
где - многочлен с коэффициентами в .
Позволять коммутативное кольцо и натуральное число. Для каждого целого числа, есть важный пример линейного расслоения на проективном пространстве над , называется . Чтобы определить это, рассмотрим морфизм-схемы
задано в координатах . (То есть, думая о проективном пространстве как о пространстве одномерных линейных подпространств аффинного пространства, отправьте ненулевую точку в аффинном пространстве на линию, которую оно охватывает.) над открытым подмножеством из определяется как регулярная функция на однородный по степени , означающий, что
как обычные функции на (. Для всех целых чисел а также , существует изоморфизм линейных пучков на .
В частности, каждый однородный многочлен ин степени над можно рассматривать как глобальный раздел над . Обратите внимание, что любую замкнутую подсхему проективного пространства можно определить как нулевое множество некоторого набора однородных многочленов, следовательно, как нулевое множество некоторых сечений линейных расслоений. [14] Это контрастирует с более простым случаем аффинного пространства, где замкнутая подсхема - это просто нулевое множество некоторого набора регулярных функций. Регулярные функции на проективном пространстве над являются просто «константами» (кольцо ), поэтому очень важно работать с линейными пучками .
Серр дал алгебраическое описание всех когерентных пучков в проективном пространстве, более тонкое, чем то, что происходит в аффинном пространстве. А именно пусть - нётерово кольцо (например, поле), и рассмотрим кольцо многочленов как градуированное кольцо с каждым степени 1. Тогда каждая конечно порожденная градуированная -модуль имеет связанный когерентный пучок на над . Каждая связная связка на возникает таким образом из конечно порожденной градуированной -модуль . (Например, линейный пакет связка, связанная с -модуль с пониженной оценкой на .) Но -модуль что дает заданный когерентный пучок на не уникален; он уникален только до измененияградуированными модулями, отличными от нуля лишь в конечном числе степеней. Точнее, абелева категория когерентных пучков наявляется фактором из категории конечно градуированных-модули подкатегорией Серра модулей, отличных от нуля лишь в конечном числе степеней. [15]
Касательное расслоение проективного пространства над полем можно описать в терминах линейного пакета . А именно, существует короткая точная последовательность, последовательность Эйлера :
Отсюда следует, что каноническое расслоение (двойственное к детерминантному линейному расслоению касательного расслоения) изоморфно. Это фундаментальный расчет для алгебраической геометрии. Например, тот факт, что каноническое расслоение является отрицательным кратным обильному линейному расслоению означает, что проективное пространство является многообразием Фано . По комплексным числам это означает, что проективное пространство имеет кэлерову метрику с положительной кривизной Риччи .
Векторные расслоения на гиперповерхности
Рассмотрим гладкую степень- гиперповерхность определяется однородным многочленом степени . Тогда существует точная последовательность
где вторая карта - это откат дифференциальных форм, а первая карта отправляет
Обратите внимание, что эта последовательность говорит нам, что конормальный пучок в . Дуализация этого дает точную последовательность
следовательно это нормальный пучок в . Если мы воспользуемся тем фактом, что дана точная последовательность
векторных расслоений с рангами ,,, существует изоморфизм
линейных расслоений, то мы видим, что существует изоморфизм
показывая это
Конструкция Серра и векторные расслоения
Одним из полезных методов построения векторных расслоений ранга 2 является конструкция Серра [16] [17] pg 3, которая устанавливает соответствие между векторными расслоениями ранга 2 на гладком проективном многообразии и коразмерности 2 подмногообразий используя определенные -группа рассчитана на . Это дается когомологическим условием на линейном расслоении (см. ниже).
Соответствие в одном направлении задается следующим образом: для раздела мы можем связать исчезающий локус . Если является подмногообразием коразмерности 2, то
- Это локальное полное пересечение, то есть если мы возьмем аффинную диаграмму тогда можно представить как функцию , где а также
- Линейный комплект изоморфно каноническому расслоению на
В обратном направлении [18] для подмногообразия коразмерности 2 и линейный пучок такой, что
есть канонический изоморфизм
которая функториальна относительно включения коразмерности подмногообразия. Более того, любой изоморфизм, указанный слева, соответствует локально свободному пучку в середине расширения справа. То есть для который является изоморфизмом, существует соответствующий локально свободный пучок ранга 2, который укладывается в короткую точную последовательность
Затем это векторное расслоение может быть дополнительно изучено с использованием когомологических инвариантов, чтобы определить, является ли оно стабильным или нет. Это составляет основу для изучения модулей стабильных векторных расслоений во многих конкретных случаях, например, на принципиально поляризованных абелевых многообразиях [17] и K3-поверхностях . [19]
Классы Черна и алгебраическая K -теория
Векторный набор на гладком разнообразии над полем имеет классы Черна в кольце Чжоу из, в для . [20] Они удовлетворяют тем же формальным свойствам, что и классы Черна в топологии. Например, для любой короткой точной последовательности
векторных расслоений на , классы Черна даны
Отсюда следует, что классы Черна векторного расслоения зависят только от класса в группе Гротендика . По определению для схемы, фактор свободной абелевой группы на множестве классов изоморфизма векторных расслоений на соотношением, что для любой короткой точной последовательности, как указано выше. Хотясложно вычислить в целом, алгебраическая K-теория предоставляет множество инструментов для ее изучения, включая последовательность связанных групп для целых чисел .
Вариант - группа (или же ) группа Гротендика когерентных пучков на. (В топологических терминах G -теория обладает формальными свойствами теории гомологий Бореля – Мура для схем, а K -теория - это соответствующая теория когомологий .) Естественный гомоморфизм является изоморфизмом, если является регулярной разделенной нётеровой схемой, в которой каждый когерентный пучок имеет конечное разрешение векторными расслоениями в этом случае. [21] Например, это дает определение классов Черна когерентного пучка на гладком многообразии над полем.
В более общем плане схема Нётера называется разрешающей способностью, если каждый когерентный пучок на имеет сюръекцию из некоторого векторного расслоения на . Например, любая квазипроективная схема над нётеровым кольцом обладает свойством разрешающей способности.
Применение разрешительной собственности
Поскольку свойство разрешения утверждает, что когерентный пучок на нётеровой схеме квазиизоморфна в производной категории комплексу векторных расслоений: мы можем вычислить полный класс Черна с участием
Например, эта формула полезна для нахождения классов Черна пучка, представляющего подсхему . Если взять проективную схему связанный с идеалом , тогда
поскольку есть разрешение
над .
Гомоморфизм расслоения против гомоморфизма пучка
Когда векторные расслоения и локально свободные пучки конечного постоянного ранга используются как взаимозаменяемые, необходимо проявлять осторожность, чтобы различать гомоморфизмы расслоений и гомоморфизмы пучков. В частности, данные векторные расслоенияпо определению гомоморфизм расслоения является морфизмом схемы над (т.е. ) такая, что для каждой геометрической точки в , является линейным отображением ранга, не зависящим от . Таким образом, он индуцирует гомоморфизм пучков постоянного ранга между соответствующими локально свободными -модули (пучки двойных секций). Но может быть-гомоморфизм модулей, который не возникает таким образом; а именно те, которые не имеют постоянного звания.
В частности, подгруппа является подпучком (т. е. Подпучок ). Но обратное может потерпеть неудачу; например, для эффективного делителя Картье на , является подпучкой, но обычно не подгруппой (так как любой линейный пакет имеет только два подгруппы).
Категория квазикогерентных пучков
Квазикогерентные пучки на любой схеме образуют абелеву категорию. Габбер показал, что на самом деле квазикогерентные пучки на любой схеме образуют особенно хорошо управляемую абелеву категорию, категорию Гротендика . [22] Квазикомпактная квазиразделенная схема. (например, алгебраическое многообразие над полем) определяется с точностью до изоморфизма абелевой категорией квазикогерентных пучков на , Розенберг, обобщающий результат Габриэля . [23]
Когерентные когомологии
Основным техническим инструментом алгебраической геометрии является теория когомологий когерентных пучков. Хотя он был введен только в 1950-х годах, многие ранние методы алгебраической геометрии проясняются языком когомологий пучков, применяемых к когерентным пучкам. Вообще говоря, когерентные когомологии пучков можно рассматривать как инструмент для создания функций с заданными свойствами; сечения линейных пучков или более общих пучков можно рассматривать как обобщенные функции. В комплексной аналитической геометрии когомологии когерентных пучков также играют основополагающую роль.
Среди основных результатов когерентных когомологий пучков - результаты о конечномерности когомологий, результаты об исчезновении когомологий в различных случаях, теоремы двойственности, такие как двойственность Серра , отношения между топологией и алгебраической геометрией, такие как теория Ходжа , и формулы для характеристик Эйлера. когерентных пучков, таких как теорема Римана – Роха .
Смотрите также
- Группа Пикард
- Дивизор (алгебраическая геометрия)
- Возвратная связка
- Схема котировки
- Скрученная связка
- Существенно конечное векторное расслоение
- Связка основных частей
- Теорема реконструкции Габриэля – Розенберга
- Псевдокогерентный пучок
- Квазикогерентный пучок на алгебраическом стеке
Заметки
- Перейти ↑ Mumford 1999 , Ch. III, § 1, теорема-определение 3.
- ^ a b Stacks Project, тег 01LA.
- ^ Stacks Project, тег 01BU.
- ^ Серра 1955 , §13
- ^ Гротендик & Dieudonné 1960 , Corollaire 1.5.2
- ^ Hartshorne 1977 , Упражнение II.5.18
- ^ Stacks Project, тег 00NV.
- ↑ Серр, 1955 , §14
- ^ Хартсхорн 1977
- ^ Stacks Project, тег 01BG.
- ^ Хартсхорн 1977 , пример III.12.7.2
- Перейти ↑ Grothendieck & Dieudonné 1960 , Ch. 0, 5.2.7
- ^ Эйзенбад 1995 , упражнения 20,13
- ^ Хартсхорн 1977 , следствие II.5.16
- ^ Stacks Project, тег 01YR.
- ^ Серр, Жан-Пьер (1960–1961). "Sur les modules projectifs" . Séminaire Dubreil. Algèbre et théorie des nombres (на французском языке). 14 (1): 1–16.CS1 maint: формат даты ( ссылка )
- ^ а б Гулбрандсен, Мартин Г. (20 мая 2013 г.). "Векторные расслоения и монады на трехмерных абелевых многообразиях" (PDF) . Связь в алгебре . 41 (5): 1964–1988. arXiv : 0907.3597 . DOI : 10.1080 / 00927872.2011.645977 . ISSN 0092-7872 .
- ^ Хартсхорн, Робин (1978). «Стабильные векторные наборы ранга 2 на P3» . Mathematische Annalen . 238 : 229–280.
- ^ Хайбрехтс, Даниэль; Лен, Манфред (2010). Геометрия пространств модулей пучков . Кембриджская математическая библиотека (2-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. С. 123–128, 238–243. DOI : 10,1017 / cbo9780511711985 . ISBN 978-0-521-13420-0.
- ^ Fulton 1998 , §3.2 и пример 8.3.3
- ^ Фултон 1998 , B.8.3
- ^ Stacks Project, тег 077K.
- ^ Antieau 2016 , следствие 4.2
Рекомендации
- Antieau, Benjamin (2016), «Теорема восстановления абелевых категорий скрученных пучков», Journal für die reine und angewandte Mathematik , 712 : 175–188, arXiv : 1305.2541 , doi : 10.1515 / crelle-2013-0119 , MR 3466552
- Данилов, В.И. (2001) [1994], "Когерентный алгебраический пучок" , Энциклопедия математики , EMS Press
- Грауэрт, Ганс ; Реммерт, Рейнхольд (1984), когерентные аналитические пучки , Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-3-642-69582-7 , ISBN 3-540-13178-7, Руководство по ремонту 0755331
- Эйзенбуд, Дэвид (1995), Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии , Тексты для выпускников по математике , 150 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-1-4612-5350-1 , ISBN 978-0-387-94268-1, MR 1322960
- Фултон, Уильям (1998), Теория пересечения , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-1-4612-1700-8 , ISBN 978-0-387-98549-7, MR 1644323
- Разделы 0.5.3 и 0.5.4 из Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1960). "Algébrique Éléments de géométrie: I. Le langage des schémas" . Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 4 . DOI : 10.1007 / bf02684778 . Руководство по ремонту 0217083 .
- Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для выпускников по математике , 52 , Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157
- Мамфорд, Дэвид (1999). Красная книга разновидностей и схем: включает лекции в Мичигане (1974) о кривых и их якобианах (2-е изд.). Springer-Verlag . DOI : 10.1007 / b62130 . ISBN 354063293X. Руководство по ремонту 1748380 .
- Онищик А.Л. (2001) [1994], "Когерентный аналитический пучок" , Энциклопедия математики , EMS Press
- Онищик А.Л. (2001) [1994], "Когерентный пучок" , Энциклопедия математики , EMS Press
- Серра, Жан-Пьер (1955), "Faisceaux algébriques cohérents", Анналы математики , 61 : 197-278, DOI : 10,2307 / 1969915 , МР 0068874
Внешние ссылки
- Авторы проекта Stacks, проект Stacks
- Часть V Вакил, Рави , Восходящее Море