Из Википедии, бесплатной энциклопедии
  (Перенаправлено из системы компьютерной алгебры )
Перейти к навигации Перейти к поиску

«Символьная алгебра» перенаправляется сюда. Для алгебры логики см. Символическая алгебра .

Система компьютерной алгебры ( CAS ) или система символической алгебры ( SAS ) - это любое математическое программное обеспечение со способностью манипулировать математическими выражениями способом, аналогичным традиционным ручным вычислениям математиков и ученых . Развитие систем компьютерной алгебры во второй половине 20-го века является частью дисциплины « компьютерная алгебра » или « символьные вычисления », которая стимулировала разработку алгоритмов над математическими объектами, такими как полиномы .

Системы компьютерной алгебры можно разделить на два класса: специализированные и универсальные. Специализированные посвящены определенной части математики, такой как теория чисел , теория групп или преподавание элементарной математики .

Системы компьютерной алгебры общего назначения призваны быть полезными для пользователей, работающих в любой научной области, которая требует манипулирования математическими выражениями. Чтобы быть полезной, система компьютерной алгебры общего назначения должна включать в себя различные функции, такие как:

Библиотека должна обеспечивать не только нужды пользователей, но и нужды упрощателя. Например, вычисление полиномиальных наибольших общих делителей систематически используется для упрощения выражений, содержащих дроби.

Столь большое количество требуемых компьютерных возможностей объясняет небольшое количество систем компьютерной алгебры общего назначения. Основные из них - Axiom , Maxima , Magma , Maple , Mathematica и SageMath .

История [ править ]

Калькулятор Texas Instruments TI-Nspire , содержащий систему компьютерной алгебры.

Системы компьютерной алгебры начали появляться в 1960-х годах и возникли из двух совершенно разных источников - требований физиков-теоретиков и исследований в области искусственного интеллекта .

Ярким примером первой разработки была новаторская работа, проведенная позднее лауреатом Нобелевской премии по физике Мартинусом Вельтманом , который в 1963 году разработал программу для символической математики, особенно физики высоких энергий, под названием Schoonschip (по-голландски «чистый корабль»). Другой ранней системой был FORMAC .

Используя Lisp в качестве основы программирования, Карл Энгельман создал MATHLAB в 1964 году в MITER в рамках исследовательской среды искусственного интеллекта. Позже MATHLAB стал доступен пользователям систем PDP-6 и PDP-10, работающих под управлением TOPS-10 или TENEX, в университетах. Сегодня его все еще можно использовать в эмуляциях SIMH PDP-10. MATHLAB ( « математика матических лаборатории ораторский„) не следует путать с MATLAB (“ мат RIX лаборатория ораторского»), которая представляет собой систему для численных расчетов построены 15 лет спустя в Университете Нью - Мексико .

Первыми популярными системами компьютерной алгебры были muMATH , Reduce , Derive (на основе muMATH) и Macsyma ; популярный Копилефт версия Macsyma называется Maxima активно поддерживается. В 2008 году Reduce стали бесплатными программами. [1] На сегодняшний день [ когда? ] наиболее популярными коммерческими системами являются Mathematica [2] и Maple , которые обычно используются математиками-исследователями, учеными и инженерами. К свободно доступным альтернативам относится SageMath (который может выступать в качестве интерфейса в несколько других бесплатных и несвободных CAS).

В 1987 году компания Hewlett-Packard представила первый портативный калькулятор CAS серии HP-28 , и впервые в калькуляторе появилась возможность [3] упорядочивать алгебраические выражения, дифференцирование, ограниченное символьное интегрирование, ряд Тейлора. построение и решатель для алгебраических уравнений. В 1999 году независимо разработанная система CAS Erable для серии HP 48 стала официально интегрированной частью микропрограммного обеспечения новой серии HP 49/50 , а годом позже - также и в серии HP 40 , тогда как в HP Prime была принята система Xcas. в 2013.

Компания Texas Instruments в 1995 году выпустила калькулятор TI-92 с CAS на основе программного обеспечения Derive ; в серии TI-Nspire заменены Dérivé в 2007 году ТИ-89 серии , впервые выпущенный в 1998 году, также содержит CAS.

Casio выпустила свой первый калькулятор CAS с CFX-9970G и сменила его с серией Algebra FX в 1999-2003 гг. И текущей серией ClassPad . [ необходима цитата ]

Совсем недавно системы компьютерной алгебры были реализованы с использованием искусственных нейронных сетей . [4]

Символические манипуляции [ править ]

Поддерживаемые символические манипуляции обычно включают:

  • упрощение до меньшего выражения или некоторой стандартной формы , включая автоматическое упрощение с предположениями и упрощение с ограничениями
  • подстановка символов или числовых значений для определенных выражений
  • изменение формы выражений: расширение произведений и полномочий, частичная и полная факторизация , переписывание как частичные дроби , выполнение ограничений , переписывание тригонометрических функций как экспонент, преобразование логических выражений и т. д.
  • частичная и полная дифференциация
  • некоторое неопределенное и определенное интегрирование (см. символическое интегрирование ), включая многомерные интегралы
  • символическая ограниченная и неограниченная глобальная оптимизация
  • решение линейных и некоторых нелинейных уравнений в различных областях
  • решение некоторых дифференциальных и разностных уравнений
  • принимая некоторые ограничения
  • интегральные преобразования
  • рядовые операции, такие как разложение, суммирование и произведения
  • матричные операции, включая произведения , обратные и т. д.
  • статистический расчет
  • доказательство и проверка теорем, что очень полезно в области экспериментальной математики
  • оптимизированная генерация кода

Выше слово some указывает на то, что операция не всегда может быть выполнена.

Дополнительные возможности [ править ]

Многие также включают:

  • язык программирования , что позволяет пользователям реализовывать свои собственные алгоритмы
  • числовые операции произвольной точности
  • точная целочисленная арифметика и функциональность теории чисел
  • Редактирование математических выражений в двухмерном виде
  • построение графиков и параметрических графиков функций в двух и трех измерениях и их анимация
  • рисование диаграмм и диаграмм
  • API-интерфейсы для связывания его с внешней программой, такой как база данных, или использования в языке программирования для использования системы компьютерной алгебры
  • манипуляции со строками, такие как сопоставление и поиск
  • надстройки для использования в прикладной математике, такой как физика, биоинформатика , вычислительная химия, и пакеты для физических вычислений

Некоторые включают:

  • графическое производство и редактирование, такие как компьютерные изображения и обработка сигналов, как обработка изображений
  • синтез звука

Некоторые системы компьютерной алгебры сосредоточены на специализированных дисциплинах; они обычно разрабатываются в академических кругах и бесплатны. Они могут быть неэффективными для числовых операций по сравнению с числовыми системами .

Типы выражений [ править ]

Выражения, которыми управляет CAS, обычно включают многочлены от нескольких переменных; стандартные функции выражений ( синус , экспонента и др.); различные специальные функции ( Γ , ζ , erf , функции Бесселя и т. д.); произвольные функции выражений; оптимизация; производные, интегралы, упрощения, суммы и произведения выражений; усеченный ряд с выражениями в виде коэффициентов, матриц выражений и т. д. Поддерживаемые числовые домены обычно включают представление вещественных чисел с плавающей запятой , целых чисел (неограниченного размера),комплексное (представление с плавающей запятой), интервальное представление вещественных чисел , рациональное число (точное представление) и алгебраические числа .

Использование в образовании [ править ]

Было много сторонников более широкого использования систем компьютерной алгебры в классах начальной и средней школы. Основная причина такой пропаганды заключается в том, что системы компьютерной алгебры представляют собой математику реального мира больше, чем математику, основанную на бумаге и карандаше или ручном калькуляторе. [5] Это стремление к увеличению использования компьютеров в классах математики было поддержано некоторыми советами по образованию. Это даже было включено в учебные программы некоторых регионов. [6]

Системы компьютерной алгебры широко используются в высшем образовании. [7] [8] Многие университеты предлагают либо специальные курсы по развитию их использования, либо неявно ожидают, что студенты будут использовать их в своей курсовой работе. Компании, разрабатывающие системы компьютерной алгебры, стремятся увеличить их распространение среди программ университетов и колледжей. [9] [10]

Калькуляторы, оснащенные CAS, не разрешены в ACT , PLAN и в некоторых классах [11], хотя это может быть разрешено во всех разрешенных для калькуляторов тестах College Board , включая SAT , некоторые предметные тесты SAT и расчет AP. , Экзамены по химии , физике и статистике .

Математика, используемая в системах компьютерной алгебры [ править ]

  • Алгоритм завершения Кнута – Бендикса [12]
  • Алгоритмы поиска корней [12]
  • Символьная интеграция, например, с помощью алгоритма Риша или алгоритма Риша – Нормана.
  • Гипергеометрическое суммирование, например, с помощью алгоритма Госпера
  • Ограничьте вычисление, например, с помощью алгоритма Грунца
  • Полиномиальная факторизация, например, по конечным полям, [13] алгоритм Берлекампа или алгоритм Кантора – Цассенхауза .
  • Наибольший общий делитель, например, с помощью алгоритма Евклида
  • Метод исключения Гаусса [14]
  • Базис Грёбнера с помощью, например , алгоритма Бухбергера ; обобщение алгоритма Евклида и исключения Гаусса
  • Аппроксимация Паде
  • Лемма Шварца – Циппеля и проверка полиномиальных тождеств
  • Китайская теорема об остатках
  • Диофантовы уравнения
  • Исключение квантора над действительными числами, например, с помощью метода Тарского / цилиндрического алгебраического разложения
  • Алгоритм Ландау (вложенные радикалы)
  • Производные элементарных функций и специальные функции . (например, см. производные неполной гамма-функции .)
  • Цилиндрическое алгебраическое разложение

См. Также [ править ]

  • Список систем компьютерной алгебры
  • Научные вычисления
  • Статистический пакет
  • Автоматическое доказательство теорем
  • Язык алгебраического моделирования
  • Программирование с логикой ограничений
  • Выполнимость по модулю теорий

Ссылки [ править ]

  1. ^ "УМЕНЬШИТЬ систему компьютерной алгебры в SourceForge" . reduce-algebra.sourceforge.net . Проверено 28 сентября 2015 .
  2. ↑ Интервью с Гастоном Гоннетом, соавтором Maple. Архивировано 29декабря 2007 г.на Wayback Machine , SIAM History of Numerical Analysis and Computing, 16 марта 2005 г.
  3. ^ Нельсон, Ричард. «Впервые калькулятор Hewlett-Packard» . Hewlett Packard. Архивировано из оригинала на 2010-07-03.
  4. ^ Орнес, Стивен. «Символьная математика уступает место нейронным сетям» . Журнал Quanta . Проверено 4 ноября 2020 .
  5. ^ «Обучение детей настоящей математике с помощью компьютеров» . Ted.com . Проверено 12 августа 2017 .
  6. ^ "Математика - образование Манитобы" . Edu.gov.mb.ca . Проверено 12 августа 2017 .
  7. ^ «Математика для преподавателей, сотрудников и студентов: информационные технологии - Северо-Западный университет» . It.northwestern.edu . Проверено 12 августа 2017 .
  8. ^ "Математика для студентов - Информационные технологии Колумбийского университета" . cuit.columbia.edu . Проверено 12 августа 2017 .
  9. ^ «Математика для высшего образования: использование для курсов университетов и колледжей» . Wolfram.com . Проверено 12 августа 2017 .
  10. ^ «MathWorks - Academia - MATLAB и Simulink» . Mathworks.com . Проверено 12 августа 2017 .
  11. ^ Тесты CAAP от ACT: Использование калькуляторов в тесте по математике CAAP. Архивировано 31 августа 2009 г., в Wayback Machine.
  12. ^ а б Б. Бухбергер; GE Collins; Р. Лоос (29.06.2013). Компьютерная алгебра: символьные и алгебраические вычисления . Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-7091-3406-1.
  13. ^ Иоахим Фон Зур Гатен; Юрген Герхард (25 апреля 2013 г.). Современная компьютерная алгебра . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1-107-03903-2.
  14. ^ Кейт О. Геддес; Стивен Р. Чапор; Джордж Лабан (30.06.2007). Алгоритмы компьютерной алгебры . Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-585-33247-5.

Внешние ссылки [ править ]

  • Определение и работа системы компьютерной алгебры
  • Учебный план и оценка в эпоху систем компьютерной алгебры - от Информационного центра информационных ресурсов по науке, математике и экологическому образованию, Колумбус, Огайо .
  • Ричард Дж. Фейтман. «Очерки алгебраического упрощения». Технический отчет MIT-LCS-TR-095, 1972 г. (Исторический интерес, показывающий направление исследований в компьютерной алгебре. На веб-сайте MIT LCS: [1] )